高二数学 平面向量的实际背景及基本概念教案Word文档格式.docx

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请同学指出哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

二、新课学习：

（一）向量的概念：

我们把既有大小又有方向的量叫向量

（二）请同学阅读课本后回答：

（可制作成幻灯片）

1、数量与向量有何区别？

2、如何表示向量？

3、有向线段和线段有何区别和联系？

分别可以表示向量的什么？

4、长度为零的向量叫什么向量？

长度为1的向量叫什么向量？

5、满足什么条件的两个向量是相等向量？

单位向量是相等向量吗？

6、有一组向量，它们的方向相同或相反，这组向量有什么关系？

7、如果把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？

这时各向量的终点之间有什么关系？

（三）探究学习

1、数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.

2.向量的表示方法：

①用有向线段表示；

②用字母ａ、ｂ

（黑体，印刷用）等表示；

③用有向线段的起点与终点字母：

；

④向量的大小――长度称为向量的模，记作||.

3.有向线段：

具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：

起点、方向、长度.

向量与有向线段的区别：

（1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量；

（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.

4、零向量、单位向量概念：

①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.

注意0与0的含义与书写区别.

②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.

说明：

零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.

5、平行向量定义：

①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；

②我们规定0与任一向量平行.

（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；

（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.

6、相等向量定义：

长度相等且方向相同的向量叫相等向量.

（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；

（2）零向量与零向量相等；

（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.

7、共线向量与平行向量关系：

平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）.

（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；

（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.

（四）理解和巩固：

例1书本86页例1.

例2判断：

（1）平行向量是否一定方向相同？

（不一定）

（2）不相等的向量是否一定不平行？

（3）与零向量相等的向量必定是什么向量？

（零向量）

（4）与任意向量都平行的向量是什么向量？

（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（平行向量）

（6）两个非零向量相等的当且仅当什么？

（长度相等且方向相同）

（7）共线向量一定在同一直线上吗？

例3下列命题正确的是（）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点

C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量

D.有相同起点的两个非零向量不平行

解：

由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确；

由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确；

向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以Ｄ不正确；

对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有ａ与ｂ共线，不符合已知条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.

例4如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与向量、、相等的向量.

变式一：

与向量长度相等的向量有多少个？

（11个）

变式二：

是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？

（存在）

变式三：

与向量共线的向量有哪些？

（）

课堂练习：

1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；

②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当＝

⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；

⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.

①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.

②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.

③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图与共线，虽起点不同，但其终点却相同.

2．书本88页练习

三、小结：

1、描述向量的两个指标：

模和方向.

2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.

3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.

四、课后作业：

书本88页习题2.1第3、5题

2019-2020年高二数学平面向量的数量积的物理背景及其含义教案

教学目的：

1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；

2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；

3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；

4.掌握向量垂直的条件.

平面向量的数量积定义

平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用

多媒体、实物投影仪

内容分析：

本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：

平面向量数量积的定义及几何意义；

平面向量数量积的5个重要性质；

平面向量数量积的运算律.

教学过程：

一、复习引入：

1．向量共线定理向量与非零向量共线的充要条件是：

有且只有一个非零实数λ，使=λ.

2．平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

3．平面向量的坐标表示

分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

把叫做向量的（直角）坐标，记作

4．平面向量的坐标运算

若，，则，，.

若，，则

5．∥（≠）的充要条件是x1y2-x2y1=0

6．线段的定比分点及λ

P1，P2是直线l上的两点，P是l上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，

使=λ，λ叫做点P分所成的比，有三种情况：

λ>

0（内分）（外分）λ<

0（λ<

-1）（外分）λ<

0（-1<

λ<

0）

7.定比分点坐标公式：

若点P１（x1，y1），Ｐ２（x2，y2），λ为实数，且＝λ，则点P的坐标为（），我们称λ为点P分所成的比.

8.点P的位置与λ的范围的关系：

①当λ＞０时，与同向共线，这时称点P为的内分点.

②当λ＜０（）时，与反向共线，这时称点P为的外分点.

9.线段定比分点坐标公式的向量形式：

在平面内任取一点O，设＝ａ，＝ｂ，

可得=

.

10．力做的功：

W=|F|⋅|s|cosθ，θ是F与s的夹角.

二、讲解新课：

1．两个非零向量夹角的概念

已知非零向量ａ与ｂ，作＝ａ，＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ与ｂ的夹角.

（1）当θ＝０时，ａ与ｂ同向；

（2）当θ＝π时，ａ与ｂ反向；

（3）当θ＝时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；

（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0︒≤θ≤180︒

C

2．平面向量数量积（内积）的定义：

已知两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ的数量积，记作a⋅b，即有a⋅b=|a||b|cosθ，

（０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0.

⋅探究：

两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别

（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosθ的符号所决定.

（2）两个向量的数量积称为内积，写成a⋅b；

今后要学到两个向量的外积a×

b，而a⋅b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·

”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×

”代替.

（3）在实数中，若a≠0，且a⋅b=0，则b=0；

但是在数量积中，若a≠0，且a⋅b=0，不能推出b=0.因为其中cosθ有可能为0.

（4）已知实数a、b、c（b≠0），则ab=bc⇒a=c.但是a⋅b=b⋅ca=c

如右图：

a⋅b=|a||b|cosβ=|b||OA|，b⋅c=|b||c|cosα=|b||OA|

⇒a⋅b=b⋅c但a≠c

（5）在实数中，有（a⋅b）c=a（b⋅c），但是（a⋅b）c≠a（b⋅c）

显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.

3．“投影”的概念：

作图

定义：

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影.

投影也是一个数量，不是向量；

当θ为锐角时投影为正值；

当θ为钝角时投影为负值；

当θ为直角时投影为0；

当θ=0︒时投影为|b|；

当θ=180︒时投影为-|b|.

4．向量的数量积的几何意义：

数量积a⋅b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosθ的乘积.

5．两个向量的数量积的性质：

设a、b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量.

1︒e⋅a=a⋅e=|a|cosθ

2︒a⊥b⇔a⋅b=0

3︒当a与b同向时，a⋅b=|a||b|；

当a与b反向时，a⋅b=-|a||b|.特别的a⋅a=|a|2或

4︒cosθ=

5︒|a⋅b|≤|a||b|

三、讲解范例：

例1已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120o，求a·

b.

例2已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为60o求（a+2b）·

（a-3b）.

例3已知|a|=3，|b|=4，且a与b不共线，k为何值时，向量a+kb与a-kb互相垂直.

例4判断正误，并简要说明理由.

①ａ·

0＝0；

②0·

ａ＝０；

③0－＝；

④｜ａ·

ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；

⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·

ｂ≠０；

⑥ａ·

ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；

⑦对任意向量ａ，ｂ，с都有（ａ·

ｂ）с＝ａ（ｂ·

с）；

⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ２＝ｂ２.

上述8个命题中只有③⑧正确；

对于①：

两个向量的数量积是一个实数，应有0·

对于②：

应有０·

ａ＝0；

对于④：

由数量积定义有｜ａ·

ｂ｜＝｜ａ｜·

｜ｂ｜·

｜cosθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，这里θ是ａ与ｂ的夹角，只有θ＝０或θ＝π时，才有｜ａ·

｜ｂ｜；

对于⑤：

若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·

ｂ＝０；

对于⑥：

由ａ·

ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零；

对于⑦：

若ａ与с共线，记ａ＝λс.

则ａ·

ｂ＝（λс）·

ｂ＝λ（с·

ｂ）＝λ（ｂ·

с），

∴（ａ·

ｂ）·

с＝λ（ｂ·

с）с＝（ｂ·

с）λс＝（ｂ·

с）ａ

若ａ与с不共线，则（ａ·

ｂ）с≠（ｂ·

с）ａ.

评述：

这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.

例6已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°

时，分别求ａ·

ｂ.

①当ａ∥ｂ时，若ａ与ｂ同向，则它们的夹角θ＝０°

，

∴ａ·

ｂ＝｜ａ｜·

｜ｂ｜cos0°

＝3×

6×

1＝18；

若ａ与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°

ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos180°

（-1）＝－18；

②当ａ⊥ｂ时，它们的夹角θ＝90°

③当ａ与ｂ的夹角是60°

时，有

ａ·

ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜cos60°

＝9

两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°

，180°

］，因此，当ａ∥ｂ时，有0°

或180°

两种可能.

四、课堂练习：

1.已知|a|=1，|b|=，且（a-b）与a垂直，则a与b的夹角是（）

A.60°

B.30°

C.135°

D.４５°

2.已知|a|=2，|b|=1，a与b之间的夹角为，那么向量m=a-4b的模为（）

A.2B.2C.6D.12

3.已知a、b是非零向量，则|a|=|b|是（a+b）与（a-b）垂直的（）

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.已知向量a、b的夹角为，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·

|a-b|=.

5.已知a+b=2i-8j，a-b=-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么a·

b=.

6.已知a⊥b、c与a、b的夹角均为60°

，且|a|=1，|b|=2，|c|=3，则（a+2b-c）２＝______.

7.已知|a|=1，|b|=，

（1）若a∥b，求a·

b；

（2）若a、b的夹角为６０°

，求|a+b|；

（3）若a-b与a垂直，求a与b的夹角.

8.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°

，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角.

9.对于两个非零向量a、b，求使|a+tb|最小时的t值，并求此时b与a+tb的夹角.

五、小结（略）

六、课后作业（略）

七、教学后记：