高考数学理试题分类汇编圆锥曲线.docx

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高考数学理试题分类汇编圆锥曲线

圆锥曲线

一．选择题：

1.（福建卷11）又曲线（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为B

A.（1,3）B.C.（3,+）D.

2.（海南卷11）已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（A）

A.（，－1）B.（，1）C.（1，2）D.（1，－2）

3.（湖北卷10）如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用和分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：

①;②;③;④＜.

其中正确式子的序号是B

A.①③　　　　　　　B.②③　　　　C.①④　　　　D.②④

4.（湖南卷8）若双曲线（a＞0,b＞0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是（B）

A.（1,2）B.（2,+）C.（1,5）D.（5,+）

5.（江西卷7）已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C

A．B．C．D．

6.（辽宁卷10）已知点P是抛物线上的一个动点，则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（A）

A．B．C．D．

7.（全国二9）设，则双曲线的离心率的取值范围是（B）

A．B．C．D．

8.（山东卷（10）设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为A

（A）（B）

（C）（D）

9.（陕西卷8）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（B）

A．B．C．D．

10.（四川卷12）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为（B）

（Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ）

11.（天津卷（7）设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为B

（A）（B）　（C）（D）

12.（浙江卷7）若双曲线的两个焦点到一条准线的距离之比为3：

2,则双曲线的离心率是D

（A）3（B）5（C）（D）

13.（浙江卷10）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是B

（A）圆（B）椭圆

（C）一条直线（D）两条平行直线

14.（重庆卷（8）已知双曲线（a＞0,b＞0）的一条渐近线为y=kx（k＞0）,离心率e=,则双曲线方程为C

（A）－=1（B）

（C）（D）

二．填空题：

1.（海南卷14）过双曲线的右顶点为A，右焦点为F。

过点F平行双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为_______

2.（湖南卷12）已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F,右准线为,离心率e=过顶点A（0,b）作AM,垂足为M，则直线FM的斜率等于.

3.（江苏卷12）在平面直角坐标系中，椭圆1（0）的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=．

4.（江西卷15）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．

5.（全国一14）已知抛物线的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三角形面积为．2

6.（全国一15）在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．

7.（全国二15）已知是抛物线的焦点，过且斜率为1的直线交于两点．设，则与的比值等于．

8.（浙江卷12）已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A、B两点若，则=______________。

8

三．解答题：

1.（安徽卷22）．（本小题满分13分）

设椭圆过点，且着焦点为

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点，满足，证明：

点总在某定直线上

解

（1）由题意：

，解得，所求椭圆方程为

（2）方法一

设点Q、A、B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记,则且

又A，P，B，Q四点共线，从而

于是，

，

从而

，

（1），

（2）

又点A、B在椭圆C上，即

（1）+

（2）×2并结合（3），（4）得

即点总在定直线上

方法二

设点，由题设，均不为零。

且

又四点共线，可设,于是

（1）

（2）

由于在椭圆C上，将

（1），

（2）分别代入C的方程

整理得

（3）

（4）

（4）－（3）　　　得

即点总在定直线上

2.（北京卷19）．（本小题共14分）

已知菱形的顶点在椭圆上，对角线所在直线的斜率为1．

（Ⅰ）当直线过点时，求直线的方程；

（Ⅱ）当时，求菱形面积的最大值．

解：

（Ⅰ）由题意得直线的方程为．

因为四边形为菱形，所以．

于是可设直线的方程为．

由得．

因为在椭圆上，

所以，解得．

设两点坐标分别为，

则，，，．

所以．

所以的中点坐标为．

由四边形为菱形可知，点在直线上，

所以，解得．

所以直线的方程为，即．

（Ⅱ）因为四边形为菱形，且，

所以．

所以菱形的面积．

由（Ⅰ）可得，

所以．

所以当时，菱形的面积取得最大值．

3.（福建卷21）（本小题满分12分）

　　　如图、椭圆的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点.

（Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程；

　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动，值有,求a的取值范围.

本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分.

解法一：

（Ⅰ）设M，N为短轴的两个三等分点，

因为△MNF为正三角形，

所以,

即1＝

因此，椭圆方程为

（Ⅱ）设

（ⅰ）当直线AB与x轴重合时，

（ⅱ）当直线AB不与x轴重合时，

设直线AB的方程为：

整理得

所以

因为恒有，所以AOB恒为钝角.

即恒成立.

又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对mR恒成立，

即a2b2m2>a2-a2b2+b2对mR恒成立.

当mR时，a2b2m2最小值为0，所以a2-a2b2+b2<0.

a2

因为a>0,b>0,所以a0,

解得a>或a<（舍去），即a>,

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

解法二：

（Ⅰ）同解法一，

（Ⅱ）解：

（i）当直线l垂直于x轴时，

x=1代入=1.

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,2（1+yA2）<4yA2,yA2>1，即>1,

解得a>或a<（舍去），即a>.

（ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1,y1）,B（x2,y2）.

设直线AB的方程为y=k（x-1）代入

得（b2+a2k2）x2-2a2k2x+a2k2-a2b2=0,

故x1+x2=

因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,

所以x21+y21+x22+y22<（x2-x1）2+（y2-y1）2,

得x1x2+y1y2<0恒成立.

x1x2+y1y2=x1x2+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1x2-k2（x1+x2）+k2

=（1+k2）.

由题意得（a2-a2b2+b2）k2-a2b2<0对kR恒成立.

①当a2-a2b2+b2>0时，不合题意；

②当a2-a2b2+b2=0时，a=;

③当a2-a2b2+b2<0时，a2-a2（a2-1）+（a2-1）<0，a4-3a2+1>0,

解得a2>或a2>（舍去），a>，因此a.

综合（i）（ii），a的取值范围为（，+）.

4.（广东卷18）．（本小题满分14分）

设，椭圆方程为，抛物线方程为．如图4所示，过点作轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为，已知抛物线在点的切线经过椭圆的右焦点．

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；

（2）设分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点，使得为直角三角形？

若存在，请指出共有几个这样的点？

并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）．

【解析】

（1）由得，

当得，G点的坐标为，，，过点G的切线方程为即，令得，点的坐标为，由椭圆方程得点的坐标为，

即，即椭圆和抛物线的方程分别为和；

（2）过作轴的垂线与抛物线只有一个交点,以为直角的只有一个，

同理以为直角的只有一个。

若以为直角，设点坐标为，、两点的坐标分别为和，

。

关于的二次方程有一大于零的解，有两解，

即以为直角的有两个，

因此抛物线上存在四个点使得为直角三角形。

5.（湖北卷19）.（本小题满分13分）

如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点，，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程；

（Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、.

若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围.

本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分）

（Ⅰ）解法1：

以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D（0,2）,P（），依题意得

｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，

则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2.

∴曲线C的方程为.

解法2：

同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜

｜AB｜＝4.

∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线.

设双曲线的方程为＞0，b＞0）.

则由　解得a2=b2=2,

∴曲线C的方程为

（Ⅱ）解法1：

依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

∴k∈（-,-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x，y），F（x2,y2），则由①式得x1+x2=,于是

｜EF｜＝

＝

而原点O到直线l的距离d＝，

∴S△DEF=

若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有

③

综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1]∪（1-,1）∪（1,）.

解法2：

依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理，

得（1-k2）x2-4kx-6=0.

∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，

∴

.∴k∈（-，-1）∪（-1，1）∪（1，）.

设E（x1,y1）,F（x2,y2）,则由①式得

｜x1-x2｜=③

当E、F在同一去上时（如图1所示），

S△OEF＝

当E、F在不同支上时（如图2所示）.

S△ODE=

综上得S△OEF＝于是

由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF=

若△OEF面积不小于2

④

综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为[-，-1