人教A版高中数学选修一第二章测试题文档格式.docx

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1D．m>

2

解析　由e2＝2＝＝1＋m>

2，m>

1.

答案　C

4．椭圆＋＝1上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时，P点坐标是（　　）

A．（5,0）或（－5,0）B．（，）或（，－）

C．（0,3）或（0，－3）D．（，）或（－，）

解析　|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，

∴|PF1|·

|PF2|≤（）2＝25.

当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5时，取得最大值，

此时P点是短轴端点，故选C.

5．已知双曲线－＝1（a>

0，b>

0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1B.－＝1

C.－＝1D.－＝1

解析　本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质与标准方程，属于容易题．

依题意知⇒a2＝9，b2＝27，

所以双曲线的方程为－＝1.

6．在y＝2x2上有一点P，它到A（1,3）的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是（　　）

A．（－2,1）B．（1,2）

C．（2,1）D．（－1,2）

解析　如图所示，直线l为抛物线y＝2x2的准线，F为其焦点，PN⊥l，AN1⊥l，

由抛物线的定义知，|PF|＝|PN|，

∴|AP|＋|PF|＝|AP|＋|PN|≥|AN1|，

当且仅当A，P，N三点共线时取等号，

∴P点的横坐标与A点的横坐标相同即为1，

则可排除A、C、D项，故选B.

7．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y轴上，抛物线上点M（m，－2）到焦点的距离为4，则m的值为（　　）

A．4或－4B．－2

C．4D．2或－2

解析　由题可知，－（－2）＝4，∴p＝4.

∴抛物线的方程为x2＝－8y.

将（m，－2）代入可得m2＝16，

∴m＝±

4.故选A.

答案　A

8．已知F1（－1,0），F2（1,0）是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为（　　）

A.＋y2＝1B.＋＝1

解析　依题意可设椭圆的方程为＋＝1（a>

b>

0），则A，B，又|AB|＝－＝＝3，∴2b2＝3a.又a2－b2＝c2＝1，∴a＝2，b＝.故C的方程为＋＝1.

9．动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过点（　　）

A．（4,0）B．（2,0）

C．（0,2）D．（0，－2）

解析　直线x＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点（2,0）．

10．椭圆＋＝1（a＞b＞0）上任意一点到两焦点的距离分别为d1，d2，焦距为2c，若d1,2c，d2成等差数列，则椭圆的离心率为（　　）

A.B.

C.D.

解析　由椭圆的定义可知d1＋d2＝2a，

又由d1,2c，d2成等差数列，

∴4c＝d1＋d2＝2a，∴e＝＝.

11．已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是（　　）

A．x2＝y－B．x2＝2y－

C．x2＝2y－1D．x2＝2y－2

解析　由y＝x2⇒x2＝4y，焦点F（0,1），

设PF中点Q（x，y）、P（x0，y0），

则∴x2＝2y－1.

12．已知F1，F2是双曲线－＝1（a>

0）的左、右焦点，P为双曲线左支上一点，若的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是（　　）

A．（1,3）B．（1,2）

C．（1,3]D．（1,2]

解析　＝

＝|PF1|＋＋4a≥8a，

当|PF1|＝，即|PF1|＝2a时取等号．

又|PF1|≥c－a，∴2a≥c－a.

∴c≤3a，即e≤3.

∴双曲线的离心率的取值范围是（1,3]

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）

13．若双曲线－＝1（b>

0）的渐近线方程为y＝±

x，则b等于________．

解析　由题意知＝，解得b＝1.

答案　1

14．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点（4,0），离心率为，则椭圆的标准方程为________．

解析　若焦点在x轴上，则a＝4，

由e＝，可得c＝2，

∴b2＝a2－c2＝16－12＝4，

椭圆方程为＋＝1；

若焦点在y轴上，则b＝4，

由e＝，可得＝，∴c2＝a2.

又a2－c2＝b2，∴a2＝16，a2＝64.

∴椭圆方程为＋＝1.

答案　＋＝1，或＋＝1

15．设F1和F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°

，则△F1PF2的面积为________．

解析　由题设知

②－①2得|PF1|·

|PF2|＝2.

∴△F1PF2的面积S＝|PF1|·

|PF2|＝1.

16．过双曲线C：

－＝1（a>

0）的一个焦点作圆x2＋y2＝a2的两条切线，切点分别为A，B.若∠AOB＝120°

（O是坐标原点），则双曲线C的离心率为________．

解析　如图，设双曲线一个焦点为F，

则△AOF中，|OA|＝a，|OF|＝c，∠FOA＝60°

.

∴c＝2a，∴e＝＝2.

答案　2

三、解答题（本大题共6个小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

17．（10分）已知抛物线y2＝6x，过点P（4,1）引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.

解　设弦两端点P1（x1，y1），P2（x2，y2）．

∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.

两式相减，得（y1＋y2）（y1－y2）＝6（x1－x2）．

∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3.

∴直线的方程为y－1＝3（x－4），即3x－y－11＝0.

由得y2－2y－22＝0，

∴y1＋y2＝2，y1·

y2＝－22.

∴|P1P2|＝＝.

18．（12分）双曲线与椭圆有共同的焦点F1（0，－5），F2（0,5），点P（3,4）是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的标准方程．

解　由共同的焦点F1（0，－5），F2（0,5），可设椭圆的方程为＋＝1（a>

5），双曲线方程为－＝1.

∵点P（3,4）在椭圆上，∴＋＝1.解得a2＝40或a2＝10（舍去）．∴椭圆的标准方程为＋＝1.

又过点P（3,4）的双曲线的渐近线方程为y＝x，即4＝×

3，∴b2＝16.∴双曲线的标准方程为－＝1.

19．（12分）已知椭圆方程为＋＝1，在椭圆上是否存在点P（x，y）到定点A（a,0）（其中0＜a＜3）的距离的最小值为1，若存在，求出a的值及P点的坐标；

若不存在，说明理由．

解　设存在点P（x，y）满足题设条件，则

|AP|2＝（x－a）2＋y2.

又∵＋＝1，∴y2＝4（1－）．

∴|AP|2＝（x－a）2＋4（1－）

＝（x－a）2＋4－a2.

∵|x|≤3，当|a|≤3，又0<

a<

3

即0＜a≤时，|AP|2的最小值为4－a2.

依题意，得4－a2＝1，∴a＝±

∉，

当a＞3，即＜a＜3.

此时x＝3，|AP|2取最小值（3－a）2.

依题意，得（3－a）2＝1，∴a＝2.

此时P点的坐标是（3,0）．

故当a＝2时，存在这样的点P满足条件，P点坐标为（3,0）．

20．（12分）已知椭圆C：

＋＝1（a>

0），直线l为圆O：

x2＋y2＝b2的一条切线，记椭圆C的离心率为e.

（1）若直线l的倾斜角为，且恰好经过椭圆C的右顶点，求e的大小；

（2）在

（1）的条件下，设椭圆C的上顶点为A，左焦点为F，过点A与AF垂直的直线交x轴的正半轴于B点，且过A，B，F三点的圆恰好与直线l：

x＋y＋3＝0相切，求椭圆C的方程．

解　

（1）如图，设直线l与圆O相切于E点，椭圆C的右顶点为D，

则由题意易知，△OED为直角三角形，

且|OE|＝b，|OD|＝a，∠ODE＝，

∴|ED|＝＝c（c为椭圆C的半焦距）．

∴椭圆C的离心率e＝＝cos＝.

（2）由

（1）知，＝，

∴可设a＝2m（m>

0），则c＝m，b＝m，

∴椭圆C的方程为＋＝1.

∴A（0，m），∴|AF|＝2m.

直线AF的斜率kAF＝，∴∠AFB＝60°

在Rt△AFB中，|FB|＝＝4m，

∴B（3m,0），设斜边FB的中点为Q，则Q（m,0），

∵△AFB为直角三角形，

∴过A，B，F三点的圆的圆心为斜边FB的中点Q，且半径为2m，

∵圆Q与直线l：

x＋y＋3＝0相切，

∴＝2m.

∵m是大于0的常数，∴m＝1.

故所求的椭圆C的方程为＋＝1.

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

0）的离心率e＝，且椭圆C上的点到点Q（0,2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：

mx＋ny＝1与圆O：

x2＋y2＝1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？

若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；

若不存在，请说明理由．

解　

（1）由e＝＝，得a2＝c2.

又a2－b2＝c2，∴a2＝3b2.

故椭圆的方程为x2＋3y2＝3b2.

又椭圆上的点P（x，y）到点Q（0,2）的距离

d＝＝

＝

∴当y＝－1时，有＝3，解得b＝1.

∴椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）S△AOB＝|OA|·

|OB|sin∠AOB＝sin∠AOB，

当∠AOB＝90°

，S△AOB取最大值，

此时点O到直线l距离d＝＝，

∴m2＋n2＝2.又∵＋n2＝1，

解得：

m2＝，n2＝.

∴点M的坐标为或或

或.

故存在点M，使△AOB的面积为.

22．（12分）已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是（－，0），（，0），离心率是，直线y＝t与椭圆C交于不同的两点M，N，以线段MN为直径作圆P，圆心为P.

（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；

（3）设Q（x，y）是圆P上的动点，当t变化时，求y的最大值．

解　

（1）∵＝，且c＝，

∴a＝，b＝＝1.

∴椭圆C的方程为＋y2＝1.

（2）由题意知P（0，t）（－1<

t<

1），

由得x＝±

，

∴圆P的半径为.

∴＝|t|，解得t＝±

∴点P的坐标是（0，±

）．

（3）由

（2）知，圆P的方程为

x2＋（y－t）2＝3（1－t2）．

∵点Q（x，y）在圆P上，

∴y＝t±

≤t＋.

设t＝cosθ，θ∈（0，π），

则t＋＝cosθ＋sinθ＝2sin（θ＋），

当θ＝，即t＝，且x＝0，y取最大值2.