概率论习题集答案Word文档下载推荐.docx
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0.5?
0.1?
0.7
19.?
已知一个家庭有3个小孩,且其中一个为女孩,求至少有一个男孩的概率(小孩为男为女是等可能的).【解】设a={其中一个为女孩},b={至少有一个男孩},样本点总数为23=8,故
p(ab)6/86
p(a)7/87
或在缩减样本空间中求,此时样本点总数为7.
67
20.?
已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率(假设男人和女人各占人
数的一半).
【解】设a={此人是男人},b={此人是色盲},则由贝叶斯公式
p(ab)?
p(a)p(ba)p(ab)
p(b)p(a)p(ba)?
p(a)p(ba)
23.?
设p(
0.5?
0.0520
0.05?
0.002521
a)=0.3,p(b)=0.4,p(ab)=0.5,求p(b|a∪b)
p(ab)p(a)?
pab()
b)p(a)?
p(ab)
p(ba?
24.?
在一个盒中装有15个乒乓球,其中有9个新球,在第一次比赛中任意取出3个球,比赛后放回原盒中;
第二次比赛同样任
意取出3个球,求第二次取出的3个球均为新球的概率.
【解】设ai={第一次取出的3个球中有i个新球},i=0,1,2,3.b={第二次取出的3球均为新球}由全概率公式,有
0.7?
0.51
0.6?
0.54
p(b)?
p(bai)p(ai)
i?
3
323213
c3c9c1c8c9c6c3c9c369c67
3?
36c15c15c15c15c15c15c15c15?
0.089
25.按以往概率论考试结果分析,努力学习的学生有90%的可能考试及格,不努力学习的学生有90%的可能考试不及格.据调查,
学生中有80%的人是努力学习的,试问:
(1)考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人?
(2)考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人?
【解】设a={被调查学生是努力学习的},则
a={被调查学生是不努力学习的}.由题意知p(a)=0.8,p(a)=0.2,又设b={被
a)=0.9,故由贝叶斯公式知
调查学生考试及格}.由题意知p(b|a)=0.9,p(b|
p(b)p(a)p(ba)?
即考试及格的学生中不努力学习的学生仅占2.702%
0.2?
0.11
0.02702
0.8?
0.9?
0.2?
0.137
(2)
0.14
0.3077
0.913
即考试不及格的学生中努力学习的学生占30.77%.
26.将两信息分别编码为a和b传递出来,接收站收到时,a被误收作b的概率为0.02,而b被误收作a的概率为0.01.信息a
与b传递的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是a,试问原发信息是a的概率是多少?
【解】设a={原发信息是a},则={原发信息是b}c={收到信息是a},则={收到信息是b}由贝叶斯公式,得
p(ac)?
p(a)p(ca)p(a)p(ca)?
p(a)p(ca)
28.?
某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品
的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.【解】设a={产品确为合格品},b={产品被认为是合格品}由贝叶斯公式得
2/3?
0.98
0.99492
0.98?
1/3?
0.01
p(a)p(ba)p(ab)?
29.?
某保险公司把被保险人分为三类:
“谨慎的”,“一般的”,“冒失的”.统计资料表明,上述三种人在一年内发生事故的概率
依次为0.05,0.15和0.30;
如果“谨慎的”被保险人占20%,“一般的”占50%,“冒失的”占30%,现知某被保险人在一年内出了事故,则他是“谨慎的”的概率是多少?
【解】设a={该客户是“谨慎的”},b={该客户是“一般的”},c={该客户是“冒失的”},d={该客户在一年内出了事故}则由贝叶斯公式得
0.96?
0.998
0.04?
0.05
p(a|d)?
p(ad)p(a)p(d|a)?
p(d)p(a)p(d|a)?
p(b)p(d|b)?
p(c)p(d|c)
30.?
加工某一零件需要经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别为0.02,0.03,0.05,0.03,假定各道工序是相互独
0.057
0.15?
0.3
立的,求加工出来的零件
32.?
证明:
若p(a|b)=p(a|b),则a,b相互独立.
【证】
p(ab)p(ab)
p(b)p(b)p(a|b)?
p(a|b)即
p(ab)p(b)?
p(ab)p(b)
亦即
p(ab)[1?
p(b)]?
[p(a)?
p(ab)]p(b)
因此故a与b相互独立.
p(a)p(b)
111
33.?
三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为5,3,4,求将此密码破译出的概率.
【解】设ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则
p(?
ai)?
1?
p(a1a2a3)?
p(a1)p(a2)p(a3)
1
34.?
甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只有一人击中,则飞机被击落的概率为0.2;
若有两人击中,则飞机被击落的概率为0.6;
若三人都击中,则飞机一定被击落,求:
飞机被击落的概率.【解】设a={飞机被击落},bi={恰有i人击中飞机},i=0,1,2,3由全概率公式,得
423
0.6
534
p(a)?
p(a|bi)p(bi)
57.设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份、7份和5份.随机地取一个地区的
报名表,从中先后抽出两份.?
(1)求先抽到的一份是女生表的概率p;
(2)已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q.【解】设ai={报名表是取自第i区的考生},i=1,2,3.bj={第j次取出的是女生表},j=1,2.
则
p(ai)?
i?
1,2,3
p(b1|a1)?
375
p(b1|a2)?
p(b1|a3)?
101525
137529
p?
p(b1)?
p(b1|ai)?
(?
)?
310152590i?
q?
p(b1|b2)?
p(b1b2)p(b2)
p(b2)?
p(b2|ai)p(ai)
而
1782061?
310152590
p(b1b2)?
p(b1b2|ai)p(ai)
137785202?
3109151425249
2
p(b1b2)20q?
61p(b2)6190故
习题二
1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以x表示取出的3只球中的最大号码,写出随机变量x
的分布律.【解】
x?
3,4,5p(x?
3)?
p(x?
4)?
0.13c5
0.33c5
c24
p(x?
5)?
c5
故所求分布律为
2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以x表示取出的次品个数,求:
(1)x的分布律;
(2)x的分布函数并作图;
(3)
133
p{x?
p{1?
x?
},p{1?
2}
222.
【篇二:
概率论课后答案】
三、解答题
1.设p(ab)=0,则下列说法哪些是正确的?
(1)a和b不相容;
(2)a和b相容;
(3)ab是不可能事件;
(4)ab不一定是不可能事件;
(5)p(a)=0或p(b)=0(6)p(a–b)=p(a)解:
(4)(6)正确.
2.设a,b是两事件,且p(a)=0.6,p(b)=0.7,问:
(1)在什么条件下p(ab)取到最大值,最大值是多少?
(2)在什么条件下p(ab)取到最小值,最小值是多少?
解:
因为p(ab)?
p(a?
b),又因为p(b)?
b)即p(b)?
0.所以
(1)当p(b)?
b)时p(ab)取到最大值,最大值是p(ab)?
p(a)=0.6.
(2)p(a?
1时p(ab)取到最小值,最小值是p(ab)=0.6+0.7-1=0.3.3.已知事件a,b满足p(ab)?
p(ab),记p(a)=p,试求p(b).解:
p(ab),
即p(ab)?
p(ab),所以p(b)?
p.
4.已知p(a)=0.7,p(a–b)=0.3,试求p(ab).
因为p(a–b)=0.3,所以p(a)–p(ab)=0.3,p(ab)=p(a)–0.3,又因为p(a)=0.7,所以p(ab)=0.7–0.3=0.4,p(ab)?
0.6.
5.从5双不同的鞋子种任取4只,问这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?
显然总取法有n?
c4
10种,以下求至少有两只配成一双的取法k:
法一:
分两种情况考虑:
k?
c12122
5c4(c2)+c5其中:
c1
5c4(c2)为恰有1双配对的方法数法二:
c1c11
8?
c6
2!
+c2
其中:
c?
15
c8?
11
为恰有1双配对的方法数
法三:
c5(c8?
c4)+c5其中:
c4)为恰有1双配对的方法数法四:
先满足有1双配对再除去重复部分:
c5c8-c5法五:
考虑对立事件:
c10-c5(c2)其中:
c5(c2)为没有一双配对的方法数法六:
c
1410
4
14
c10?
c8?
c6?
4!
1111
其中:
kc
410
为没有一双配对的方法数
所求概率为p?
1321
.
6.在房间里有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任取3人记录其纪念章的号码.求:
(1)求最小号码为5的概率;
(2)求最大号码为5的概率.解:
(1)法一:
p?
c10c4
32
112120
,法二:
c3a5a10
31
12
112
(2)法二:
c10
,法二:
c3a4a10
120
7.将3个球随机地放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率.解:
设m1,m2,m3表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件,则
p(m1)?
a44
38
p(m2)?
c3?
a4
916
p(m3)?
c44
116
8.设5个产品中有3个合格品,2个不合格品,从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品的概率各为多少?
设m2,m1,m0分别事件表示取出的2个球全是合格品,仅有一个合格品和没有合格品,则p(m2)?
9.口袋中有5个白球,3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率.
设m1=“取到两个球颜色相同”,m1=“取到两个球均为白球”,m2=“取到两个球均为黑球”,则
c3c
25
0.3,p(m1)?
c3c2c
0.6,p(m1)?
c2c
0.1
m?
m1?
m2且m1?
m2?
.
所以p(m)?
p(m1?
m2)?
p(m1)?
p(m2)?
c5c8
22
c3c8
1328
10.若在区间(0,1)内任取两个数,求事件“两数之和小于6/5”的概率.
这是一个几何概型问题.以x和y表示任取两个数,在平面上建立xoy直角坐标系,如图.任取两个数的所有结果构成样本空间?
={(x,y):
0?
x,y?
1}事件a=“两数之和小于6/5”={(x,y)?
:
x+y?
6/5}因此
a的面积?
的面积
4?
1?
2?
5?
1725
.
图?
2ax?
x(a为常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,求
11.随机地向半圆0?
y?
原点和该点的连线与x轴的夹角小于
的概率.
这是一个几何概型问题.以x和y表示随机地向半圆内掷一点的坐标,?
表示原点和该点的连线与x轴的夹角,在平面上建立xoy直角坐标系,如图.
随机地向半圆内掷一点的所有结果构成样本空间?
={(x,y):
0?
2a,0?
事件a=“原点和该点的连线与x轴的夹角小于
x}
”
={(x,y):
因此
x,0?
}
a的面积?
2
a?
12
a
1.2
12.已知p(a)?
p(ba)?
1314
p(ab)?
13?
112
,求p(a?
b).
p(a)p(ba)?
p(b)?
14
16
p(ab)p(a|b)
13.
13.设10件产品中有4件不合格品,从中任取两件,已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率是多少?
题中要求的“已知所取两件产品中有一件是不合格品,则另一件也是不合格品的概率”应理解为求“已知所取两件产品中至少有一件是不合格品,则两件均为不合格品的概率”。
设a=“所取两件产品中至少有一件是不合格品”,b=“两件均为不合格品”;
c6c
210
23
,p(b)?
c4c
215
,
p(b|a)?
p(ab)p(a)
p(b)p(a)
/
14.有两个箱子,第1箱子有3个白球2个红球,第2个箱子有4个白球4个红球,现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出一个球,此球是白球的概率是多少?
已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第1个箱子中取出的球是白球的概率是多少?
设a=“从第1个箱子中取出的1个球是白球”,b=“从第2个箱子中取出的1个球是白球”,则
c2c5
35
p(a)?
,由全概率公式得
p(a)p(b|a)?
由贝叶斯公式得
c5c
19
2345
p(a|b)?
p(a)p(b|a)
p(b)
1523
15.将两信息分别编码为a和b传递出去,接收站收到时,a被误收作b的概率为0.02,而b被误收作a的概率为0.01,信息a与信息b传送的频繁程度为2:
1,若接收站收到的信息是a,问原发信息是a的概率是多少?
设m=“原发信息是a”,n=“接收到的信息是a”,已知
p(n|m)?
0.02,p(n|m)?
0.01,p(m)?
所以
2313
0.98,p(n|m)?
0.99,p(m)?
p(m|n)?
p(m)p(n|m)
p(m)p(n|m)?
p(m)p(n|m)
21196
0.01)?
.333197
,,问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是534
16.三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为多少?
设ai=“第i个人能破译密码”,i=1,2,3.已知p(a1)?
p(a2)?
13
p(a3)?
所以p(a1)?
45
3434
至少有一人能将此密码译出的概率为
p(a1)p(a2)p(a2)?
17.设事件a与b相互独立,已知p(a)=0.4,p(a∪b)=0.7,求p(ba).解:
由于a与b相互独立,所以p(ab)=p(a)p(b),且
p(a∪b)=p(a)+p(b)-p(ab)=p(a)+p(b)-p(a)p(b)
将p(a)=0.4,p(a∪b)=0.7代入上式解得p(b)=0.5,所以
p(ba)?
p(a)p(b)p(a)
0.5.
或者,由于a与b相互独立,所以a与b相互独立,所以
18.甲乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率是多少?
设a=“甲射击目标”,b=“乙射击目标”,m=“命中目标”,已知p(a)=p(b)=1,p(ma)?
0.6,p(mb)?
0.5,所以
p(m)?
p(ab?
ab?
ab)?
p(ab).
由于甲乙两人是独立射击目标,所以
p(a)p(b)?
0.4?
0.8.
p(a|m)?
p(am)p(m)
p(a)p(m|a)
p(m)
0.60.8
0.75
19.某零件用两种工艺加工,第一种工艺有三道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,0.1;
第二种工艺有两道工序,各道工序出现不合格品的概率分别为0.3,0.2,试问:
(1)用哪种工艺加工得到合格品的概率较大些?
(2)第二种工艺两道工序出现不合格品的概率都是0.3时,情况又如何?
设ai=“第1种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2,3;
bi=“第2种工艺的第i道工序出现合格品”,i=1,2.
(1)根据题意,p(a1)=0.7,p(a2)=0.8,p(a3)=0.9,p(b1)=0.7,p(b2)=0.8,第一种工艺加工得到合格品的概率为
p(a1a2a3)=p(a1)p(a2)p(a3)=0.7?
0.8?
0.504,
第二种工艺加工得到合格品的概率为
p(b1b2)=p(b1)p(b2)=0.7?
0.56,
可见第二种工艺加工得到合格品的概率大。
(2)根据题意,第一种工艺加工得到合格品的概率仍为0.504,而p(b1)=p(b2)=0.7,第二种工艺加工得到合格品的概率为
0.7?
0.49.
可见第一种工艺加工得到合格品的概率大。
p(c)?
1.设两两相互独立的三事件a,b和c满足条件abc=?
,
求p(a).
因为abc=?
,所以p(abc)=0,
因为a,b,c两两相互独立,p(a)?
p(c),所以