机械振动点点清专题6单摆测重力加速度220Word文档下载推荐.docx
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（4）计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低点位置时开始计时（此处速度大、计时误差小，而最高点速度小、计时误差大），以摆球从同一方向通过最低点时计数，要多测几次（如30次或50次）全振动的时间，并用取平均值的方法求周期．
（5）利用图像法处理数据具有形象、直观的特点，同时也能减小实验误差，利用图像解题时要特别注意图像的斜率及截距的应用．
6.误差分析
产生原因
减小方法
偶然误差
测量时间（单摆周期）及摆长时产生误差
①多次测量再求平均值
②计时从单摆经过平衡位置时开始
系统误差
主要来源于单摆模型本身
①摆球要选体积小，密度大的
②最大摆角要小于10°
【典例1】在探究单摆运动的实验中：
（1）图3（a）是用力传感器对单摆振动过程进行测量的装置图，图（b）是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F－t图象，根据图（b）的信息可得，从t＝0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为________s，摆长为________m（取π2＝10，重力加速度大小g＝10m/s2）。
图3
（2）单摆振动的回复力是________。
A.摆球所受的重力
B.摆球重力在垂直摆线方向上的分力
C.摆线对摆球的拉力
D.摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力
（3）某同学的操作步骤如下，其中正确的是________。
A.取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上
B.用米尺量得细线长度l，测得摆长为l
C.在摆线偏离竖直方向5°
位置释放小球
D.让小球在水平面内做圆周运动，测得摆动周期，再根据公式计算重力加速度
解析
（1）根据题图（b）的信息可得，摆球第一次摆到最低点时，力传感器显示的力最大，所对应的时刻为t＝0.5s。
根据题图（b）的信息可得，单摆周期T＝1.6s，由单摆周期公式T＝2π
，解得摆长为L＝0.64m。
（2）单摆振动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，选项B正确。
（3）测得摆长应为l＋
，选项B错误；
若让小球在水平面内做圆周运动，则为圆锥摆运动，测得摆动周期就不是单摆运动周期，选项D错误。
答案
（1）0.5 0.64
（2）B （3）AC
【典例2】．（2018·
天津市第二次联考）甲、乙两个学习小组分别利用单摆测量重力加速度。
（1）甲组同学采用图甲所示的实验装置。
A.由于没有游标卡尺，无法测小球的直径d，实验中将悬点到小球最低点的距离作为摆长l，测得多组周期T和l的数据，作出l－T2图象，如图乙所示。
①实验得到的l－T2图象是________；
②小球的直径是________cm；
B.在测量摆长后，测量周期时，摆球振动过程中悬点O处摆线的固定出现松动，摆长略微变长，这将会导致所测重力加速度的数值________。
（填“偏大”“偏小”或“不变”）
（2）乙组同学在图甲所示装置的基础上再增加一个速度传感器，如图丙所示，将摆球拉开一小角度使其做简谐运动，速度传感器记录了摆球振动过程中速度随时间变化的关系，如图丁所示的v－t图线。
A.由图丁可知，该单摆的周期T＝________s；
B.更换摆线长度l后，多次测量，根据实验数据，利用计算机作出T2－l图线（l为摆线长），并根据图线拟合得到方程T2＝4.04l＋0.024。
由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2。
（取π2＝9.86，结果保留3位有效数字）
解析
（1）①由单摆的周期公式T＝2π
得l＝
T2＋
由数学关系得斜率k＝
，纵截距b＝
，因l－T2图象的纵截距为正，则图象应为c。
②由图象c的纵截距可得d＝2b＝2×
0.6cm＝1.2cm
绳子松动导致摆长变长，但测量值偏小，
得g＝
，则重力加速度的测量值偏小。
（2）根据简谐运动的图线知，单摆的周期T＝2.0s
根据T＝2π
，得T2＝
l＋
则k＝
＝4.04，解得g＝9.76m/s2
答案
（1）①c ②1.2 偏小
（2）2.0 9.76
【典例3】某同学想在家里做用单摆测定重力加速度的实验，但没有合适的摆球，他只好找到一块大小为3cm左右，外形不规则的大理石块代替小球．实验步骤是：
A．石块用细尼龙线系好，结点为M，将尼龙线的上端固定于O点
B．用刻度尺测量OM间尼龙线的长度L作为摆长
C．将石块拉开一个大约α＝30°
的角度，然后由静止释放
D．从摆球摆到最高点时开始计时，测出30次全振动的总时间t，由T＝
得出周期
E．改变OM间尼龙线的长度，再做几次实验，记下相应的L和T
F．求出多次实验中测得的L和T的平均值作计算时使用的数据，带入公式g＝（
）2L求出重力加速度g.
（1）你认为该同学在以上实验步骤中有重大错误的是哪些步骤？
为什么？
（2）该同学用OM的长作为摆长，这样做引起的系统误差将使重力加速度的测量值比真实值偏大还是偏小？
你认为用何方法可以解决摆长无法准确测量的困难？
例4见解析
解析
（1）实验步骤中有重大错误的是：
B：
大理石重心到悬挂点间的距离才是摆长
C：
最大偏角不能超过10°
D：
应在摆球经过平衡位置时计时
F：
应该用各组的L、T求出各组的g后，再取平均值
（2）用OM作为摆长，则忽略了大理石块的大小，没有考虑从结点M到石块重心的距离，故摆长L偏小．根据T＝2π
，g＝
，故测量值比真实值偏小．可以用改变摆长的方法，如T＝2π
，T′＝2π
，测出Δl，则g＝
【典例4】某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球直径为2.00cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间为99.9s．则
①该摆摆长为_______cm。
98.50cm
②如果他测得的g值偏大，可能的原因是
AD
A．测摆线长时摆线拉的过紧
B．摆球的质量测的不准确
C．摆角太小，使周期变小
D．实验中误将49次全振动数为50次
试题分析：
①摆长
②根据
知，测摆线长时摆线拉得过紧，导致摆长偏大，重力加速度偏大．故A正确．实验中不需要测量小球的质量，B错误，简谐运动是一种理想的运动模型，单摆只有在摆角很小，空气阻力影响不计的情况下单摆的振动才可以看成简谐运动，所以摆角过小，不影响周期，C错误；
实验中误将49次全振动记为50次，导致周期变小，根据
知，，重力加速度偏大．故D正确．
故选AD
【典例5】在做“用单摆测定重力加速度”的实验中
（1）以下对实验的几点建议中，有利于提高测量结果精确度的是________。
A．实验中适当加长摆线
B．单摆偏离平衡位置的角度不能太大
C．当单摆经过最大位置时开始计时
D．测量多组周期T和摆长L，作L－T2关系图像来处理数据
（2）某同学在正确操作和测量的情况下，测得多组摆长L和对应的周期T，画出L－T2图像，如图所示。
出现这一结果最可能的原因是：
摆球重心不在球心处，而是在球心的正__________方（选填“上”或“下”）。
为了使得到的实验结果不受摆球重心位置无法准确确定的影响，他采用恰当的数据处理方法：
在图线上选取A、B两个点，找到两点相应的横纵坐标，如图所示。
用表达式g＝________计算重力加速度，此结果即与摆球重心就在球心处的情况一样。
（1）ABD
（2）下；
1.在用单摆测定重力加速度的实验中，下列说法正确的是（ D ）
A．安装好装置后，测出摆线长即为摆长
B．当小球摆到最高点时按下秒表开始计时，有利于减小误差
C．为了实验现象明显，应该将摆线拉开30°
角再放手开始实验
D．若安装时悬点松动，将导致重力加速度的测量值偏小
解析 摆长等于摆线的长度加上摆球的半径，应将摆球悬挂后，用米尺测出摆球球心到悬点的距离作为摆长，故A错误；
当小球摆到最高点时摆球的速度比较小，若此时按下秒表开始计时，不利于减小误差，故B错误；
单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，单摆的摆角不能太大，一般不超过5°
，否则单摆将不做简谐运动，故C错误；
摆线上端未牢固地系于悬点，摆动中出现松动，使摆线长度增加，但运算时选用开始所测得值，周期公式T＝2π
及其变形式g＝
可知将导致g值偏小，故D正确．
微专题四单摆测重力加速度的误差分析
2.某同学在做“利用单摆测重力加速度”实验中，以下一些做法正确的有 .
a.摆线要选择细些的、伸缩性小些的，并且尽可能长一些
b.摆球尽量选择质量大些、体积小些的
c.为了使摆的周期大一些，以方便测量，开始时拉开摆球，使摆线相距平衡位置有较大的角度
d.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°
，在释放摆球的同时开始计时，当摆球回到开始位置时停止计时，此时间间隔Δt即为单摆周期T
e.拉开摆球，使摆线偏离平衡位置不大于5°
，释放摆球，当摆球振动稳定后，从平衡位置开始计时，记下摆球做50次全振动所用的时间Δt，则单摆周期T＝
【解析】
（2）单摆的构成条件：
细线质量要小，弹性要小；
球要选体积小、密度大的；
偏角不超过5°
，故a、b正确，c错误.为了减小测量误差，要从摆球摆过平衡位置时计时，且需测量多次全振动所用时间，然后计算出一次全振动所用的时间，故d错误，e正确.
【答案】
（2）abe
3.某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将从悬点到球心的距离当作摆长l，通过改变摆线的长度，测得5组l和对应的周期T，画出l－T2图线，然后在图线上选取A、B两个点，坐标如图4所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速度的表达式应为g＝________.请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比，将________（填“偏大”、“偏小”或“相同”）．
图4
答案
相同
解析 由周期公式T＝2π
，得g＝
，结合图象得到g＝
，因为这样处理数据后用到的是前后两次摆长的差值，与重心位置无关，所以测量结果不受影响．
4.（2018·
保定一模）（多选）一根不可伸长的细线．上端悬挂在O点，下端系一个小球，如图
（1）所示，某同学利用此装置来探究周期与摆长的关系．该同学用米尺测得细线两端的长度，用卡尺测量小球的直径，二者相加为l，通过改变细线的长度，测得对应的周期T，得到该装置的l T2图像如图
（2）所示．利用所学单摆相关知识，选择下列说法正确的选项（取π2＝9.86）（ ）
A．T＝2s时摆长为1m
B．T＝2s时摆长为0.994m
C．摆球半径为0.006m
D．当地重力加速度为9.80m/s2
E．当地重力加速度为9.86m/s2
【答案】 BCD
【解析】 设摆长为l′，根据T＝2π
，摆长为l′＝
·
T2＝
×
22m＝0.994m，故B项正确，A项错误．由图
（2）可知，摆球半径为r＝l－l′＝0.006m，C项正确．
（l′＝1－0.006）并结合图
（2）推导得：
l＝0.006＋
T2，可知
为l T2图像的斜率，所以有：
＝
，解得：
g＝9.80m/s2，故D项正确，E项错误．
5.在“利用单摆测重力加速度”的实验中：
（1）以下做法中正确的是（ ）
A．测量摆长的方法：
用刻度尺量出从悬点到摆球间的细线长
B．测量周期时，从小球到达最大位移位置开始计时，摆球完成50次全振动时，及时截止，然后求出完成一次全振动的时间
C．要保证单摆自始至终在同一竖直面内摆动
D．单摆振动时，应注意使它的偏角开始时不能小于10°
（2）某同学先用米尺测得摆线长为97.43cm，用游标卡尺测得摆球直径如图所示为________cm，则单摆的摆长为________cm；
然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间如图所示为________s，则单摆的周期为________s；
当地的重力加速度为g＝________m/s2.
（3）实验中，如果摆球密度不均匀，无法确定重心位置，一位同学设计了一个巧妙的方法不计摆球的半径．具体做法如下：
第一次量得悬线长L1，测得振动周期为T1；
第二次量得悬线长L2，测得振动周期为T2，由此可推得重力加速度为g＝________．
【答案】
（1）C
（2）2.125 98.49 100.0 2.0 9.71
（3）4π2×
【解析】
（1）单摆的摆长应为摆线长再加上摆球的半径，A项错误；
选择计时起点应以通过平衡位置（速度最大处）为起点可以减小计时误差，B项错误；
单摆振动过程中摆角要小于10°
，D项错误，故C项正确．
（2）摆球直径为21mm＋5×
0.05mm＝21.25mm＝2.125cm.
摆长为97.43cm＋2.125/2cm＝98.49cm.
秒表读数为90s＋10.0s＝100.0s
周期T＝
s＝2s．而g＝4π2
＝9.71m/s2.
（3）设摆线底端到重心的距离为r，
则有T1＝2π
，T2＝2π
，
由两式，得g＝4π2×
6.某同学利用单摆测量重力加速度.
（1）为了使测量误差尽量小，下列说法正确的是 Ｗ.
A.组装单摆须选用密度和直径都较小的摆球
B.组装单摆须选用轻且不易伸长的细线
C.实验时须使摆球在同一竖直面内摆动
D.摆长一定的情况下，摆的振幅尽量大
图14－1－19
（2）如图14－1－19所示，在物理支架的竖直立柱上固定有摆长约1m的单摆.实验时，由于仅有量程为20cm、精度为1mm的钢板刻度尺，于是他先使摆球自然下垂，在竖直立柱上与摆球最下端处于同一水平面的位置做一标记点，测出单摆的周期T1；
然后保持悬点位置不变，设法将摆长缩短一些，再次使摆球自然下垂，用同样方法在竖直立柱上做另一标记点，并测出单摆的周期T2；
最后用钢板刻度尺量出竖直立柱上两标记点之间的距离ΔL.用上述测量结果，写出重力加速度的表达式g＝ Ｗ.
【解析】
（1）在利用单摆测定重力加速度实验中，应选用密度较大且直径较小的摆球，A错.在摆动中要尽力保证摆长不变，故应选用不易伸长的细线，B对.摆动中要避免单摆成为圆锥摆，摆球要在同一竖直面内摆动，C对.摆动中摆角要控制在5°
以内，所以D错.
（2）设两次摆动时单摆的摆长分别为L1和L2，则T1＝2π
，则ΔL＝
（T
－T
）.因此，g＝
【答案】
（1）BC
（2）
7.将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图9甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.
图9
（1）测量单摆的周期时，某同学在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时数“1”，当摆球第二次通过最低点时数“2”，依此法往下数，当他数到“59”时，停止计时，读出这段时间t，则该单摆的周期为（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）如果实验中所得到的T2－L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．
（3）由图象可知，小筒的深度h＝________m；
当地重力加速度g＝________m/s2.（π＝3.14，后一空结果取三位有效数字）
答案
（1）A
（2）a （3）0.3 9.86
解析
（1）58个“半周期”，这段时间t含有29个周期，该单摆的周期为
，选项A正确．
（2）设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π
得，T2＝
L＋
h，可知T2－L关系图象为a.
（3）将T2＝0，L＝－30cm代入上式可得
h＝30cm＝0.3m
将T2＝1.20s2，L＝0代入上式可求得
g＝π2≈9.86m/s2.
8.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图5甲所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间如图乙中秒表所示，则秒表读数是________s，单摆摆动周期是________．
图5图6
为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标、以T2为纵坐标的坐标系上，如图6所示，则：
单摆做简谐运动应满足的条件是________________．
试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.（结果保留两位有效数字）
解析 由T＝2π
，可知g＝
由题图可知：
摆长l＝（88.50－1.00）cm＝87.50cm＝0.8750m.
秒表的读数t＝60s＋15.2s＝75.2s，所以T＝
＝1.88s.
单摆做简谐运动的条件是摆角θ≤5°
把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点均匀分布在直线的两侧，则直线斜率k＝
.由g＝
，可得g≈9.9m/s2.
9.某同学在做利用单摆测重力加速度的实验中，先测得摆线长为97.50cm，摆球的直径为2.0cm，然后用秒表记录了单摆振动50次所用的时间，如下图所示，则
（1）该摆摆长为＿＿＿＿cm，秒表所示读数为＿＿＿＿s。
98.50 99.8
（2）如果测得的g值偏小，可能的原因是＿＿B
＿＿。
A、测摆线长时摆线拉得过紧
B、摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
C、开始计时时，秒表过迟按下
D、实验中误将49次全振动记为50次
（3）为了提高实验精确度，在实验中可改变几次摆长l并测出相应的周期，从而得到一组对应的l与T的数据，再以l为横坐标，T2为纵坐标，将所得数据连成直线如图所示，并求得该直线的斜率为k，则重力加速度g＝＿＿＿＿（用k表示）。
解析:
（1）摆长l＝l线＋d/2＝98.50cm，t＝99.8s。
（2）由单摆周期公式
， 推出
A项，测量的l偏大，g偏大；
B项，测量的l偏小，g偏小；
C项，测量的t偏小，g偏大；
D项，n偏大，g偏大。
所以正确选项B。
（3）由单摆的周期公式可得：
如上图中直线的斜率为
∴
。
10．（探究创新）（2010·
北京海淀区模拟）某同学利用如图15所示的装置测量当地的重力加速度．实验步骤如下：
A．按装置图安装好实验装置；
B．用游标卡尺测量小球的直径d；
C．用米尺测量悬线的长度l；
D．让小球在竖直平面内小角度摆动．当小球经过最低点时开始计时，并计数为0，此后小球每经过最低点一次，依次计数1、2、3、….当数到20时，停止计时，测得时间为t；
E．多次改变悬线长度，对应每个悬线长度，都重复实验步骤C、D；
F．计算出每个悬线长度对应的t2；
G．以t2为纵坐标、l为横坐标，作出t2－l图线．
结合上述实验，完成下列题目：
（1）用游标为10分度（测量值可准确到0.1mm）的卡尺测量小球的直径．某次测量的示数如图16所示，读出小球直径d的值为________cm.
图16
图17
（2）该同学根据实验数据，利用计算机作出图线如图17所示．根据图线拟合得到方程t2＝404.0l＋3.5.由此可以得出当地的重力加速度g＝________m/s2.（取π2＝9.86，结果保留3位有效数字）
（3）从理论上分析图线没有过坐标原点的原因，下列分析正确的是（ ）
A．不应在小球经过最低点时开始计时，应该在小球运动到最高点时开始计时
B．开始计时后，不应记录小球经过最低点的次数，而应记录小球做全振动的次数
C．不应作t2－l图线，而应作t2－（l－
d）图线
D．不应作t2－l图线，而应作t2－（l＋
10．
（1）1.52
（2）9.76 （3）D
13.某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作：
（1）用游标尺上有10个小格的游标卡尺测量摆球的直径如图14－1－24甲所示，可读出摆球的直径为 cm.把摆球用细线悬挂在铁架台上，测量摆线长，通过计算得到摆长L.
图14－1－24
（2）用秒表测量单摆的周期.当单摆摆动稳定且到达最低点时开始计时并记为n＝1，单摆每经过最低点记一次数，当数到n＝60时秒表的示数如图14－1－24乙所示，该单
摆的周期是T＝ s（结果保留三位有效数字）.
（3）测量出多组周期T、摆长L的数值后，画出T2－L图线如图14－1－24丙，此图线斜率的物理意义是（ ）
A.g B.
C.
D.
（4）在（3）中，描点时若误将摆线长当作摆长，那么画出的直线将不通过原点，由图线斜率得到的重力加速度与原来相比，其大小（ ）
A.偏大B.偏小
C.不变D.都有可能
解析：
（1）摆球的直径为
d＝20mm＋6×
mm＝20.6mm＝2.06cm.
（2）秒表的读数为t＝60s＋7.4s＝67.4s，根据题意
t＝
T＝
T，所以周期T＝
＝2.28s.
（3）根据单摆的周期公式T＝2π
，可得
＝k（常数），所以选项C正确.
（4）因为
＝k（常数），所以
＝k，若误将摆线长当作摆长，画出的直线将不通过原点，但图线的斜率仍然满足
＝k，所以由图线的斜率得到的重力加速度不变.
答案：
（1）2.06
（2）2.28 （3）C （4）C
14..在“用单摆测定重力加速度”的实验中：
（1）摆动时偏角满足的
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