数理经济学茹少峰课后题及答案Word格式文档下载.docx
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求的极值点为x
e。
2xlnx
3x。
x4
当xe时，y'
，所以该函数存在极大值为
1。
e3
e
议论函数fx，yxyx2y21的极值。
依据二元函数极值的必需条件，可得
（x,y）
（0,0）,（x,y）
（1,1）,（x,y）
（1,
1）,（x,y）（
1,1）,（x,y）
1）为可能的
2
极值点。
（0,0）时，H
0，所以函数在该点无极值；
（1,1）时，H
3
20，海赛矩阵为正定矩阵，所以函数在该点有严格极小
值为
1；
8
（
0，海赛矩阵为正定矩阵，所以函数在该点有严格极
）时，H
小值为
（x,y）（1,
1）时，H
20，
（1）A1
0,
（1）2A2
0，则海赛矩阵为负定矩
阵，所以函数在该点有严格极大值为
1）
时，
H
20，
（1）A
0,
（1）
2A
，则海赛矩阵为负定矩
18
试说明对于随意的，0，生产函数f（x）AKL是凹函数。
证明：
fKAK1L,fKLAK1L1
fKKA
（1）K2L,fLLA
（1）KL2所以函数的Hessian矩阵为
因为0
1,01，所以H（K,L）0
;
且
（1）A
Hessian
是负
定的，因今生产函数是严格凹函数。
4.
考虑生产函数yLαKβ。
假如0
1，0
1，
1，试说明该生产函数对
于L
和K的随意取值都是严格凹函数。
假如
1，该函数是什么形状？
5.证明：
（1）同上，可求得函数的Hessian矩阵为Hessian是负定的，该函数对于K、L随意取值都是严格凹函数。
某完整竞争厂商由单一可变投入L（劳动），每期薪资率为W0。
若该厂商每期的固定成本为F，产品的价钱为P0，要求：
（1）写出厂商的生产函数、利润函数、成本函数和利润函数；
（2）何为利润最大化的一阶条件？
解说此条件的经济意义；
（3）什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？
解:
（1）生产函数为：
Qf（L）利润函数为：
RPQPf（L）成本函数为：
CLW0F
利润函数为：
RCPf（L）（LW0F）
（2）利润最大化的一阶条件为：
Pdf（L）
W0
0，即df（L）
W0。
该条件的经
L
P
济含义为：
在利润最大化时，单个因素的边沿产量等于因素单位成本与产品价钱的比
值。
（3）要知足利润最大化而不是最小，则要知足利润最大化的二阶充足条件：
因为P
0，所以df（L）2
，也就是说，在边沿产出递减规律的经济条件下才能实现
d2L
利润最大化.
某厂商有以下的总成本函数C与总需求函数Q：
C
1Q3-7Q2
111Q50，
Q100P.
请回答以下问题：
（1）确立总利润函数R与总利润函数。
（2）确立利润最大化的产出水平及最大利润。
（1）RPQQ（100Q）利润最大化的一阶必需条件为：
解得，Q1,Q11。
利润最大化的二阶充足条件为：
2Q12，
2Q
当Q
1时，
0，函数获得极小值为；
11时，
0，函数获得极大值为
；
所以，在产出水平为11时，利润最大为。
（7.设有二次利润函数QhQ2jQk，试确立系数所知足的拘束，使以下命题成立：
1）证明若什么也不生产，因为固定成本的关系，利润将为负；
2）证明利润函数为严格凹函数；
3）求在正的产出水平Q下的最大化利润。
（1）由题可知，当Q0时，k。
因为固定成本存在的关系，利润为负，所以
系数一定知足的条件为k0。
（2）因为利润函数为严格凹函数，其一阶必需条件为2hQj0，
Q求得Qj；
二阶充足条件为2h。
2h2Q
函数为严格凹函数知足的充要条件：
f'
（x）0，即
0,
所以，h0。
（3）在正的产出水平下，Q
j
0，所以j0
。
2h
8.假定有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价钱分别为P1和P2，产品的需
求函数Q及成本函数C为：
Q140-2P1-P2，Q2
35-P1-P2，C
Q12
Q22
10，
求利润最大化的价钱水平。
利润函数P1Q1P2Q2C7P123P228P1P2270P1185P22835利润最大化的一阶必需条件为：
14P18P22700,
8P16P21850
P1
P2
解得，P17,P221.5,
又11
14
6
20
22
11
12
所以，在利润最大化是价钱水平为P17,P221.5,
9.假定有一个完整竞争条件下的两产品厂商，产品的价钱分别为
P1和P2，单位时间
内i产品的产出水平为Qi，厂商成本函数为C2Q12
Q1Q22Q22，求：
（1）利润最大化的产出水平；
（2）若总成本函数为C2Q122Q22，两产品的生产能否存在技术有关性，Q1与Q2的新最优水平是多少？
（3）对参变量P1和P2进行比较静态剖析。
（1）
P1Q1
P2Q2
（2
Q1Q2
2）
Q
Q2
P14QQ20
P24Q2Q10
Q1
Q2
可得Q1
4P1P2,Q2
13P14P2,
（2）P1Q1P2Q2（2Q12
2Q22）
4Q10，
P14Q20，
可得，Q1
1P1,Q2
1P2
4
而
0,即在最优产量下，Q1,Q2不存在技术有关性。
（3）由
（1）问中的最优产量Q1
即，产品1价钱上升1
单位，产量上升
4，价钱降落13；
产品1价钱上升1单位，产量降落
1，价钱降落4
10.一个企业有严格凹的生产函数QK,L。
给定P产品价钱，r资本的利用率，薪资。
要求：
1）对利润达到最大化的投入因素K与L进行比较静态剖析，并作简要的剖析说明；
（2）假定生产函数是规模酬劳递减的Coob-Douglas函数，做相同的比较静态剖析。
（1）PQ（K,L）rKwL利润最大化时，最优解为KK（P,r,w），LL（P,r,w）PQ（K,L）rKwL为最优值函数。
r变化对最大利润的影响为：
r
QK
Kr
QL
Lr
w
K
利润最大化时有PQ
r0,PQ
w0
则K，L
rrww
即当资本利用率或薪资提升时，利润率随之降落，当产品价钱上升时，最大利润率随之上升。
（2）PKLrKwL
利润最大化时，最优解为KK（P,r,w），LL（P,r,w）PQ（K,L）rKwL为最优值函数。
，
（K）（L）
11.考虑参数为a的极大化问题函数fx;
ax23ax4a2a0：
（1）利用包络定理求函数fx;
a的最大值对于参数a的导数；
（2）剖析参数a对目标函数的最大值的影响。
（1）假定最优解为xx（a），
（2）一阶条件为
f（x（a）,a）
，即2x（a）3a
所以，参数a与木匾函数的最大值同向改动。
12.考虑参数最优化问题maxfx,aa3x423x3eax213（a为参数）：
（1）求目标函数的极大值对于参数a的导数；
（2）剖析参数a对目标函数的极大值的影响（假定这个问题的最优解xa0）。
（1）假定最优解xx（a）利用包络定理
（2）x（a）0，由
（1）中结果，df（x,a）0，所以参数a对目标函数极值的影
da响是同增同减的。
13.
给定依靠于投入参数y的短期总成本函数cq，yaybq
dq
，这里
2y
a，b，d
0，求长久总成本函数cLq。
长久总成本函数C（q）minCs（q,y）aybq
a,b,d0
要使上式为极小值，一定知足一阶必需条件：
C（q,y）
y
a
0，即y
4y
4a
代入可得
C（q）a
bq
航空企业在甲乙两地之间有固定的航班。
他比预约航班的商务乘客和预约周六晚
上留宿航班的乘客的需求看作两个独自的市场。
假定商务乘客的需求函数为Q16p，旅
游乘客的需求函数为Q10p，对于全部乘客的成本函数为CQ10Q2。
该航空企业在两个市场怎样订价才能获取最大利润？
总利润函数
4P278P376
39
由一阶必需条件可得，P
二阶充足条件可得，'
80，即该点为极大值。
15.给定一个价钱接受的厂商的生产函数QK,L。
假定QKL0，即资本的边沿产量
跟着劳动力的增添而增添。
给定产品价钱
P，资本的租金率
r和薪资
ω，则它的利润函数
为πK,L
PQK,L
πKωL。
假定厂商利润极大化问题的二阶充足条件建立，
试分别讨
论外生变量
r、ω和P之一的变化对各个内生变量的最优值
K和L
的影响。
由题可知，厂商最优值为KK（P,r,w），LL（P,r,w）最优函数为PQ（K,L）rKwL
则
PQK
PQ
wL
依据利润最大化一阶必需条件可得
r0,P
利用包络定理，内生变量对外省变量的影响以下：
K，
L,
Q（K,L）
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