对称之美季理真Word格式文档下载.docx
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印度阿格拉的泰姬陵，建于1631年—1643年，是莫卧儿王朝帝王沙贾汉为爱妃泰吉·
马哈尔所造。
据传当年沙贾汉听闻爱妃先他而去的消息后，竟一夜白头。
这座建筑也是沿中心线对称的。
除了整体上的对称，局部上也遵循了对称美的原则。
希腊雅典的帕台农神庙，建于公元前447年—438年。
无论从前方或侧面看，它都是对称的。
而它的柱子呈周期分布，也体现了一种平移对称。
如果你在春暖花开的时节走进公园，你会看到争妍斗丽的百花大都是对称的。
比如，冬乌头就是旋转对称的。
有些花还带有更多的对称，比如大丽花，除了旋转对称，大丽花还有一种由内而外、层次鲜明的对称。
多重对称的叠加让花朵更加的艳丽。
巴黎圣母院北边墙面上的巨大的玫瑰窗，有着五彩华丽的旋转对称，令人叹为观止。
它建于1163年—1250年，圆面的直径大约是40英尺。
南太平洋的复活节岛上的石雕人像，有的石像重量超过50吨。
让人费解的是，为什么这些石像会出现在这个小岛上？
在没有现代化起重机的帮助下，这些石像是如何竖立起来的？
在上面的所有例子中，都包含着一个保持物体形状或模式不变的等距群。
其中，有等距群是由相对于中线的反射生成的二阶群；
还有是一个由旋转构成的有限群。
如果假设物体延伸到无穷远处，那么就有一个无穷的平移变换群作用在其上，并且保持模式不变。
在此基础上，我们可以从数学上给出一个物体对称的定义，即有一些非平凡的等距作用在其上。
明显的，这样的等距全体构成了一个群，并把物体分成了相同的几个部分。
同样的，我们称一个物体是非对称的，如果不存在非平凡等距作用在其上。
给了两个物体A与B，如果A的等距群包含了B的等距群，那么我们就说A比B更加的对称。
为了更好的表述这些概念，我们考虑四个图形：
圆、正方形、长方形和一个不规则的四边形。
明显的，这不规则的四边形不是对称的。
同样，直觉告诉我们，圆是最对称的，正方形比长方形更加的对称。
事实上，圆的等距群是无穷的，并且包含了正方形的有限等距群，而后者又包含了长方形的等距群。
破缺的对称
人生不可能是尽善尽美的。
我们也很难找到一朵花是完美无缺的。
虽然人体总的来说是左右对称的，可是这种对称远远不是完全的。
每个人左右手的粗细不一样，一只眼睛比另一只眼睛更大或更圆，耳垂的形状也不同。
最明显的，就是每个人只有一个心脏，通常都在靠右的位置（当然也有极少数人的心脏在左侧）。
不仅日常生活中我们会有意的打破对称，艺术家有时也会极力地创造出不对称的图像和物体，可是仍然给人以和谐与平衡的美感。
建于1145年的法国沙特尔大教堂。
教堂在塔楼以下的部分是反射对称的。
同样在局部上也有许多的对称。
例如，中间的窗子是旋转对称的。
试想一下，如果塔楼也是对称的，那么这座教堂看起来也许就没有现在那么吸引人了。
许多人也许会有这样的共识，脸上如果有一个美人痔，那么会让人眼前一亮，可是如果有两个对称的美人痔，肯定会让人觉得不舒服。
有时候对称会以一种非常微妙的方式出现。
比如，建于公元前486年—460年的奥林匹亚宙斯神庙的西门的三角楣上的雕塑，它的外轮廓（或者用数学的语言来说就是闭包）呈现出反射对称性，并且中线两边的人数相等。
可是两边的塑像却有着天壤之别。
破缺对称另一个例子是一幅镶嵌画，讲述的是耶稣发五条鱼、两个饼给五千信徒吃饱的故事。
上面的例子都是反射对称的变体。
平移对称的近似也出现在艺术中。
例如，在宋朝著名画家米友仁的画中，山峰基本上是呈现周期变化的。
另一个近似平移对称的例子，是北京颐和园内沿着湖岸的画廊。
广义的对称
在许多情况下，和谐或有序来自于多种对称运算的组合。
直线IR上的周期现象来自于一个给定非零实数的叠加。
在指数映射exp:
IR→IR＞0下，IR上的平移就转换成正的半直线IR＞0上的乘法。
我们给出两个从平移、旋转和比例变换产生出有序模式的例子。
第一个是伊朗沙马拉的清真寺，建于公元848年—852年。
其中的塔楼把垂直平移，水平面上的旋转，以及比例变换结合了起来。
第二个例子是鹦鹉螺的壳，是旋转与比例变换的完美结合。
另一类对称的变体就是，虽然局部上是对称的，可是不存在整体的对称。
一个著名的例子是彭罗斯平铺，这是非周期的。
分形是用来处理不规则形状的。
可是它们有着众多的局部对称。
事实上，在比例变换下，这种模式不断重复出现。
在这种意义下，它有着丰富的局部对称性。
人们创造了有许多漂亮的分形图片。
对称背后的数学
如我们前面所定义的，平面上一个物体如果有一个非平凡的对称群作用，则称它是对称的。
所以对称现象背后的数学就是群论。
群论是法国青年数学家伽罗华为了用根式来解决代数方程而引入的。
我们知道任意二次方程ax2+bx+c=0可以用根式来解。
16世纪时人们就发现三次和四次代数方程可以用根式来解。
对于高次方程一直都不得其解，直到19世纪阿贝尔证明了，对5次以上方程，不存在一个一般解的公式。
对于某些特殊的高次方程，仍然可以用根式来解。
伽罗华用代数方程的对称性给出了方程可解的精确条件。
他的结论也许有些令人惊讶：
如果方程具有过多对称的话，那么就不能用根式来解。
（这似乎有悖于人们的认识，丰富的对称性通常可以让问题得到简化。
所以对于对称的合理解释就显得非常重要）
考虑下面三个方程
（x-1）5=0
（x4-6x2+5）（x-2）=0
a1x5+a2x4+a3x3+a4x2+a5x+a6=0
其中a1，……，a6是随机选取的整数。
我们应该怎样定义一个方程的对称性以及对称程度的比较？
精确的定义需要相当的技巧。
我们可以粗略的描述为每个方程都有一个有限群，称为伽罗华群。
伽罗华群越大，就越对称。
第一个方程有平凡的对称（或者干脆说没有对称），所以可以很容易解出，即x＝1。
第二个方程的对称性也很小，所以方程可以用根式解出：
x1＝2，x2＝-1，x3＝1，
x4＝-，x5＝-
也许稍有些意外的是，最后这个具有随机系数的方程是最对称的，所以不能够用根式解出。
根据通常的认识，随机性与对称性应该是背道而驰的，所以我们会倾向于认为一个具有随机系数的方程不是对称的。
可是在许多情况下，我们也看到随机是被某些对称所支配的。
另一个例子是，随机矩阵的特征值分布是由多种对称性支配的。
这种现象可以用中国的一句成语来描述，就是“物极必反”。
伽罗华群是有限的。
我们前面遇到的对称群，除了直线IR上的平移群以外，也都是有限的。
所有实数集合IR构成一个群，直线上周期现象的平移群是它的一个子群。
IR是挪威数学家索菲斯·
李所引入的李群的一个重要例子。
李群通常是不可数的，并且有非平凡的拓扑，虽然它们包含某些有限群与离散子群作为特例。
另一个重要的例子是IRn中全体正交变换构成的群O（n），一个非交换群。
另一个稍大的群是IRn中的全体可逆线性变换构成的群GL（n，IR）。
另一个重要的例子是作用在Cn上的特殊酉群SU（n）。
在数学中，对称的概念经常与李群的概念等同起来。
我们称一个对象具有由一个李群G所给定的对称，当这个群G保持不变地作用在其上，或者满足某个简单的变换条件。
比如，我们熟知sin2πx以1为周期，所以在平移群Z的作用下保持不变。
函数sin2πx的图像是一个波。
虽然函数ex不是周期的，它在平移作用下满足一个简单的公式：
ex＋1＝eex，所以ex相对于平移群，也享有某种对称性。
这种连续的比例变换是中国山水画的重要组成部分。
正多边形与正多面体
代数方程的伽罗华群论也许有些抽象和形式化，让我们回到对称的更加几何直观的概念中。
如同前面所提到的那样，正方形比长方形更加的规则。
事实上，正方形是正多边形的一种。
一个正多边形满足
（1）所有的边长都相等；
（2）相邻边夹成的角度都相等。
当边数趋于无穷时，正多边形就收敛到圆，所以圆可以解释为完美理想的正多边形。
每个正多边形具有反射和旋转对称性，在相同边数的多边形中无疑是对称程度最高的。
另一方面，在艺术和建筑中，常用的往往是那些非等边的三角形。
比如帕台农神庙顶部的三角形，还有金字塔就不是等边的。
非常受欢迎的是黄金三角形和相应的黄金分割。
在拉斐尔的名画《牧场圣女》中，我们可以看到其中的许多三角形。
我们留给读者一个小练习，就是找出其中一共有多少个三角形。
圆周是理想化的正多边形，具有无穷的对称性。
它在中国传统艺术中被广为使用。
圆形代表了一种向上运动的感觉，可是它也传达着权势和实力。
它也透露着宁静的气息。
事实上，在中国园林设计中，圆形图案占了很大的比重，比如苏州园林的门洞。
正多边形到三维欧氏空间IR3的推广，就是正多面体。
与二维情形不同，一共只有5种正多面体。
由于圆周的良好性质，它是所有等长曲线中包围面积最大的。
同样的，三维欧氏空间IR3中的球面也具有同样的极值性质。
这也解释了为何肥皂泡都是球形的（还有热气球）。
由定义，一个多面体被称为正多面体，如果满足下面的条件：
1.它被有限多个平面包围，每个面都是正多边形；
2.所有面在等距下都是相同的；
3.所有相邻平面间的二面角都相等。
明显的，立方体是正多面体。
其他四个正多面体是：
正四面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。
它们的等距群是O（3）的有限子群，并且可以具体的计算出来。
事实上，恩贝多克利认为，万物都是由四种基本元素构成的：
火、空气、水和土。
这个理论在希腊被广泛接受。
既然正多面体是完全理想化的，而世界也是完美的，柏拉图于是提出：
世界是由正多面体构成的。
火对应于正四面体，正二十面体有着最多的面，最易滑动，就对应于水，土就是正立方体，空气就是正八面体。
剩下的正十二面体就代表宇宙。
由于等边三角形存在于正四面体，正八面体和正二十面体中，所以火、空气和水可以相互转换，但不能转换成正立方体代表的土。
开普勒用正多面体建立了行星运动理论。
所以，人们相信正多面体在微观和宏观上都起着统治作用。
正多面体理论及其推广在数学中非常重要，比如，在Coxeter的反射群理论，以及李群论和圈形簇理论中。
特征值的美妙音符
对称或正则的概念在数学中非常重要，一个例子与著名的问题“听出一个鼓的形状”有关。
这个问题最早由洛仑兹，后来由Kac在一篇著名的文章“Canyouheartheshapeofadrum?
”中提出。
洛仑兹在1910年的根廷根大学提出一个问题，能够听出一个鼓的体积。
这个问题被当时还是学生的Weyl解决，令人惊叹。
这是Weyl伟大数学生涯的开始，对称是Weyl工作的一个主旋律。
著名的Weyl定理说，小于λ的特征值的个数按照cnvol（Ω）形式增长，其中cn是只依赖于维数的万有常数。
从这个公式我们就可以看出特征值决定了vol（Ω）。
这个定理也可以表述为，正规化的特征值cλ在合理的常数c下，按照i增长。
这是非常了不起的公式，因为特征的计算通常是很困难的，而且头几个特征值往往并不以对称或规则?
的模式出现。
如我们在前面所讨论的，序列1,2，……，是最对称的对象，自然的在艺术中占有一席之地。
一个自然的问题是，差cλ-i的行为如何。
这个问题很复杂。
它的分布很可能由某个更高层次的对称所支配，这是受到了我们下面将要讨论的黎曼zeta函数ζ（s）的启发。
素数或齐达函数的对称
素数2，3，5，7，11，……是最基本和重要的研究对象。
可是它们在自然数列1，2，3，……中的分布看起来好像完全是随机的。
研究它们的一个重要工具就是著名的黎曼zeta函数。
模性的现象在数学和物理学中频繁出现。
一个例子是郎兰兹纲领，即何有意义和实际的数的序列都是模性的，也就是说它们是一个模形式（或自守表示）的系数。
一个著名的例子就是怀尔斯关于费马大定理的证明。
另一个重要的例子是Borcherds[Bo]证明的大魔群的月光猜想，他为此得到了1998年的菲尔兹奖。
这也可以解释为数学和自然科学中无处不在的对称。
Zeta函数的零点ζ（s）在素数分布的研究中特别重要。
著名的黎曼猜测说，它的所有非平凡零点都出现在对称线Re（s）=上。
这是美国克雷数学研究所悬赏百万美元的难题。
对称性在ζ（s）的零点分布方面发挥了重要的作用。
事实上，在合理的正规化以后，零点的分布可以用李群来控制，李群也支配了随机矩阵特征值的间隔。
李群与物理
对称与李群在物理学中有许多应用。
在物理学中的应用在极大刺激了群伦的发展。
事实上，量子力学极大影响了李群表示论的发展。
对称可以在物理学中从多个层面上观察到。
例如，在牛顿力学中，包括万有引力定律在内的许多定律都在平移、旋转和反射下保持不变。
在广义相对论中，对称性由洛伦兹群（或庞卡莱群）所支配。
狭义相对论的一个重要特征就是空间与时间的观念是对称的。
其实，伟大的物理学家Dirac对杨振宁说过，这个概念也许是爱因斯坦对物理学最大的贡献。
对称性在物理中的一个非常重要的应用是，可以从对称推出守恒律，这是历史上最著名的女数学家EmmyNoether证明的。
比如，空间中的平移对称（或不变性）可以推出动量的守恒律，时间的平移不变性可以推出能量的守恒律。
反射对称在艺术中也普遍存在。
可是在物理中，这是最复杂的问题，有时甚至是错误的。
两个分别发生在右手坐标和左手坐标系里的物理现象称为宇称守恒。
事实上，杨振宁和李政道在1956年提出，在弱作用领域，宇称是不守恒的。
他们为此在1957年获得诺贝尔物理学奖，它们的发现被著名华裔女物理学家吴健雄用实验证实。
对称性（或群论）在物理学中的另一个了不起的应用是关于亚原子粒子（称为八重道粒子）的分类规划，这种命名来自于佛教中的八正道（EightfoldWay），这是佛教认为可以达到至善至美的中庸之道。
为了解释这一规划，Gell-Mann引入了基本夸克，使他在1969年获得了诺贝尔物理学奖。
简单的说，一个粒子对应于希尔波特空间上哈密尔顿作用的特征函数。
如果一个李群保持哈密尔顿作用（或与之交换），那么哈密尔顿作用的特征空间就是表示空间。
同一个特征空间中的状态有许多共同的性质。
除了有时出现的退化现象，特征空间给出了群的所有不可约表示，并且术语一个不可约子空间的特征函数（或状态）自然的形成初等粒子的多重态。
在二十世纪六十年代初期，许多新的亚原子结构被发现，可是缺少一致的组成结构。
李群SU（3）的加权空间分解给出了粒子多重态的参数化。
一个相关的特别重要的表示是李代数SU（3）的伴随表示，它是八维的，所以命名为八重道。
一些新的粒子最早就是由这个分类所预言，后来由实验加以证实。
除了这些和SU（3）的平凡表示，只有另一个10维的表示很自然的出现。
在SU（3）上C3的标准表示并不出现。
这个标准表示中的三个权向量被Gell-Mann称为夸克。
对表示的标准运算，如取张量和对称积可以用来解释和澄清亚原子粒子的某些结构。
在这个意义下来说，SU（3）代表了宇宙的对称（或者更加谦虚的说，代表了亚原子世界的对称）。
对称空间
在上面的各节中，我们讨论了欧氏空间、双曲平面（即庞卡莱圆盘）中的对称物体和对称模式。
虽然前面没有提，可是直觉告诉我们，这些空间一定是对称的，至少具有丰富的对称性质。
事实上，这个条件是必要的。
我们发现，他们是一类非常重要，被称为对称空间的黎曼流形的两个实例。
对称空间的定义比对称物体的定义要复杂得多。
我们只作简要讨论。
在IRn中，任意两个都没有区别，因为我们总可以用一个等距平移把一个点变到另一个点。
具有这种性质的空间称为齐性空间。
在IRn中，一个更强的性质是，任意两点处的任意两个方向都是一样的，也就是说可以用一个等距，把一个方向变到另一个方向。
这些性质双曲平面也同样具有，可是这还不是对称空间的正确定义。
对称空间的正确定义是说，在每一个点处，相对于它的反射都是空间的整体等距。
我们很容易验证欧氏空间和双曲平面是对称空间。
对称空间的另一个重要例子是复平面C2，但它不满足上面两个条件。
对称空间定义以后，一个自然的问题是，是否它们与李群相关，我们已经强调过李群是对称概念的严格数学基础。
回答当然是肯定的，对称空间与李群的关系仍然是数学中的一个活跃的研究领域。
比如，朗兰兹纲领的几何背景就由对称空间及其商空间构成。
对称在许多场合中出现。
完美的上帝创造完美的宇宙，对称是其中的重要一环。
完美的理想化总是通过对称表现出来。
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