人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆.docx

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人教版九年级数学上册知识点总结第二十四章圆

人教版九年级数学上册知识点总结

第二十四章圆

24.1.1圆

知识点一圆的定义

圆的定义：

第一种：

在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫作圆。

固定的端点O叫作圆心，线段OA叫作半径。

第二种：

圆心为O，半径为r的圆是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合。

比较圆的两种定义可知：

第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。

知识点二圆的相关概念

（1）弦：

连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。

（2）弧：

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

（3）等圆：

等够重合的两个圆叫做等圆。

（4）等弧：

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。

24.1.2垂直于弦的直径

知识点一圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

知识点二垂径定理

（1）垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

如图所示，

直径为MD，AB是弦，且CD⊥AB，

垂径定理的推论：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

如上图所示，直径MD与非直径弦AB相交于点C，

CD⊥AB

AC=BCAM=BM

AD=BD

注意：

因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。

24.1.3弧、弦、圆心角

知识点弦、弧、圆心角的关系

（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。

（3）注意不能忽略同圆或等圆这个前提条件，如果丢掉这个条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等，比如两个同心圆中，两个圆心角相同，但此时弧、弦不一定相等。

24.1.4圆周角

知识点一圆周角定理

（1）圆周角定理：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2）圆周角定理的推论：

半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对弦是直径。

（3）圆周角定理揭示了同弧或等弧所对的圆周角与圆心角的大小关系。

“同弧或等弧”是不能改为“同弦或等弦”的，否则就不成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类。

知识点二圆内接四边形及其性质

圆内接多边形：

如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

圆内接四边形的性质：

（1）圆内接四边形的对角互补。

（2）四个内角的和是360°

（3）圆内接四边形的外角等于其内对角

24.2点、直线和圆的位置关系

24.2.1点和圆的位置关系

知识点一点与圆的位置关系

（1）点与圆的位置关系有：

点在圆外，点在圆上，点在圆内三种。

（2）用数量关系表示：

若设⊙O的半径是r，点P到圆的距离OP=d，则有：

点P在圆外d＞r；点p在圆上d=r；点p在圆内d＜r。

知识点二

（1）经过在同一条直线上的三个点不能作圆

（2）不在同一条直线上的三个点确定一个圆，即经过不在同一条直线上的三个点可以作圆，且只能作一个圆。

知识点三三角形的外接圆与外心

（1）经过三角形三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。

（2）外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心。

知识点四反证法

（1）反证法：

假设命题的结论不成立，经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫做反证法。

（2）反证法的一般步骤：

1假设命题的结论不成立；

2从假设出发，经过逻辑推理，推出或与定义，或与公理，或与定理，或与已知等相矛盾的结论；

3由矛盾判定假设不正确，从而得出原命题正确。

24.2.2直线和圆的位置关系

知识点一直线与圆的位置关系

（1）直线与圆的位置关系有：

相交、相切、相离三种。

（2）直线与圆的位置关系可以用数量关系表示

若设⊙O的半径是r，直线l与圆心0的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交d＜r；

直线l和⊙O相切d=r；

直线l和⊙O相离d＞r。

知识点二切线的判定和性质

（1）切线的判定定理：

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）切线的性质定理：

圆的切线垂直于过切点的半径。

（3）切线的其他性质：

切线与圆只有一个公共点；切线到圆心的距离等于半径；经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；必过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。

知识点三切线长定理

（1）切线长的定义：

经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。

（2）切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（3）注意：

切线和切线长是两个完全不同的概念，必须弄清楚切线是直线，是不能度量的；切线长是一条线段的长，这条线段的两个端点一个是在圆外一点，另一个是切点。

知识点四三角形的内切圆和内心

（1）三角形的内切圆定义：

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。

这个三角形叫做圆的外切三角形。

（2）三角形的内心：

三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心。

（3）注意：

三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，所以当三角形的内心已知时，过三角形的顶点和内心的射线，必平分三角形的内角。

（4）直角三角形内切圆半径的求解方法：

①直角三角形直角边为a.b，斜边为c，直角三角形内切圆半径为r.a-r+b-r=c,得

。

②根据三角形面积的表示方法：

ab=

.

24.3正多边形和圆

知识点一正多边形的外接圆和圆的内接正多边形

正多边形与圆的关系非常密切，把圆分成n（n是大于2的自然数）等份，顺次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

正多边形的中心：

一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。

正多边形的半径：

外接圆的半径叫做正多边形的半径。

正多边形的中心角：

正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角。

正多边形的边心距：

中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距。

知识点二正多边形的性质

（1）各边相等，各角相等；

（2）都是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，每一条对称轴都经过n边形的中心。

（3）正n边形的半径和边心距把正多边形分成2n个全等的直角三角形。

（4）所有的正多边形都是轴对称图形，每个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都经过正n边形的中心；当正n边形的边数为偶数时，这个正n边形也是中心对称图形，正n边形的中心就是对称中心。

（5）正n边形的每一个内角等于

，中心角和外角相等，等于

。

24.4弧长和扇形面积

知识点一弧长公式L=

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的弧长就是圆的周长C=2πR，所以n°的圆心角所对的弧长的计算公式L=

×2πR=

。

知识点二扇形面积公式

在半径为R的圆中，360°的圆心角所对的扇形面积就是圆的面积S=πR2，所以圆心角为n°的扇形的面积为S扇形=

。

比较扇形的弧长公式和面积公式发现：

S扇形=

知识点三圆锥的侧面积和全面积

圆锥的侧面积是曲面，沿着圆锥的一条母线将圆锥的侧面展开，容易得到圆锥的侧面展开图是一个扇形。

设圆锥的母线长为

，底面圆的半径为r，那么这个扇形的半径为

，扇形的弧长为2πr，因此圆锥的侧面积

。

圆锥的全面积为

。

中考回顾

1.（2017甘肃天水中考）如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB,∠BCD=30°,CD=4

则S阴影=（B　）

A.2πB.

πC.

πD.

π

2\（2017四川中考）如图,AB是☉O的直径,且AB经过弦CD的中点H,已知

cos∠CDB=

BD=5,则OH的长度为（　D　）

A.

B.

C.1D.

3.（2017甘肃兰州中考）如图,在☉O中,

点D在☉O上,∠CDB=25°,

则∠AOB=（　B）

A.45°B.50°C.55°D.60°

4.（2017山东青岛中考）如图,AB是☉O的直径,点C,D,E在☉O上,若∠AED=20°,则∠BCD的度数为（　B）

A.100°B.110°C.115°D.120°

5.（2017湖北黄冈中考）如图,在☉O中,OA⊥BC,∠AOB=70°,则∠ADC的度数为（　B）

A.30°B.35°C.45°D.70°

6.（2017福建中考）如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上位于AB异侧的两点.下列四个角中,一定与∠ACD互余的角是（　D　）

A.∠ADCB.∠ABDC.∠BACD.∠BAD

7.（2017贵州黔东南州中考）如图,☉O的直径AB垂直于弦CD,垂足为E,∠A=15°,半径为2,则弦CD的长为（　A）

A.2B.-1C.

D.4

模拟预测

1.如图,点A,B,C在☉O上,∠ABO=32°,∠ACO=38°,则∠BOC等于（　B　）

A.60°B.70°C.120°D.140°

解析:

如图,过点A作☉O的直径,交☉O于点D.

在△OAB中,∵OA=OB,

∴∠BOD=∠OBA+∠OAB=2×32°=64°.

同理可得,∠COD=∠OCA+∠OAC=2×38°=76°,

∴∠BOC=∠BOD+∠COD=140°.故选D.

2.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,∠AOB=120°,则弦AB的长是（B）

A.2

B.2

C.

D.3

3.如图,四边形ABCD内接于☉O,F是

上一点,且

连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC.

若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为（　B）

A.45°B.50°C.55°D.60°

4.如图,☉O是△ABC的外接圆,∠B=60°,☉O的半径为4,则AC的长等于（　A　）

A.4

B.6

C.2

D.8

5.如图,AB是☉O的直径,弦CD交AB于点E,且AE=CD=8,∠BAC=

∠BOD,则☉O的半径为（　B.　）

A.4

B.5C.4D.3

∵∠BAC=

∠BOD,∴

∴AB⊥CD.

∵AE=CD=8,∴DE=

CD=4.

设OD=r,则OE=AE-r=8-r.在Rt△ODE中,OD=r,DE=4,OE=8-r.

∵OD2=DE2+OE2,∴r2=42+（8-r）2,解得r=5.

6.若☉O的半径为1,弦AB=

弦AC=

则∠BAC的度数

为　15°或75°. 

7.如图,△ABC是☉O的内接三角形,点D是

的中点,已知∠AOB=98°,

∠COB=120°.则∠ABD的度数是　　101°. 

8.如图,将三角板的直角顶点放在☉O的圆心上,两条直角边分别交☉O于A,B两点,点P在优弧AB上,且与点A,B不重合,连接PA,PB.则∠APB为　　45°. 

9.如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点P在第一象限,☉P与x轴交于O,A两点,点A的坐标为（6,0）,☉P的半径为

则点P的坐标为　　（3,2）. 

10.如图,已知AB是☉O的直径,AC是弦,过点O作OD⊥AC于点D,连接BC.

（1）求证:

OD=

BC;

（2）若∠BAC=40°,求

的度数.

（1）证明:

（证法一）∵AB是☉O的直径,∴OA=OB.

又OD⊥AC,∴∠ODA=∠BCA=90°.

∴OD∥BC.∴AD=CD.∴OD=

BC.

（证法二）∵AB是☉O的直径,∴∠C=90°,OA=

AB.

∵OD⊥AC,即∠ADO=90°,∴∠C=∠ADO.

又∠A=∠A,∴△ADO∽△ACB.

∴

.∴OD=

BC.

（2）解:

（解法一）∵AB是☉O的直径,∠A=40°,

∴∠C=90°∴

的度数为:

2×（90°+40°）=260°.

（解法二）∵AB是☉O的直径,∠A=40°,

∴∠C=90°,∴∠B=50°.

∴

的度数为100°.∴

的度数为260°.