数学建模第四次作业Word文档下载推荐.docx
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end
disp（'
不同奖学存款余额变化'
）
年0.5万元0.6万元0.7万元'
disp（[（0:
n）'
x]）
plot（0:
n,x（:
1）,'
k^'
0:
2）,'
ko'
3）,'
kv'
axis（[-1,n+1,15,25]）
legend（'
d=0.5'
'
d=0.6'
d=0.7'
title（'
不同奖学存款余额变化'
xlabel（'
年份'
）,ylabel（'
余额/万元'
程序运行结果如下：
不同奖学存款余额变化
年0.5万元0.6万元0.7万元
020.000020.000020.0000
1.000020.100020.000019.9000
2.000020.203020.000019.7970
3.000020.309120.000019.6909
4.000020.418420.000019.5816
5.000020.530920.000019.4691
6.000020.646820.000019.3532
7.000020.766220.000019.2338
8.000020.889220.000019.1108
9.000021.015920.000018.9841
10.000021.146420.000018.8536
11.000021.280820.000018.7192
12.000021.419220.000018.5808
13.000021.561820.000018.4382
14.000021.708620.000018.2914
15.000021.859920.000018.1401
16.000022.015720.000017.9843
17.000022.176220.000017.8238
18.000022.341420.000017.6586
19.000022.511720.000017.4883
20.000022.687020.000017.3130
于是得到如下结论：
在
时
（1）奖学金金额低于0.6万元时，存款余额将持续增加；
（2）奖学金金额等于0.6万元时，存款余额保持不变。
（3）奖学金金额高于0.6万元时，存款余额将逐渐减少。
因此，学校领导应该控制奖学金不高于0.6万元。
二、有一位老人60岁时将养老金10万元以整存零取的方式存入，从第一个月开始每月支取1000元，银行每月初按月利率0.3%把上月结余额孳生的利息自动存入养老金。
请你计算老人多少岁时将把养老金用完？
如果想用到80岁，问60岁时应存入多少钱？
令第
个月末，老人的养老金余额为
万元，月利率为
，则
编程计算老人养老金何时用完，matlab程序如下：
x=[];
x0=10;
r=0.003;
x
（1）=（1+r）.*x0;
k=1;
whilex（k）>
x（k+1）=（1+r）*x（k）-0.1;
k=k+1;
k
运行结果为
k=
121
故养老金可以用121个月。
如果想用到80岁，即
，matlab程序如下：
x（241）=0;
fori=241:
-1:
2
x（i-1）=x（i）+0.1/（1+0.003）^（242-i）;
x0=x
（1）
x0=
17.0908
即老人需要存入17.0908万元。
三、继续考虑3.4.2小节的“酵母培养物的增长”案例，建立微分方程模型，模拟酵母培养物的增长。
建立阻滞增长模型
，对函数进行数据拟合，拟合程序如下：
t=0:
18;
x=[9.6,18.3,29.0,47.2,71.1,119.1,174.6,257.3,350.7,441.0,513.3,559.7,594.8,629.4,640.8,651.1,655.9,659.6,661.8];
f=@（b,t）b
（2）.*b（3）./（b（3）+（b
（2）-b（3））.*exp（-b
（1）.*（t-0）））;
[b1,r1]=nlinfit（t（1:
19）,x（1:
19）,f,[0.5,660,9.6]）
sse1=sum（r1.^2）
subplot（2,1,1）,plot（t,x,'
k*'
.01:
18,f（b1,0:
18）,'
k'
）
axis（[-1,19,0,670]）,legend（'
观测值'
模拟值'
4）
时间k（小时）'
）,ylabel（'
生物量x_k（克）'
阻滞增长方程模拟酵母培养物的增长的模拟效果图'
subplot（2,1,2）,plot（t,r1,'
k.'
[-1,19],[0,0],'
axis（[-1,19,-40,40]）
模拟误差'
阻滞增长方程模拟酵母培养物的增长的模拟误差'
结果如下：
b1=
0.5470663.02209.1355
r1=
Columns1through8
0.46452.67012.44652.6143-2.35041.6469-5.1784-2.1484
Columns9through16
1.76865.06073.8475-4.8434-7.42952.9714-0.54180.7993
Columns17through19
0.29960.89321.2820
sse1=
194.3254
拟合得到固有增长率
，酵母菌培养物最大容量
，初始值
，误差平方和为
由拟合效果图和模拟误差图可知，该阻滞增长模型能够较好地模拟酵母培养物生物量的变化趋势。
四、在桥梁的一端每隔一段时间记录在一分钟内有多少辆汽车过桥。
得到表5.5的数据，请估计一天有多少辆汽车过桥。
表5.5过桥车辆数据
时间
0:
00
2:
4:
5:
6:
7:
8:
9:
10:
30
12:
车辆数
5
8
25
12
10
14:
16:
17:
18:
19:
20:
21:
22:
23:
24:
7
9
28
22
11
3
通过matlab进行线性分段插值，然后用复化梯形求积公式求出一天过桥的车辆数，程序如下：
x=[0,2,4,5,6,7,8,9,10.5,12.5,14,16,17,18,19,20,21,22,23,24];
y=[2,2,0,2,5,8,25,12,10,12,7,9,28,22,10,9,11,89,3];
x0=x+（1/60）*（1/2）;
y0=y/（1/60）;
u=（1/60）*（1/2）:
（1/60）:
24+（1/60）*（1/2）;
y=interp1（x0,y0,u）;
sum=trapz（y）*（1/60）
plot（u,y）
时间/h'
车辆数'
）,title（'
线性分段插值'
sum=
13425
五、有一辆汽车在一段限速80km/h的直路上行驶，被交通监控设备观测到以下数据（见表5.6），请回答以下问题：
（1）当
时，这辆汽车的位置和速度分别是多少？
（2）这辆汽车分别从哪个时刻开始和结束超速？
（3）在观测的时段内，这辆汽车的最高速度是多少？
发生在哪个时刻？
表5.6汽车被交通监控设备观测到的数据
时刻/s
13
位置/m
65
121
194
313
速度/（m/s）
20
26
27
24
利用matlab进行三次样条插值，程序如下：
t=[0,3,5,8,13];
y=[20,0,65,121,194,313,20];
pp=csape（t,y,'
complete'
）,w=pp.coefs
s=@（t,tj,c）c
（1）.*（t-tj）.^3+c
（2）.*（t-tj）.^2+c（3）.*（t-tj）+c（4）;
d1s=@（t,tj,c）3.*c
（1）.*（t-tj）.^2+2.*c
（2）.*（t-tj）+c（3）;
d2s=@（t,tj,c）6.*c
（1）.*（t-tj）+2.*c
（2）;
d3s=@（t,tj,c）6.*c
（1）.*ones（size（t））;
pp.pieces
c=pp.coefs（k,:
）;
u=t（k）:
.001:
t（k+1）;
p=s（u,t（k）,c）;
plot（u,p,'
）,holdon
end
plot（t,[0,65,121,194,313],'
）,holdoff
时间/s'
位置/m'
汽车位置数据图'
pp=
form:
'
pp'
breaks:
[035813]
coefs:
[4x4double]
pieces:
4
order:
dim:
1
w=
0.3008-0.346920.00000
-0.69042.360526.040765.0000
0.2757-1.782027.1976121.0000
-0.14600.699723.9507194.0000
运行结果中
为
分段表达式的系数矩阵。
将
对
求导可得
，求
分段表达式系数矩阵
的程序如下：
z=[3,2,1,0;
3,2,1,0;
3,2,1,0].*w
z=
0.9025-0.693820.00000
-2.07124.720926.04070
0.8272-3.564027.19760
-0.43791.399423.95070
绘制汽车速度数据图，程序如下：
f1=@（x）0.9025*x.^2-0.6938*x+20;
f2=@（x）-2.0712*（x-3）.^2+4.7209*（x-3）+26.0407;
f3=@（x）0.8272*（x-5）.^2-3.564*（x-5）+27.1976;
f4=@（x）-0.4379*（x-8）.^2+1.3994*（x-8）+23.9507;
0.1:
3,f1（0:
3）,'
3:
5,f2（3:
5）,'
5:
8,f3（5:
8）,'
...
8:
13,f4（8:
13）,'
0.2:
14,80/3.6,'
）,holdon
plot（t,[20,26,27,24,20],'
速度/（m/s）'
汽车速度数据图'
（1）利用matlab求解，程序如下：
f=@（t）w（4,:
）.*[（t-8）^3,（t-8）^2,（t-8）,1];
y_10=sum（f（10））
g=@（t）z（4,:
）.*[（t-8）^2,（t-8）,1,0];
v_10=sum（g（10））
y_10=
243.5325
v_10=
24.9979
所以当
时，这辆汽车的位置为243.53m，速度为24.998m/s。
（2）由汽车速度数据图可知，超速范围大概在[2,12]之间，继续利用matlab求解区间端点，程序如下：
t1=fzero（@（x）f1（x）-80/3.6,[0,3]）
t2=fzero（@（x）f4（x）-80/3.6,[8,13]）
t1=
1.9999
t2=
12.1474
所以超速时间段区间为[1.9999,12,1474]s。
（3）求解程序如下
v=@（x）-f2（x）;
[x,v]=fminbnd（v,0,5）;
tmin=x,vmin=-v
运行结果：
tmin=
4.1397
vmin=
28.7308
所以该车在4.1397s达到最高速度28.7308m/s。
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