鸡兔同笼问题的另类教学Word下载.docx
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有个问题，它历史悠久，至今已经有了1500多年了；
它流传广泛，世界上许多国家的大人孩子都研究过它；
它出自我国古代的数学名著《孙子算经》；
问题里提到两种常见的动物——
生：
“鸡兔同笼”！
知道“鸡兔同笼”的请举手！
（全班都举起了手。
）
大家都知道啊！
既然这样，说说看，你都知道些什么吗？
生1：
就是鸡和兔关在一个笼子里，告诉你有多少个头，多少只脚，然后问你有几只鸡，几只兔。
生2：
我还知道解决这个问题，用假设法。
就是假设全是鸡，然后算算有多少只脚，再和题目中的脚数相减，看看相差多少，然后要用鸡换成兔，就能求出兔的只数。
有多少同学会他说的这种假设法？
（大部分学生举起了手。
二、引导尝试。
这么多同学都会。
那这节课我们还干什么呢？
这样，我教你们另外一种方法，你们还想学吗？
（生点头）
（故作不解地）为什么？
我认为只有自己的方法是不够的，学习新的方法可以提高我们的思维能力。
学习新方法，不但可以完善自己原来的方法，而且可以检验一下原来的是不是对。
生3：
不同的方法可能有它不同的适用范围！
说得真好！
我这儿就有一个“鸡兔同笼”问题。
（出示：
鸡兔同笼，有12个头，30条腿。
鸡、兔各有几只？
）我向大家推荐的方法是——（板书）尝试。
什么是尝试呢？
我认为就是自己想一个数，再到题目里检验一下，看看对不对。
是的，“尝”在字典里就是“试”的意思，尝试就是（生插话——试试）。
说到尝试，其实同学们一定不陌生，生活中经常用到。
比如，我给你一串钥匙，让你去开办公室的门，你要不知道是哪把钥匙的话，这时就要——
一把一把地试。
一般来说，尝试一次就成功不太可能。
你准备先试什么，再试什么，有一个初步的考虑后，拿出课前发的表格，把尝试的过程写在表里。
（学生独立尝试，教师巡视。
约3—4分钟后，小组交流。
教师深入2—3个小组倾听，偶尔提问。
三、汇报交流。
小组讨论非常热烈！
哪个小组愿意把你们组都认可、欣赏的方法推荐给大家？
简单说出推荐理由。
组1：
（呈现如下表格）
鸡（只数）
兔（只数）
腿（条数）
1
11
46
2
10
44
3
9
42
4
8
40
5
7
38
6
36
34
32
30
我们先尝试鸡是1只，兔是11只，这样算，一共有46条腿。
接着，我们又试了鸡是2只，兔是10只，腿有44条，还是不对；
我们再试了鸡是3只，兔是9只，腿就有42条——
孩子们，我想，你们试的过程，我们大家从表格里都能看的很清楚，我们现在想知道的是，你们为什么要推荐它？
组1生1：
我们推荐这种方法，是因为它很简单，适合我们全体同学。
组1生2：
在表格里，大家能很清楚地看到数据是怎么变的：
每一次鸡增加一只，兔子减少一只，腿的总数就少2。
这样就能很快找到答案。
这就是我们的推荐理由。
谢谢大家！
（全班学生给予掌声表示欣赏赞同。
台上学生欲拿回作品回座位。
别着急，同学们还有问题想问你们呢！
后来你们再试的时候，为什么你们只试鸡的只数增加的情况却不试鸡的只数减少的情况呢？
我们是从1只鸡11只兔，（也就是）从头开始试的，鸡最少有1只，当然只能慢慢增加不能减少了！
我还有个问题，既然你们看出1只鸡、11只兔有46条腿，腿数远远大于30，为什么你们还要一点点地增加，不一下子把鸡的只数多增加一些呢？
这样不变更简便了？
施老师发现你的水平很高，已经在很巧妙地介绍另外的方法了。
一会儿我们再来听你说，好吗？
我们一起再来看这张表。
他们成功地找到了结果了，那他们的尝试有什么特点？
他们是按每次增加一只鸡，减少一只兔这么个办法来试的。
我发现他们的尝试特别有顺序。
是的，他们把鸡、兔共12个头的情况有序地列举出来，（板书：
有序列举）这么有序地一一列举，有什么好处？
这样就不会漏掉哪种情况，而且不会有重复。
是啊，地毯式大搜索会特别保险，保证不会有“漏网之鱼”。
有序地列举，还容易发现规律。
哦，还有这个好处：
能发现规律？
同学们发现了什么规律？
我发现鸡增一只，兔子减少一只，腿就减少两条。
（学生点头认可。
发现这个规律有什么用？
发现这个规律，我们就不用死算了，就可以根据这个规律去找。
每次腿减少条就行了。
我补充：
46条腿比要求的30条腿多了16条，是两个8，所以鸡要增加8只，兔要减少8只。
鸡就是1+8=9只。
真厉害！
发现了规律，都不用再试了，可以直接跳到正确的结果。
其实这个方法和一开始同学说的假设法是不是很想似？
（停顿。
）其他组有不同的推荐方案吗？
组2生1：
我们组的方法和他们差不多，也是先想1只鸡、11只兔，有多少条腿，再一个一个地往下试。
但我们是先从鸡、兔各有一半开始试的。
6只鸡、6只兔共有36条腿，比30只多，我们认为鸡一定比兔子多，这样我们再一个一个地试，最后试到9只鸡3只兔是30条腿。
组2生2：
我们认为这种方法比较简便。
组2生3：
我们不像他们组那么麻烦，度了那么多次。
6
等一下，你们这个方法确实很简单，我们从表里能看到，只试了4次就找到结果了。
凭什么这么简单？
如果简单是因为碰巧运气好，那我们也没法学，简单的背后原因到底是什么？
（许多学生跃跃欲试）
你们的知音还真不少！
看看他们能不能说出你们的心里话？
从鸡和兔各占一半开始试，试完之后就能看出到底是哪种动物多了。
从鸡、兔各一半开始试，就是36条腿，离正确答案更接近。
先假设鸡和兔各占一半，如果算出腿的条数比30条多，那就增加鸡减少兔，如果算出的腿数比30条少，那就反过来。
这样就能更快地找到答案。
生4：
从中间开始试，就可以尝试的范围缩小两倍。
生5：
我同意你的观点，但给你纠正个说法：
尝试的范围缩小了一半，不是两倍。
（板书：
分析调整）从刚才几个同学的发言中我听到了这两个词（指板书），你们的尝试不是没有根据的，而是通过对问题进行分析后再作调整，才使尝试的过程变得简便。
6只鸡6只兔，是36条腿，有的人只看36≠30，这是一次失败的尝试；
而咱们好多同学还能从中分析得到更多的信息：
36不仅不等于30，36＞30，腿多了，说明（生：
兔子多了），兔子多了，当然要减少兔子增加鸡，所以我只会往鸡增加这个方向再去尝试，大大缩小了尝试的范围。
通过思考分析之后作出调整，就能更快地成功！
我记得刚才有个同学还有个好方法要介绍，是吗？
请——
我是从1只鸡11只兔开始试的，但我是跳着试的，所以也很快找到了结果。
（故意地）你一下子从1只鸡跳到了5只鸡，你就不怕把正确答案给跳过了？
我是看到腿多了很多，估计鸡要增加不少，所以说我跳着试是有根据的！
我喜欢这样有根据的跳跃！
（激动地）我给她补充：
就算发现跳过了，也没关系！
再回头试，那样就不用再把鸡的（只数），往大里试了，范围也缩小了很多！
（老师点头赞许。
我们是从11只鸡、1只兔开始试的，这样算总共有26条腿，离结果30很接近，所以这种方法更简便。
我第一步就试了8只鸡4只兔，有32条腿，第二步就成功了。
因为我通过分析条件，12个头才30条腿，平均一只动物不到3条腿，我就知道鸡的只数一定比较多！
大家的方法各不相同。
但这些不同的方法中，却有着相同的地方！
都是对问题、对尝试的结果进行分析，然后再作调整的。
真善于总结！
刚才小组交流的时候，我看到这样一幅作品：
那个小组没推荐它。
（学生小声议论：
没做完呢！
太乱了，没顺序！
算错了！
是的，试了几次，还没找到结果。
可以说，这几次尝试都失败了。
那么，这几次失败的尝试是不是毫无意义，和没试一样呢？
（一些学生附和：
“是。
”另有几个学生十分激动：
“不是。
”随后举起了手。
这几次尝试尽管失败了，但可以让人们知道，已经有三种想法被排除了！
所以不能说这些尝试是没有意义的。
认识真深刻！
你的话让我想到了一位科学家——爱迪生。
爱迪生在发明灯泡时，他试着用了一午多种材料做灯丝，助手灰心地说：
“你已经失败了一千多次了，成功很渺茫，我看你还是放弃吧！
”爱迪生却说：
“我不这么认为！
我认为我成功了！
我成功地发现这一千多种材料是不能做灯丝的！
”最后爱迪生在6000多次失败之后，终于成功找到了做灯丝的材料。
同学们，这位同学如果继续试下去，能成功吗？
能！
不能！
大家看，首先，他的尝试很没顺序，一会儿把鸡减少，一会儿又把鸡增加，试来试去，那就很容易把正确的给漏掉了！
大家再看，他这里还算错了！
8只鸡4只兔，不是40条腿！
所以我觉得他如果不思考，不调整自己的想法，是不可能成功的！
谢谢你，这么认真地对待别人的失败！
你的话让我们的分析变得深入！
（对作品的主人）孩子，通过刚才的讨论，你现在有什么想法？
（有一丝窘迫，小声但又很坚定地）：
我的尝试也是有顺序的，我先是试着减少鸡增加兔子，但是我发现腿更多了，所以我就朝反方向去试，增加鸡减少兔，但是这次我算错了，算到腿仍然多了。
我就没再试下去。
再有点时间一定能发现自己的错误的！
你特别会反思！
（带头鼓掌）一次没完成的尝试，带给大家这么多的收获，真好！
四、巩固应用。
通过刚才的学习，同学们对尝试这一方法一定有了新认识，带着这些认识，我们再来看另外一个问题：
今年妈妈28岁，乐乐4岁。
几年后，妈妈的年龄是乐乐的4倍？
什么时候妈妈的年龄是乐乐的9倍？
这两个问题，你们准备怎么试？
把你们尝试的过程写在背面！
（学生独立尝试。
一会儿，一些学生兴奋地想说答案。
“解决了第一问的，可以想想第二问！
”老师示意暂缓，并与个别学生小声交谈。
数分钟之后——）
找到结果了？
第一问的答案是多少？
4年！
多少人通过自己的尝试成功解决了这个问题？
（约2/3的学生举起了手。
同样的结果，尝试的方法可能是不同的，好方法让我们大家来分享！
谁愿意先说？
我是这么试的！
1年后，妈妈29岁，不是4倍；
2年后，妈妈30岁，乐乐6岁，是5倍，还不行……直到4年后，妈妈32岁，乐乐8岁，正好妈妈的年龄是乐乐的4倍。
我只尝试了2次！
大家看，我只度了2年后，4年后，我是这么想的——
（打断）同学们，猜一猜他把1年后、3年后这些情况直接给排除了，是什么依据？
（数秒之后。
我知道了，因为最后要求妈妈的年龄是乐乐的4倍，那么妈妈的年龄一定是双数，所以只能两年两年地加！
怎么样？
欣赏这个方法吗？
欣赏！
他通过思考，排除了一些情况，使尝试更简便了！
第二问呢？
我度了好多次，还是试不出来！
（几个学生小声地响应：
“不可能！
”）
（激动地）我打到答案了，应该是1年前！
一开始我也是往后试，但是我发现了一个规律，越往后，妈妈年龄是乐乐年龄的倍数越来越小，所以我猜想妈妈年龄是乐乐的9倍应该是以前的事，我往前倒推，果然1年前妈妈27岁，乐乐3岁，正好是9倍！
（学生给予热烈的掌声。
掌声因何响起？
我很佩服他！
他在尝试的过程中像爱迪生那样，面对失败进行思考，发现规律，就找到了尝试的方向！
五、回顾总结。
对尝试这一方法，现在你怎么看？
我认为，并不是任何问题都有现成的方法能解决，许多时候需要我们去尝试。
同意！
面对新问题尝试法更有用武之地。
学数学，只有不停地去尝试，你才能取得成功！
生活中也是这样！
遇上一个问题，无从下手的时候，不见得非要想一个高明的方法，用这种有点原始的尝试法，一点点地去试，也能找到答案！
以前我觉得“鸡兔同笼”这个问题很难，用假设法步骤很多，我老要忘掉。
但用尝试法，我觉得就很简单！
尝试不是傻试，也要动脑子分析，思考得越多，排除的就越多！
是啊，尝试的学问还真不少！
尝试，首先需要像第一个吃螃蟹的人那样，勇敢地去试；
尝试过程必然伴随着失败，面对失败，不仅需要像爱迪生试灯丝时的那份坚持，更需要对尝试的结果进行不断地分析、调整，才能更快地成功！
（布置作业：
尝试解决《孙子算经》中另一道名题“有物不知其数”。
（作者单位系北京第二实验小学）
什么方法更有价值
——王尚志①教授访谈录
施银燕（以下简称“施”）：
王教授，请教您一个问题：
“鸡兔同笼”问题自从进入小学教材后，老师们的教法有多种，比如说大家都推崇“假设法”，因为它十分巧妙，但因为比较难理解和掌握，所以老师们想出了讲故事、画图等办法来诠释这种方法，大家赞叹其生动、易接受。
也有老师非常欣赏《孙子算经》中的解法——“砍足法”，非常简捷并且还很有“文化”味。
相比而言，我们这节课用的尝试就有那么一点争议：
是不是太笨了？
在您眼里，您觉得这些方法哪种更好一些？
或者说在小学里怎么教更合适？
王尚志（以下简称“王”）：
首先，我们先跳出这个问题，站在学生的的角度想一想，如果第一次碰到“鸡兔同笼”问题，12个头，30条腿，我们会怎么想？
从寻求解决这个问题的方法出发，我们可能思考得更深入。
也许，学生会觉得又是头，又是腿，很复杂，那么先从符合12个头这个条件想起：
可能12只都是鸡，或者11只鸡，1只兔；
10只鸡，2只兔……那么教师就可以充分利用学生的想法，鼓励学生沿着自己的思路走向成功。
当然，在这个过程中学生也许会出现无序、举不全的情况，教师可以顺势引导；
还有哪几种可能？
好教师帮助学生会不露痕迹，学生还以为是自己想出来的！
刚才这个方法我们不妨称为“穷举”法。
那么也有学生可能会从“6只鸡6只兔共36条腿”和题目要求的“30条腿”中去找差距，教师可以提醒“腿多了说明什么问题”，引导学生去发现！
这样学生可以通过不断地调整，找到答案。
在这个过程中，最重要的不是学生试了几次，而是能根据结果进行正确的推理，这样他们的认知水平就能很自然地迈向下一步。
施：
在这个调整的背后是不是有点逼近极限的意思？
王：
可以这么理解。
你要说在小学里教极限，教区间套，那不现实，但这里便完全可以渗透这些东西。
但是有的时候，老师往往太着急，急于走向既定的结果，于是学生就失去了锻炼推理能力的机会。
是的，只有过程充分展开了，方法的渗透才有可能。
再比如说你们说的假设法，讲得很生动，让兔子都起立，这样地上就只有24条腿，实际有30条，多的6条腿是谁的？
是兔子的前腿，于是问题就解决了。
而这里我们需要让学生思考的是，为什么要让兔子站起来？
也可能学生会根据条件想到，鸡+兔=12，这与学生原有认知接轨，很有道理，这不就是方程吗？
进一步：
兔×
4＋鸡×
2=30。
可能我们老师比较容易忽视这种表达，非要xyz才是方程，事实上，符号是数学的语言，但符号是人定的！
我倒觉得这种很朴素的方法是我们希望看到的，但好像学生不太容易想到。
学生自然而然产生的方法究竟是怎样的，我们可以再去做个调查，这是很有意义的事。
现在老师们中间有一个认识值得讨论：
教最巧的方法是最好的，认为巧是聪明的标志。
我建议对好方法作重新思考：
对学生而言哪个更自然，可能更为重要。
因为一方面它能树立起学生的解决问题的信心，另一方面能给学生更多的空间。
不存在最好，各种方法都有其可取之处和不足之处。
从教学的角度看，我们首先需要思考的是：
什么方法更有潜能，它的适用范围更广泛？
是通性通法。
从这个角度看，我们绝不能贬低穷举法。
穷举在数学上可说是最朴素也最广泛的方法，它是我们分类思考必然的结果。
再比如我们刚才举的逼近的方法，6只鸡6只兔，一共36条腿，腿多了；
10只鸡2只兔，28条腿，腿少了，那么结果一定在这个范围之内，再不断调整。
这里体现的思想，在以后整个高等数学中都占十分重要的地位。
连续函数f（x），f（a）＞0，f（b）＜0，f（x0）=0（a＜x＜b）。
当然，这个东西我们老师了解即可，没有必要也不能向学生卖弄。
您说的对我们很有启发！
好方法，从学生的角度看，它是否自然，是否来自学生，也就是一定要有生成的基础；
从数学的角度看，得看它在整个数学体系中的地位，就是您说的是否有潜能。
我甚至觉得这两者往往是一致的，越是自然的，也越有潜能！
谢谢您！
①王尚志系《高中数学课程标准》研制组负责人之一、首都师范大学教授。
教育价值的追问
余慧娟
听了施老师的这节课，我感到十分诧异。
她走了一条很“另类”的教学道路。
这个另类，不只是因为她选择“通性能法”的独特价值判断，并引出一大串令人深思的问题。
从更大的教育视野来看，我以为，这个选择里，还包含了今天的义务教育中十分匮乏的大众教育思想。
试想一想。
这节课谁受益最大？
我以为，也不是那些最聪明的学生，而是大多数学业成绩中等乃至下等的学生。
通性通法，其内涵的另一种言说，就是“大众化”。
不仅适用范围广泛，而且也容易为多数人吸收、内化。
值得深思的是，教育的大众化，是否就意味着低级，意味着肤浅？
我看未必。
大众教育，最重要的思想，是让大多数学生能够以他们可接受的方式享有教育，让所有的学生，都能够从教育中获得一份自信，获得一种向上的精神状态，获得一种探究未知世界的勇气。
“鸡兔同笼”问题，前20年里，都没有深入教材，为什么？
恐怕很重要的原因，就是因为一直定位于教“假设法”。
这个门槛，对多数学生来说，实在太高了。
于是，它就成了学生“课外学习”（其实就是奥数学习）的一个经典题。
今天，它进入教材，恐怕是因为很多人又看到了它“亲切”的一面，它能够成为大多数学生的“朋友”。
施老师的教学，就是一个例证。
“可接受”，原本是教学中最基本的一个原则。
无奈的是，在升学的高压下之下，很多课堂放弃了它，在教学方式上崇尚高技能高技巧。
最终，教育生产出来的只是“学科匠人”，是催生物，而不是真正有良好潜质的“学科精英”、优秀公民。
在我看来，大众教育至少应该有两个维度：
宽度和深度。
宽度，就是前面谈到的可接受性。
而这里的深度，绝对不是难、不是类，而更多的是指空间，指的是其潜在的能量。
这种能量的存在，使有限时间内的课堂教学，能够让所有的学生都得到应有的生长。
义务教育，作为一种公共服务，理应做这样的价值取舍。
从这个角度而言，我以为，施老师的选择更加意味深长。
（责任编辑
余慧娟）
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