学年北京东城区第一学期期末检测高三数学文.docx
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学年北京东城区第一学期期末检测高三数学文
东城区2008—2009学年度第一学期期末教学目标检测
高三数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。
考试时间120分钟。
考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共40分）
注意事项：
1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
不能答在试卷上。
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合A＝{x∈Zx－3|＜2}，B＝{0，1，2}，则集合A∩B为（）
A．{2}B．{1，2}C．{1，2，3}D．{0，1，2，3}
2．已知a＝（3，4），b＝（－6，－8），则向量a与b（）
A．互相平行B．夹角为60°C．夹角为30°D．互相垂直
3．a＞b是a＞的（）
A.充分非必要条件B．必要非充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
4．已知∈，sina＝，则tan的值为（）
A．B．7C．－D．-7
5．若f（x）是偶函数，且当x∈［0，＋∞）时，f（x）＝x－1，则不等式f（x－1）＜0的解集是
（）
A．{x｜－1＜x＜0}B．{x｜x＜0或1＜x＜2}
C．{x｜0＜x＜2}D．{x｜1＜x＜2}
6．在的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是（）
A．3B．4C．5D．6
7．把一颗六个面分别标有1，2，3，4，5，6的正方体形的骰子投掷两次，观察其出现的点数，并记第一次出现的点数为m，第二次出现的点数为n，设向量p=（m，n），向量q=（－2，1），则满足pq的向量p的个数是（）
A．6B．5C．4D．3
8．已知垂直竖在水平地面上相距20米的两根旗杆的高分别为10米和15米，地面上的动点P到两旗杆顶点的仰角相等，则点P的轨迹是（）
A．椭圆B．圆C．双曲线D．抛物线
第Ⅱ卷（选择题共110分）
注意事项：
1.用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。
2.答卷前将密封线内的项目填写清楚。
题号
一
二
三
总分
1-8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
分数
得分
评卷人
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分。
把答案填在题中横线上。
9．抛物线y2＝4x的准线方程为．
10．已知{an}为等差数列，若a1－a8＋a15＝20，则a3＋a13的值为．
11．在平面直角坐标系中，不等式组，表示的平面区域的面积是．
12．一个球的球心到过球面上A、B、C三点的截面的距离等于球半径的一半，若AB＝BC＝CA＝3，则球的半径是，球的体积为．
13．已知向量＝（2，2），＝（cos，sin），则的取值范围是．
14．已知函数f（x）＝x2－，若f（－m2－1）＜f
（2），则实数m的取值范围是．
三、解答题：
本大题共6小题，共80分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
得分
评卷人
15．（本小题满分13分）
已知函数f（x）＝cos2x－sin2x＋2sinxcos＋1．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期及单调减区间；
（Ⅱ）若x∈，求f（x）的最大值和最小值．
得分
评卷人
16．（本小题满分13分）
北京的高考数学试卷共有8道选择题，每个选择题都给了4个选项（其中有且仅有一个是正确的）．评分标准规定：
每题只选1项，答对得5分，不答或答错得0分．某考生每道题都给出了答案，已确定有4道题的答案是正确的，而其余的题中，有两道题每题都可判断其两个选项是错误的，有一道题可以判断其一个选项是错误的，还有一道题因不理解题意只能乱猜．对于这8道选择题，试求：
（Ⅰ）该考生得分为40分的概率；
（Ⅱ）通过计算说明，该考生得多少分的可能性最大？
得分
评卷人
17．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1=4，D为AB中点．
（Ⅰ）求证：
ACBC1；
（Ⅱ）求证：
AC1∥平面CDB1；
（Ⅲ）求二面角C1－AB－C的大小；
得分
评卷人
18．（本小题满分13分）
设函数f（x）＝－x（x－m）2．
（Ⅰ）当m＝1时，求曲线y＝f（x）在点（2，f
（2））处的切线的方程；
（Ⅱ）当m＜0时，求函数f（x）的单调增区间和极小值．
得分
评卷人
19．（本小题满分13分）
已知点A（1，1）是椭圆1（a＞b＞0）上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且满足＝4．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）设点C、D是椭圆上的两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？
并说明理由．
得分
评卷人
20．（本小题满分14分）
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n∈N*）都在函数y＝的图象上．
（Ⅰ）若数列{bn}是等差数列，求证数列{an}为等比数列；
（Ⅱ）若数列{an}的前n项和为Sn＝1－2－n，过点Pn，Pn＋1的直线与两坐标轴所围成三角形面积为cn，求使cn≤t对n∈N*恒成立的实数t的取值范围．
东城区2008—2009学年度第一学期期末教学目标检测
高三数学参考答案（文科）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．A2．A3．B4．A5．C6．D7．D8．B
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
9．x＝－110．4011．412．2，13．14．－1＜m＜1
注：
两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.
三、解答题（本大题共6小题，共80分）
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：
f（x）＝cos2x－sin2x＋2sinxcosx＋1＝sin2x＋cos2x＋1
＝2sin＋1.……………………………………………4分
因此f（x）的最小正周期为，由＋2k≤2x＋≤＋2k，k∈Z得
＋k≤x≤＋k，k∈Z．
故f（x）的单调递减区间为，k∈Z．……………8分
（Ⅱ）当x∈时，2x＋∈，
则f（x）的最大值为3，最小值为0．………………………………………13分
16．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）要得40分，8道选择题必须全做对，在其余四道题中，有两道题答对的概率为，有一道题答对的概率为，还有一道题答对的概率为，所以得40分的概率为
P＝×××＝．………………………………………………6分
（Ⅱ）依题意，该考生得分的集合是{20，25，30，35，40}，得分为20表示只做对了四道题，其余各题都做错，所求概率为
P1＝×××＝；
同样可求得得分为25分的概率为
P2＝××××＋×××＋×××＝；
得分为30分的概率为P3＝；
得分为35分的概率为P4＝；
得分为40分的概率为P5＝．……………………………………………12分
所以得分为25分或30分的可能性最大．…………………………………13分
17．（本小题满分14分）
解法一：
（Ⅰ）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1底面
ABC，BC1在底面上的射影为CB．
由AC＝3，BC＝4，AB＝5，可得ACCB．
所以ACBC1．……………………………4分
（Ⅱ）设BC1与CB1交于点O，
则O为BC1中点．连结OD．
在△ABC1中，D，O分别为AB，
BC1的中点，故OD为△ABC1的中位线，
∴OD∥AC1，又AC1中平面CDB1，
OD平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1．………………………9分
（Ⅲ）过C作CEAB于E，连结C1E．
由CC1底面ABC可得C1EAB．
故∠CEC1为二面角C1－AB－C的平面角．
在△ABC中，CE＝，
在Rt△CC1E中，tanC1EC＝＝，
∴二面角C1－AB－C的大小为arctan．…………………………………9分
解法二：
∵直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC，BC，CC1两两垂直．如图以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．
（Ⅰ）∵＝（－3，0，0），＝（0，－4，4），
∴·＝0，故ACBC1.…………………………………………4分
（Ⅱ）同解法一…………………………………………………………………9分
（Ⅲ）平面ABC的一个法向量为m＝（0，0，1），
设平面C1AB的一个法向量为n＝（x0，y0，z0），
＝（－3，0，4），＝（－3，4，0）．
由得令x0＝4，则z0＝3，y0＝3．
则n＝（4，3，3）．故cos＞m，n＞＝＝．
所求二面角的大小为arccos.……………………………………14分
18.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）当m＝1时，f（x）＝―x（x―1）2＝―x3＋2x3－x，得f
（2）＝－2由
f′（x）＝―3x3＋4x―1，得f′
（2）2＝―5.……………………4分
所以，曲线y＝―x（x―1）2在点（2，―2）处的切线方程是y＋2＝―5（x―2），整理得5x＋y―8＝0.…………………………………………6分
（Ⅱ）f（x）＝―x（x―m）2＝―x3＋2mx2―m2x，
f′（x）＝―3x2＋4mx―m2＝―（3x―m）（x―m），
令f′（x）＝0解得x＝或x＝m.……………………………………10分
由于m＜0，当x变化时，f′（x）的取值情况如下表：
x
（－∞，m）
m
f′（x）
—
0
＋
0
—
因此函数f（x）的单调增区间是，且函数f（x）在x＝m处取得极小值f（m）＝0.………………………………………………………13分
19.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）由椭圆定义知2a＝4，故a＝2．即椭圆方程为＋＝1,将（1，1）代入得
b2＝．故椭圆方程为＋＝1．…………………………………4分
因此c2＝4－＝，离心率e＝．………………………………6分
（Ⅱ）设C（xC，yC），D（xD，yD），由题意知，AC的倾斜角不为90°，
故设AC的方程为y＝k（x－1）＋1，联立
消去y得（1＋3k2）x2－6k（k－1）x＋3k2－6k－1＝0
……………………………………………………………………………8分
由点A（1，1）在椭圆上，可知xC＝．
因为直线AC，AD的倾斜角互补，
故AD的方程为y＝－k（x－1）＋1，同理可得xD＝．
所以xC－xD＝．
又yC＝k（xC－1）＋1，yD＝－k（xD－1）＋1，yC－yD＝k（xC＋xD）－2k＝，
所以kCD＝＝，即直线CD的斜率为定值．……………13分
20．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）因为数列{bn}
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