高考数学一轮复习 101 分类计数原理分步计数原理教案Word格式.docx
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105
电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×
105部，同理升为七位时为9×
106.∴可增加的电话部数是9×
106－9×
105=81×
105.
D
4.72的正约数（包括1和72）共有__________个.
72=23×
32.
∴2m·
3n（0≤m≤3，0≤n≤2，m，n∈N）都是72的正约数.
m的取法有4种，n的取法有3种，由分步计数原理共3×
4个.
12
5.（xx年春季北京，13）从－1，0，1，2这四个数中选三个不同的数作为函数f（x）=ax2+bx+c的系数，可组成不同的二次函数共有_____________个，其中不同的偶函数共有_____________个.（用数字作答）
一个二次函数对应着a、b、c（a≠0）的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步计数原理，知共有二次函数3×
3×
2=18个.
若二次函数为偶函数，则b=0.
同上共有3×
2=6个.
186
●典例剖析
【例1】电视台在“欢乐今宵”节目中拿出两个信箱，其中存放着先后两次竞猜中成绩优秀的观众来信，甲信箱中有30封，乙信箱中有20封.现由主持人抽奖确定幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两信箱中各确定一名幸运伙伴，有多少种不同的结果？
解：
分两类：
（1）幸运之星在甲箱中抽，再在两箱中各定一名幸运伙伴，有30×
29×
20=17400种结果；
（2）幸运之星在乙箱中抽，同理有20×
19×
30=11400种结果.因此共有17400+11400=28800种不同结果.
评述：
在综合运用两个原理时，既要合理分类，又要合理分步，一般情况是先分类再分步.
思考讨论
本题为什么要先分类？
由于幸运之星在哪个信箱产生对幸运伙伴的产生有影响，分步计数原理中步与步间要独立.
【例2】从集合{1，2，3，…，10}中，选出由5个数组成的子集，使得这5个数中的任何两个数的和不等于11，这样的子集共有多少个?
和为11的数共有5组：
1与10，2与9，3与8，4与7，5与6，子集中的元素不能取自同一组中的两数，即子集中的元素取自5个组中的一个数.而每个数的取法有2种，
所以子集的个数为2×
2×
2=25=32.
解本题的关键是找出和为11的5组数，然后再用分步计数原理求解.
深化拓展
上例中选出5个数组成子集改为选出4个数呢?
C·
24=80个.
【例3】（xx年新课程卷）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如下图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____________种.（以数字作答）
解法一：
从题意来看6部分种4种颜色的花，又从图形看知必有2组同颜色的花，从同颜色的花入手分类求.
（1）②与⑤同色，则③⑥也同色或④⑥也同色，所以共有N1=4×
1=48种；
（2）③与⑤同色，则②④或⑥④同色，所以共有N2=4×
（3）②与④且③与⑥同色，则共有N3=4×
1=24种.
所以，共有N=N1+N2+N3=48+48+24=120种.
解法二：
记颜色为A、B、C、D四色，先安排1、2、3有A种不同的栽法，不妨设1、2、3已分别栽种A、B、C，则4、5、6栽种方法共5种，由以下树状图清晰可见.
根据分步计数原理，不同栽种方法有N=A×
5=120.
120
解法一是常规解法，解法二安排4、5、6时又用了分类和列举的方法.
●闯关训练
夯实基础
1.（xx年全国，文5）从长度分别为1、2、3、4的四条线段中，任取三条的不同取法共有n种.在这些取法中，以取出的三条线段为边可组成的三角形的个数为m，则等于
A.0B.C.D.
n=C=4，在“1、2、3、4”这四条线段中，由三角形的性质“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”知可组成三角形的有“2、3、4”，m=1.∴=.
2.（xx年黄冈检测题）某班新年联欢会原定的6个节目已排成节目单，开演前又增加了3个新节目，如果将这3个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为
A.504B.210C.336D.120
三个新节目一个一个插入节目单中，分别有7、8、9种方法.
∴插法种数为7×
9=504或A÷
A=504.
A
3.从1到10的正整数中，任意抽取两个相加，所得和为奇数的不同情形有__________种.
当且仅当偶数加上奇数后和为奇数，从而不同情形有5×
5=25种.
25
4.从图中的12个点中任取3个点作为一组，其中可构成三角形的组数是
A.208B.204C.200D.196
在12个点中任取3个点的组合数为C，在同一直线上的3点的组数为20，则可构成三角形的组数为C－20=200.
5.4棵柳树和4棵杨树栽成一行，柳树、杨树逐一相间的栽法有_____________种.
2A·
A=1152种.
1152
6.（xx年上海）某餐厅供应客饭，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2菜2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上的不同选择，则餐厅至少还需要不同的素菜品种_____________种.（结果用数值表示）
设素菜n种，则C·
C≥200n（n－1）≥40，所以n的最小值为7.
7
培养能力
7.（xx年全国）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色.现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有_____________种.（以数字作答）
依次染①、②、③、④、⑤.故有C·
C=72种.
72
8.（理）设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子.现将这五个球投放入这五个盒子内，要求每个盒子内投放一球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法有多少种?
分析：
五个球分别投放到五个盒子内，恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，则其他三个球必不能投放到与球的编号相同的盒子内，此时，这三个球与对应的三个盒子，就成了受限的特殊元素与特殊位置.
先在五个球中任选两个球投放到与球编号相同的盒子内，有C种；
剩下的三个球，不失一般性，不妨设编号为3，4，5，投放3号球的方法数为C，则投放4，5号球的方法只有一种，根据分步计数原理共有C·
C=20种.
本题投放球有两种方法，一种是投入到与编号相同的盒子内，另一种是投入到与编号不同的盒子内，故应分步完成.
（文）在所有两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个?
在0~9这10个数字中，按照题目要求组成的两位数中，个位数字不能为0和1，十位数字不能为0和9.也就是说组成两位数的数字可按个位分类或按十位分类来计算.
按个位数字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个.
则共有1+2+3+4+…+7+8=36（个）.
按十位数字是1，2，3，4，5，6，7，8分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个.
则共有8+7+6+5+4+3+2+1=36（个）.
在具体分类或分步时，常遇到困难，要多练习，多积累经验，掌握思维方法，逐步做到恰当分类，合理分步.
9.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？
又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件.故报名方法种数为4×
4=45种.
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种.故有n=5×
５×
５=54种.
探究创新
10.三边长均为整数，且最大边长为11的三角形的个数是多少?
设较小的两边长为x、y且x≤y，
则x≤y≤11，
x+y>
11，
x、y∈N*.
当x=1时，y=11；
当x=2时，y=10，11；
当x=3时，y=9，10，11；
当x=4时，y=8，9，10，11；
当x=5时，y=7，8，9，10，11；
当x=6时，y=6，7，8，9，10，11；
当x=7时，y=7，8，9，10，11；
……
当x=11时，y=11.
所以不同三角形的个数为
1+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=36.
本题关键是列出约束条件，然后寻找x=1，2，…，11时，y的取值个数的规律，再用分类计数原理求解.
●思悟小结
1.分类计数原理和分步计数原理是解决排列、组合问题的理论基础.这两个原理的本质区别在于分类与分步，分类用分类计数原理，分步用分步计数原理.
2.元素能重复的问题往往用计数原理.
●教师下载中心
教学点睛
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提和条件.这两个原理都是指完成一件事而言的.其区别在于：
（1）分类计数原理是“分类”，分步计数原理是“分步”；
（2）分类计数原理中每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事，分步计数原理中每步中每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事.
拓展题例
【例1】关于正整数2160，求：
（1）它有多少个不同的正因数？
（2）它的所有正因数的和是多少？
（1）∵N=2160=24×
33×
5，
∴2160的正因数为P=2α×
3β×
5γ，
其中α=0，1，2，3，4，β=0，1，2，3，γ=0，1.
∴2160的正因数共有5×
2=40个.
（2）式子（20+21+22+23+24）×
（30+31+32+33）×
（50+51）的展开式就是40个正因数.
∴正因数之和为31×
40×
6=7440.
【例2】球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？
设击入黄球x个，红球y个符合要求，
则有x+y=4，
2x+y≥5（x、y∈N），得1≤x≤4.
∴
相应每组解（x，y），击球方法数分别为CC，CC，CC，CC.
共有不同击球方法数为CC+CC+CC+CC=195.
2019-2020年高考数学一轮复习10.2排列教案
1.排列的概念：
从n个不同元素中任取m个元素，按照一定的次序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示.
2.排列数公式：
从n个不同元素中任取m个元素的排列的个数A=n（n－1）（n－2）…（n－m+1）.
3.附有限制条件的排列
（1）对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置.
（2）对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：
元素在某一位置或元素不在某一位置；
元素相邻——捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；
元素不相邻——插空法；
比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位.
（3）对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方法——直接法；
同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方向——间接法.
1.把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为
A.AB.AAC.AAD.A
按分步计数原理，第一步，将女生看成一个整体，则有A种方法；
第二步，将女生排列，有A种排法.故总共有AA种排法.
2.若2n个学生排成一排的排法数为x，这2n个学生排成前后两排，每排各n个学生的排法数为y，则x、y的关系为
A.x>
yB.x<
yC.x=yD.x=2y
第一种排法数为A，第二种排法数为AA=A，从而x=y.
3.若S=A+A+A+A+…+A，则S的个位数字是
A.8B.5C.3D.0
A=1，A=2，A=6，A=24，而A，A，…，A中个位数字均为0，从而S的个位数字是3.
4.（xx年天津，文16）从0，1，2，3，4，5中任取3个数字，组成没有重复数字的三位数，其中能被5整除的三位数共有_____________个.（用数字作答）
其中能被5整除的三位数末位必为0或5.①末位为0的三位数其首次两位从1~5的5个数中任取2个排列而成方法数为A=20，②末位为5的三位数，首位从非0，5的4个数中选1个，有C种挑法，再挑十位，还有C种挑法，
∴合要求的数有C·
C=16种.∴共有20+16=36个合要求的数.
36
本题主要抓住能被5整除的三位数的特征（末位数为0，5），还要注意分类讨论及排数字时对首位非0的限制.
5.若直线Ax+By=0的系数A、B可以从{0，2，3，4，5，6}中取不同的值.这些方程表示不同直线的条数是_____________.
若A=0，表示直线y=0；
若B=0，表示直线x=0；
若A、B从集合中任取两个非零值有A种，
其中2x+4y=0与3x+6y=0，4x+2y=0与6x+3y=0，2x+3y=0与4x+6y=0，3x+2y=0与6x+4y=0同.
所以这些方程表示的直线条数为2+A－4=18.
18
【例1】一条铁路原有m个车站，为适应客运需要，新增加n（n≥1，n∈N*）个车站，因而增加了58种车票（起迄站相同的车票视为相同的车票），问原来这条铁路有几个车站?
现在又有几个车站?
由题设A－A=58，
即n（2m－1+n）=58=2×
29.
（1）若n=2，则2m－1+n=29，m=14；
（2）若n=29，则2m－1+n=2，m=－13，不合题意，舍去；
（3）若n=1，则2m－1+n=58，m=29；
（4）若n=58，则2m－1+n=1，m=－28，不合题意，舍去.
所以原有14个车站，现有16个车站；
或者原有29个车站，现有30个车站.
【例2】从数字0、1、3、5、7中取出不同的三个作系数，可组成多少个不同的一元二次方程ax2+bx+c=0?
其中有实数根的有几个？
剖析：
（1）二次方程要求a不为0，故a只能在1、3、5、7中选，b、c没有限制.
（2）二次方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0，再对c分类讨论.
（1）a只能在1、3、5、7中选一个有A种，b、c可在余下的4个中任取2个，有A种.故可组成二次方程A·
A=48个.
（2）方程要有实根，需Δ=b2－4ac≥0.
c=0，a、b可在1、3、5、7中任取2个，有A种；
c≠0，b只能取5、7，b取5时，a、c只能取1、3，共有A个；
b取7时，a、c可取1、3或1、5，有2A个.故有实根的二次方程共有A+A+2A=18个.
【例3】从0，1，2，3，4中取出不同的3个数字组成一个三位数，所有这些三位数的个位数字的和是多少？
1，2，3，4在个位上出现的次数相等，故（1+2+3+4）·
AA=90.
要考虑0不能作首位这个因素.
从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中取出不同的5个数字组成一个5位偶数.
（1）有多少个这样的数？
（2）所有这些5位数的个位数字的和是多少？
（1）A+CC·
A；
（2）（2+4+6+8）C·
A.
1.5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法种数有
A.A·
A种B.A·
A种C.A·
A种D.A－4A种
正先排大人，有A种排法，再排小孩，有A种排法（插空法）.故有A·
A种不同的排法.
2.（xx年四川模拟题）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有_____________.
1、2、3、4、5组成无重复五位数，大于23145且小于43521的有
（1）形如，后两位只能填5、4，
∴有1种数合要求.
（2）形如，第三位选4或5都满足要求，后两位任选都可.
∴符合要求的数有C·
A=4种.
（3）形如，第二位选4或5，后三位任选，方法数为C·
A=12种.
（4）形如，第二位开始，均可任选，方法数为A=24种.
（5）形如，第二位选1或2，后三位任选，方法数为C·
同理形如，2A=4种，形如，1种.
∴合要求总数为（1+4+12）×
2+24=58种.
可用类似方法算出小于43521的5位数个数与小于等于23145的五位数个数.两数之差即为小于43521且大于23145的五位数个数.
58种
3.三个人坐在一排八个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为__________.
根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.故共有A种.这种执果索因的思考方法是处理排列、组合问题常用的方法.
24
4.在所有无重复数字的四位数中，千位上的数字比个位上的数字大2的数共有_______个.
形如2×
×
0，3×
1，4×
2，5×
3，6×
4，7×
5，8×
6，9×
7符合条件，共有8A=448个.
448
5.用数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的四位数，
（1）可组成多少个不同的四位数?
（2）可组成多少个四位偶数?
（3）将
（1）中的四位数按从小到大的顺序排成一数列，问第85项是什么?
（1）AA=300或A－A=300（间接法）.
（2）A＋AAA=156.
（3）千位是1的四位数有A=60个，千位是2，百位是0或1的四位数有2A=24个，
∴第85项是2301.
6.甲、乙、丙、丁、戊5名同学进行某种劳动技术比赛，决出了第1到第5名的名次.甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说：
“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：
“你当然不会是最差的.”从这个回答分析，5人的名次排列共可能有多少种不同的情况?
（用数字作答）
本题等价于5人排成一排，甲、乙都不站在排头且乙不站在排尾的排法有多少种.乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；
再排甲，也有3种情况；
余下3人有A种排法.故共有3·
3·
A=54种不同的情况.
7.用0、1、2、3、4、5这六个数字组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数的个数是多少个？
（1）个位数为0，十位数可为1、2、3、4、5，故为A种；
（2）个位数为1，十位数可为2、3、4、5，故为A·
A·
A个；
（3）个位数为2，十位数为3、4、5，故为A·
（4）个位数为3，十位数为4、5，故为A·
（5）个位数为4，十位数为5，故为A·
A个.
所以共有A+A·
A（A+A+A+1）=300个.
8.（理）用1，2，3，4，5排成一个数字不重复的五位数a1a2a3a4a5，满足a1<
a2，a2>
a3，a3<
a4，a4>
a5的五位数有多少个？
因为a2>
a1、a3，a4>
a3、a5，所以a2只能是3、4、5.
（1）若a2=3，则a4=5，a5=4，a1与a3是1或2，这时共有A=2个符合条件的五位数.
（2）若a2=4，则a4=5，a1、a3、a5可以是1、2、3，共有A=6个符合条件的五位数.
（3）若a2=5，则a4=3或4，此时分别与
（1）
（2）情况相同.
所以，满足条件的五位数有2（A+A）=16个.
（文）用0，1，2，3，4，5六个数字组成无重复数字的五位数，求比20314大的数的个数.
比20314大的五位数可分为三类：
第一类：
，4×
，5×
，共3A（个）；
第二类：
21×
，23×
，24×
，25×
，共4A（个）；
第三类：
203×
，204×
，205×
，除去20314这个数，共3A－1（个）.
故比20314大的无重复数字的五位数有3A+4A+3A－1=473（个）.
还可以这样考虑：
用0，1，2，3，4，5组成无重复数字的五位数共A个.其中比20314小的有两类：
0×
，1×
，共2A个；
201×
，有A个，与20314相等的有1个，
故比20314大的数共有A－2A－A－1=473（个）.
9.有点难度哟！
8个人站成一排，其中A、B、C互不相邻且D、E也互不相邻的排法有多少种?
先排去掉A、B、C外的5个人，有A种，
再排A、B、C3人，有A种.
故有A·
A种（含D、E相邻）.
其中D、E相邻的有A·
A种.
∴满足条件的排法种数为A·
A－A·
A=11520.
下述解法少了哪种情况?
先排A、B、C、D、E外的3人，有A种，
再排A、B、C3人，有A种（插空），
最后排D、E2人，有A种（插空）.
故排法种数为A·
A=6048.
对带有限制条件的排列问题，要掌握基本的解题思想方法：
（1）直接法：
（2）间接法；
（3）一般先从特殊元素和特殊位置入手.
排列与组合是两类特殊的计数问题，它还有一些较为独特的思考方法，应理解
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