《概率论与数理统计》习题三答案.docx
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《概率论与数理统计》习题三答案
《概率论与数理统计》习题及答案
习题三
1•将一硬币抛掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现
正面次数与出现反面次数之差的绝对值•试写出X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
1
0
0
3
0
0
2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X表示取到
黑球的只数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.
【解】X和Y的联合分布律如表:
0
1
2
3
0
0
0
1
0
2
P（0黑,2红,2
白）=
0
3•设二维随机变量（X，Y）的联合分布函数为
nn
F（x，y）=sinxsiny，0x2，0y2'0,其他•
求二维随机变量（X，Y）在长方形域0x-,-y-内的概率.
463
【解】如图P{0X上,-Y上}公式（3.2）
463
题3图
说明：
也可先求出密度函数，再求概率。
4.设随机变量（X，Y）的分布密度
f（x，y）
Ae
0,
（3x4y）
x0,y0,
其他.
求：
（1）常数A;
（2）随机变量（X,Y）的分布函数;
A=12
（2）
由定义，有
（3）P{0
X1,0Y2}
5•设随机变量（X,
Y）的概率密度为
f（X，
y）=
k（6
0,
y）,0
x2,2y4,
其他.
确定常数
求P{Xv1,Yv3};求P{X<1.5};
【解】
（1）由性质有
（2）P{X1,Y3}
3
f（x,y）dydx
（3）P{X1.5}
f（x,y）dxdy如图af（x,y）dxdy
D1
（4）P{XY4}f（x,y）dxdy如图bf（x,y）dxdy
XY4D2
x1.5
6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0,0.2）上服从均匀分布，Y的密度函数为
5y
fY（y）=5「y°,（y）0,其他.
求：
（1）X与Y的联合分布密度；
（2）P{YWX}.
【解】
（1）因X在（0,0.2）上服从均匀分布，所以X的密度函数为
所以
⑵P（Y
7•设二维随机变量（
X）f（x,y）dxdy如图25e5ydxdy
yxD
X，Y）的联合分布函数为
e4x）（1e2y）,
F（x，y）=（1
0,
x0,y0,
其他.
求（X,Y）
的联合分布密度•
【解】f（x,y）
乍（x,y）8e（4x2y）
xy0,
x0,y0,
其他•
&设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=4；y（2x）,
0,
1,0yx,
其他.
求边缘概率密度•
【解】fx（x）
f（x,y）dy
9•设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
ey
0,
y,
其他.
求边缘概率密度•
【解】fX（x）
f（x,y）dy
题10图
10.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
f（x，y）=
2
cxy,
0,
x2
y1,
其他.
（1）试确定常数c;
（2）
求边缘概率密度•
【解】
（1）
f（x,y）dxdy如图f（x,y）dxdy
D
21c—
（2）fx（x）f（x,y）dy
11.设随机变量（X,Y）的概率密度为
f（x,y）
1,|yx,0x1,
0,其他.
求条件概率密度fYix（y|x）,fxiy（x|y）
题11图
【解】fX（x）f（x,y）dy
所以
12.袋中有五个号码1，2，3，4，5，从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X，最大的号码为
Y.
（1）求X与Y的联合概率分布；
（2）X与Y是否相互独立？
故X与Y不独立
13.设二维随机变量（X，Y）的联合分布律为
、X
2
5
8
0.Y\
0.15
0.30
0.35
0.8
0.05
0.12
0.03
（1）求关于X和关于Y的边缘分布;
（2）X与Y是否相互独立？
【解】
（1）X和Y的边缘分布如下表
Y
2
5
8
P{Y=yi}
0.4
0.15
0.30
0.35
0.8
0.8
0.05
0.12
0.03
0.2
0.15P（X2,Y0.4）,
（2）因P{X2}gP{Y0.4}0.20.80.16
故X与Y不独立.
题14图
（2）方程a22XaY0有实根的条件是
XT,
（以小时计），并设X和Y相互独立，且服从同一分布,
从而方程有实根的概率为:
f（x）=
1000
2,x
x1000,
0,
其他.
求Z=X/Y的概率密度.
【解】如图,Z的分布函数FZ（z）P{Z
z}
P{X2}Y
（1）当z^o时，Fz（z）0
15.设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命其概率密度为
（2）当0题15图
⑶当z'l时，（这时当y=103时，x=103z）（如图b）
z1,
0z1,
其他.
16.设某种型号的电子管的寿命（以小时计）近似地服从N（160,202）分布•随机
地选取4只，求其中没有一只寿命小于180的概率.
【解】设这四只寿命为Xi（i=1,2,3,4），则Xi~N（160，202），
从而
17.设X，Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为
P{X=k}=p（k），k=0，1,2，…，
P{Y=r}=q（r），r=0，1，2，….
证明随机变量Z=X+Y的分布律为
i
P{Z=i}=p（k）q（ik），i=0，1,2，….
k0
【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数，
所以
于是
18.设X,Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为n,p的二项分布证明Z=X+Y
服从参数为2n,p的二项分布.
【证明】方法一：
X+Y可能取值为0,1,2,…，2n.
方法二：
设g回…何”炉，；・飞均服从两点分布（参数为p）,则
X=gi+比+…十w,Y=川/++•••_++,
X+Y=gi+w+…+w+w'+/+…廿/,所以，X+Y服从参数为（2n,p）的二项分布.
19.设随机变量（X,Y）的分布律为
（1）求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0};
（2）求V=max（X,Y）的分布律；
（3）求U=min（X,Y）的分布律；
（4）求W=X+Y的分布律.
【解】
（1）P{X2|Y2}P{X2,Y2}
P{Y2}
（2）P{Vi}P{max（X,Y）i}P{Xi,Yi}P{Xi,Yi}
所以V的分布律为
V=max（X
Y）
012345
P
00.040.160.280.240.28
（3）P{Ui}P{min（X,Y）i}
于是
U=min（X,Y）
0
1
2
3
P
0.28
0.30
0.25
0.17
（4）类似上述过程，有
W=X+Y
0
1
23
456
7
8
P
0
0.02
0.060.13
0.190.240.19
0.12
0.05
20.雷达的圆形屏幕半径为
R,设目标出现点（
X,Y）在屏幕上服从均匀分布
（1）
求P{Y>0|Y>X};
（2）设M=max{X,Y}，求P{M>0}.
题20图
【解】因（X,Y）的联合概率密度为
（1）P{Y0|YX}生°^YV
P{YX}
（2）P{M0}P{max（X,Y）0}1P{max（X,Y）0}
21.设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0,x=1,x=e2所围成，二维随机变量
（X,Y）在区域D上服从均匀分布，求（X，Y）关于X的边缘概率密度在x=2处
的值为多少？
题21图
、e212
【解】区域D的面积为S0丄dxlnx；2.（X,Y）的联合密度函数为
1x
（X，Y）关于X的边缘密度函数为
所以fx
（2）1
4
22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量（X，Y）联合分布律及关于X和Y的边缘
分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处
Y
y1
y2
y3
P{X=xi}=pi
Xx1
x2
1/8
1/8
P{Y=yj}=pj
1/6
1
2
【解】因P{Yyj}PjP{Xx,YYj},
i1
11从而P{Xx1,Yy1}
68
从而P{X
x1}-
P{X
人，丫
y1}
丄
6
24.
即：
P{X
x»T-
/11
24
64
又P{X
xdP{X
心丫
y1}
P{X
心丫
y2}P{XX1,Yy3}
即1丄
1
-P{X
X,
丫3},
424
8
从而P{X
X1,Yy
1
3}17
同理P{Y
y2}2,
P{X
X2，Y
y2}
3
8
而X与Y独立，故P{Xx〕gP{Y
yj}P{Xx「Yyi},
同理P{Xx2}3.
4
从而
厂
1
23.设某班车起点站上客人数X服从参数为X?
>0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p
（0（1）在发车时有n个乘
客的条件下，中途有m人下车的概率；
（2）二维随机变量（X，Y）的概率分布.
【解】
（1）P{Ym|Xn}C：
pm（1p）nm,0mn,n0,1,2丄.
（2）P{Xn,Ym}P{Xn}gP{Ym|Xn}
12
24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为X~，而Y的概率密度
0.30.7
为f（y），求随机变量U=X+Y的概率密度g（u）.
【解】设F（y）是Y的分布函数，则由全概率公式，知U=X+Y的分布函数为
由于X和Y独立，可见
由此，得U的概率密度为
25.25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间［0,3］上的均匀分布，求P{max{X,Y}<1}.解：
因为随即变量服从［0，3］上的均匀分布，于是有
因为X，Y相互独立，所以
1
推得P{max{X,Y}1}—.
9
26.设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
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