考研数学三试题卷解析超详细版43441Word文档下载推荐.docx
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的指数分布,
（6）
设总体
服从正态分布
N
（
μσ2
）
总体
Y
服从正态分布N（μ,σ2）,X
X
n1
和
Y,Y,
分
12
n2
别是来自总体
X和Y的简单随机样本,则
（Xi
X）
（Yj
Y）
Ei1
j
n1n22
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（7）
函数
|x|sin（x
2）
x（x
1）（x
2）2在下列哪个区间内有界.
f（x）
（A）（1,0）.
（B）（0,1）.
（C）（1,2）.
（D）（2,3）.
[
]
（8）
设f（x）在（
+
）内有定义，且
lim
f（x）
a，g（x）
f（x）,x
0，则
0,x
（A）x=0必是g（x）的第一类间断点.
（B）x=0必是g（x）的第二类间断点.
（C）x=0必是g（x）的连续点.
（D）g（x）在点x=0处的连续性与a的取值有关.[]
（9）设f（x）=|x（1x）|，则
（A）x=0是f（x）的极值点，但（0,0）不是曲线y=f（x）的拐点.
（B）x=0不是f（x）的极值点，但（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（C）x=0是f（x）的极值点，且（0,0）是曲线y=f（x）的拐点.
（D）x=0不是f（x）的极值点，（0,0）也不是曲线y=f（x）的拐点.[]
（10）设有下列命题：
若
（u2n
u2n）收敛，则
un收敛.
n1
un收敛，则un
1000
收敛.
n
un
1，则
un发散.
若lim
（4）若（un
vn）收敛，则
un，
vn都收敛.
则以上命题中正确的是
（A）
（1）
（2）.
（B）
（2）（3）.
（C）（3）（4）.
（D）
（1）（4）.
[]
（11）设f（x）在[a,b]上连续，且
f（a）
0,f
（b）
0，则下列结论中错误的是
（A）至少存在一点x0（a,b），使得f（x0）>
f（a）.
（B）至少存在一点
x0
（a,b），使得f（x0）>
f（b）.
（C）至少存在一点
（a,b），使得f（x0）0.
（D）至少存在一点
（a,b），使得f（x0）=0.
（12）设n阶矩阵A与B等价,则必有
（A）当|A|
a（a0）时,|B|
a.
（B）当|A|
a（a
0）
时,|B|
（C）当|A|
0时,|B|
0.
（D）当|A|
0时,
|B|
（13）设n阶矩阵A的伴随矩阵
A*
0,
若ξ1,ξ2,ξ3,ξ4是非齐次线性方程组
Ax
b的
互不相等的解，则对应的齐次线性方程组
Ax0的基础解系
（A）不存在.
（B）仅含一个非零解向量.
（C）含有两个线性无关的解向量
（D）含有三个线性无关的解向量.
（14）设随机变量X服从正态分布
N（0,1）,对给定的α（0,1）,数uα满足P{X
uα}
α,
若P{|X|x}
α,则x等于
（A）uα.
（B）uα.
（C）
u1α.（D）u1α.
三、解答题（本题共
9小题，满分
94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
.）
（15）（本题满分8分）
求lim（
cos2x）.
x0
sin2x
x2
（16）（本题满分8分）
求（x2y2y）d，其中D是由圆x2y24和（x1）2y21所围成的
D
平面区域（如图）.
（17）（本题满分8分）
设f（x）,g（x）在[a,b]上连续，且满足
g（t）dt
[,
b
f（t）dt
，x
g（t）dt.
b，
证明：
xf（x）dx
xg（x）dx.
（18）（本题满分9分）
设某商品的需求函数为
Q=100
5P，其中价格P
（0,20），Q为需求量.
（I）
求需求量对价格的弹性
Ed（Ed>
0）；
（II）
推导dR
Q（1
Ed）（其中R为收益），并用弹性Ed说明价格在何范围内变化时，
dP
降低价格反而使收益增加.
（19）（本题满分9分）
设级数
x4
x6
x8
x）
4
6
8
的和函数为S（x）.求：
（I）S（x）所满足的一阶微分方程；
（II）S（x）的表达式.
（20）（本题满分13分）
设
α1
（1,2,0）
T
α2
（1,α2,
3α）
α（1,
b2,α2b）T
β（1,3,3）
3
试讨论当
a,b为何值时,
（Ⅰ）
不能由
α1,α2,
α3线性表示;
β
（Ⅱ）
可由
α2,α3
唯一地线性表示
并求出表示式;
（Ⅲ）
α,α,α
线性表示
但表示式不唯一
并求出表示式
23
（21）（本题满分13分）
设n阶矩阵
A
求A的特征值和特征向量
;
求可逆矩阵P,使得P
1AP为对角矩阵.
（22）（本题满分
13分）
设A，B为两个随机事件,且P（A）
P（B|A）
P（A|B）
令
3
1,
发生，
B
，
不发生，
不发生
求
（Ⅰ）二维随机变量（X,Y）的概率分布;
X与Y的相关系数
ρXY;
Z
X2
Y2的概率分布.
（23）（本题满分13分）
设随机变量X的分布函数为
α
F（x,α,β）
其中参数α0,β1
.设X1,X2,
Xn为来自总体X的简单随机样本,
（Ⅰ）当α1时,
求未知参数β的矩估计量;
（Ⅱ）当
α1
时,
求未知参数
的最大似然估计量;
（Ⅲ）当
β2时,
α的最大似然估计量.
2016年考研数学（三）真题解析
sinx（cosx
b）5
，则a=
，b=
4.
【分析】本题属于已知极限求参数的反问题.
【详解】因为
sinx
（cos
5
，且
limsin
，所以
0ex
lim（ex
a）0，得a=1.
极限化为
（cosx
b）
1b
5，得b=
4.
因此，a=1，b=
【评注】一般地，已知
f（x）＝A，
g（x）
（1）若g（x）
0，则f（x）
0；
（2）若f（x）
0，且A
0，则g（x）
0.
设函数f（u,v）由关系式f[xg（y）,y]=
x+
g（y）确定，其中函数
0，
2f
g（v）
则
g2（v）
【分析】令
=
（），
，可得到
）的表达式，再求偏导数即可.
xgy
y
fu
【详解】令u=
xg（y），v=
y，则f（u,v）=
g（v），
所以，
uv
g2
（v）
（3）设f（x）
1）dx
，则
1f（x
【分析】本题属于求分段函数的定积分，先换元：
1=t，再利用对称区间上奇偶函数
的积分性质即可.
【详解】令x
1=t，1
1f（x）dt
1.
＝21xex
dx
1
（1）dx0
（1）
【评注】一般地，对于分段函数的定积分，按分界点划分积分区间进行求解
（4）二次型f（x1,x2,x3）
（x1
x2）2
x3）2
（x3
x1）2的秩为2.
【分析】二次型的秩即对应的矩阵的秩
亦即标准型中平方项的项数,
于是利用初等变换
或配方法均可得到答案.
【详解一】因为f（x1,x2,x3）
（x2
x1）2
2x
2x
2xx
2xx
于是二次型的矩阵为
由初等变换得
从而
r（A）
2,
即二次型的秩为
2.
【详解二】因为f（x1,x2,x3）
2x12
2x22
2x32
2x1x2
2x1x3
2x2x3
2（x1
1x2
1x3）2
3（x2
2y1
3y2
y1
x1
x3,
y2
x3.
其中
2x2
所以二次型的秩为
（5）设随机变量
DX}
e
【分析】根据指数分布的分布函数和方差立即得正确答案.
【详解】由于DX
X的分布函数为
F（x）
eλx,
故
P{X
DX}1P{X
1P{X
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