江苏省姜堰市溱潼中学届高三数学基础知识梳理 第7章 解析几何Word文档格式.docx

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已知条件

方程

说明

点斜式

点P（x0，y0）和斜率k

不包括与x轴垂直的直线

斜截式

斜率k和纵截距b

两点式

两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）

x1≠x2且y1≠y2

截距式

在x轴、y轴上的截距分别是a、b

不包括平行于坐标轴及经过原点的直线

一般式

A、B不全为0

已知两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则直线P1P2的方程总可写为（不要讨论）：

.

⒉特殊位置的直线方程：

⑴垂直于x轴的直线方程是.y轴的方程是.

⑵垂直于y轴的直线方程是.x轴的方程是.

⑶过原点的直线（除y轴）方程是.

⑷求过点P（x0，y0）（不是原点）且在坐标轴上的截距相等的直线方程时应考虑哪几种情况？

㈢点P（x0，y0）与直线l：

Ax+By+C=0的位置关系：

⒈P在直线l上，则有.

⒉P在直线l外，P到直线l的距离为d，则d=

㈣两直线l1和l2的位置关系：

⒈斜率存在，直线l1：

y=k1x+b1，直线l2：

y=k2x+b2，则

⑴l1与l2相交

；

⑵l1∥l2

；

⑶l1与l2重合

⑷l1⊥l2

⒉斜率不一定存在，直线l1：

A1x+B1y+C1=0，直线l2：

A2x+B2y+C2=0，则：

⑴l1与l2相交

⑵l1∥l2

⑶l1与l2重合

⑷l1⊥l2

.

⒌两相交直线交点坐标的求法：

⒍两平行线之间的距离：

直线l1：

Ax+By+C1=0，直线l2：

Ax+By+C2=0，则l1与l2间的距离d=.

过两定点P、Q分别作倾斜角相等的直线，这两条平行直线间距离的最大值是.

㈤对称：

⒈请填以下空格，并记住结论：

点P坐标

关于什么对称

对称点P/的坐标

备注

（a，b）

点（x0，y0）

可直接用

原点

x轴

可直接用

y轴

直线x-y=0

直线x+y=0

直线x-y+c=0

只用于选择、填空题

直线x+y+c=0

若对称轴的斜率不是±

1，没有上述结论！

只可用下面的方法求：

设P（x0，y0）关于直线Ax+By+C=0的对称点Q的坐标是（x，y），则

⑴当A=0且B≠0时，则x=，y=；

⑵当B=0且A≠0时，则x=，y=；

⑶当AB≠0时，则

㈥直线系：

1、直线系的定义：

具有某种共同特征的直线的集合叫做直线系，它的方程叫做直线系方程.

2、常见的直线系方程：

⑴过定点P（x0，y0）的直线系方程是.

⑵斜率是k的直线系方程是.

⑶与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是.

⑷与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是.

⑸在x轴和y轴上截距的和是10的直线系方程是.

3、设直线l1：

A1x+B1y+C1=0和直线l2：

A2x+B2y+C2=0相交于P点，则经过P点的直线

系方程是.

4、如何证明直线系过定点？

㈦二元一次不等式表示的平面区域：

⒈当B＞0时，⑴点P（x1，y1）在直线l：

Ax+By+C=0的上方

⑵点P（x1，y1）在直线l：

Ax+By+C=0的下方

⒉当B=0，A＞0时，⑴点P（x1，y1）在直线l：

Ax+C=0的右方

⑵点P（x1，y1）在直线l：

Ax+C=0的左方

㈧简单线性规划问题最优解的解题步骤：

⒈画可行域；

⒉画斜率是k的直线系；

⒊根据直线系扫过可行域的情况，判别直线在哪一点处纵截距有最小值，在哪一点处

纵截距有最大值；

⒋求出纵截距最大、最小时相应的点的坐标，即最优解；

⒌根据最优解求出目标函数的最大值或最小值.

㈨基本练习题：

⒈已知直线l：

（2m2-7m+3）x+（m2-9）y+3m2=0,当倾斜角α=45°

时,m=；

当m=

时,l平行于y轴；

当m时,l在y轴上的截距为4.

⒉已知直线kx+2y-3=0过点（1,1）,则k=；

若它与直线2x-y+5=0垂直,则k=；

此时两直线交点坐标为；

两直线与x轴围成的三角形的面积为.

⒊若P＜-1,则原点到直线xcosθ+ysinθ+p=0的距离为.

⒋已知直线l1：

（a-1）x-2y+3=0、l2：

x-ay+1=0，当a=时，l1∥l2；

当a=时，l1⊥l2；

当a=时，l1、l2所成的角等于45°

.

⒌直线l过点A（-2,2）且和两坐标轴围成的三角形面积等于1,则直线l的斜率k=.

⒍不论k取何值,直线（2k-1）x-（k+3）y-（k-11）=0必过定点.

三、圆：

㈠圆的定义；

㈡圆的方程：

⒈标准方程：

圆心坐标是，半径是.

⒉一般方程：

注：

⑴若已知条件与圆心或半径有关，通常用标准式求圆方程；

若已知条件是不共线的

三点，通常用一般式求圆的方程.

⑵以A（x1,y1）,B（x2,y2）两点为直径端点的圆的方程是.

㈢点与圆的位置关系：

已知点P（x0,y0）与圆C方程（x-a）2+（y-b）2=r2（或x2+y2+Dx+Ey+F=0）,则：

点P在圆C上或；

点P在圆C外或；

点P在圆C内或.

㈣直线与圆的位置关系：

直线与圆的位置关系有、、三种.判别方法如下：

判别方法

（一）根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系：

d＜r；

d=r；

d＞r.

判别方法

（二）利用一元二次方程的判别式△与0的大小关系：

△＞0；

△=0；

△＜0.

㈤当直线与圆相交时，弦长公式是弦长l=.

㈥当直线与圆相切时，切线方程的求法：

⒈过圆上一点P（x0,y0）的切线方程的求法：

这时切线只有一条!

通常用“替换法则”：

⒉过圆外一点P（x0,y0）的切线方程的求法：

这时切线总有两条!

通常用点斜式，但要讨论斜率存在与否.在求斜率时，通常有两种方法：

⑴圆心到切线的距离等于半径；

⑵切线方程与圆方程联立消去一元得到另一元的二次方程后令判别式△=0.

注意：

不论用哪一种，如果求出的斜率k只有一解，说明另一条切线的斜率不存在.

⒊已知圆C方程及圆的切线的斜率K，如何求切线方程？

通常用斜截式方程，即设切线

方程为y=kx+b，仿照上面（⒉中的⑴⑵两点，任选其一）求出b.

㈦圆与圆的位置关系：

设⊙C1、⊙C2的半径分别是r1、r2，圆心距|C1C2|=d，则：

外离

外切

相交

内切

内含

㈧两圆相交时公共弦所在直线方程的求法：

㈨两圆相切时过切点的公切线方程的求法：

㈩过圆C：

（x-a）2+（y-b）2=r2（或x2+y2+Dx+Ey+F=0）外一点P（x0,,y0）引圆的切线,

则切线长t=或.

（十一）过圆C：

（x-a）2+（y-b）2=r2（或x2+y2+Dx+Ey+F=0）外一点P（x0,,y0）引圆的两条切线,切点

为A、B，则直线AB方程为.

四、椭圆：

㈠椭圆的定义、方程和性质：

定义

⒈

⒉

y

标准方程

B1

B2

A2

A1

l2

l1

·

F2

F1

o

x

图形

范围

顶点

焦点

焦距

中心

长短轴长

a、b、c的关系

对称性

离心率

公式

准线方程

焦点到准线的距离

在椭圆第一定义中,注意“2a＞|F1F2|”这个条件,若2a=|F1F2|,这时动点轨迹是.

椭圆的两个标准方程

、

这两个标准方程可以合并为一个：

Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，且A≠B）.

㈦椭圆上任一点到一焦点的最大距离是；

最小距离是.

㈧椭圆的焦点弦长最大值是；

最小值是.

㈩两个重要结论：

⒈椭圆

长轴的两个端点为A1、A2,短轴的一个端点是B,

P是椭圆上任一点,则∠A1PA2≤∠A1BA2；

⒉椭圆

的两个焦点为F1、F2,短轴的一个端点是B,

P是椭圆上任一点,则∠F1PF2≤∠F1BF2.

五、双曲线：

㈠双曲线的定义及性质：

实轴虚轴长

渐近线方程

⒈在双曲线的第一定义中，应注意“差的绝对值”及“2a＜|F1F2|”.

⑴若仅仅是“差是定值“，则动点轨迹是双曲线的一支；

⑵若2a=|F1F2|（其中a≠0），则动点轨迹是两条射线.

⒉双曲线的两个标准方程

、

这两个标准方程可合并为一个：

Ax2−By2=1（A·

B＞0）

㈡在双曲线的性质中要记住：

㈢等轴双曲线的标准方程可设为，它的离心率e=.

㈤共渐近线问题：

⒈以直线y=±

x为渐近线的双曲线方程为

⒉与双曲线

共渐近线的双曲线方程为.

六、抛物线：

㈠抛物线的定义、标准方程、性质：

焦点坐标

对称轴方程

顶点坐标

抛物线的标准方程有四个，y2=±

2px（p>

0）,x2=±

2py（p>

0）,其中p是焦点到准线的距离.

焦点在x轴上的两个方程y2=±

0）,可合并为：

y2=ax（a≠0）,焦点F（

）,准线x=−

；

焦点在y轴上的两个方程x2=±

x2=ay（a≠0）,焦点F（

）,准线y=−