数学运算2Word格式.docx
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（河北2013-44）一个金鱼缸，现已注满水。
有大、中、小三个假山，第一次把
小假山沉入水中，第二次把小假山取出，把中假山沉入水中，第三次把中假山取出，把小假
山和大假山一起沉入水中。
现知道每次从金鱼缸中溢出水量的情况是：
第一次是第二次的
1/3，第三次是第二次的2倍。
问三个假山的体积之比是（
A.1∶3∶5B.1∶4∶9C.3∶6∶7
）。
D.6∶7∶8
第02讲
倍数特性
“倍数特性法”是一种特殊的“代入排除法”，也是代入排除法中最重要的内容。
这种
方法通过正确答案所应该满足的某种倍数特性来直接锁定答案。
熟练运用本方法最关键的要
点，就是牢牢掌握各种倍数关系的性质和判定方法。
①2、4、8整除及余数判定基本法则
【例4】
（2012年421联考－61）某公司三名销售人员2011年的销售业绩如下：
甲的销
售额是乙和丙销售额的1.5倍，甲和乙的销售额是丙的销售额的5倍，已知乙的销售额是56
万元，问甲的销售额是：
（
）
A.140万元
B.144万元
C.98万元
D.112万元
●题型三：
比例倍数
核心提示
b
若a:
b=m:
n（m,n互质），则说明a占m份，是m的倍数；
占n份，是n
的倍数；
a+b占m+n份，是m+n的倍数；
a-b占m-n份，是m-n的倍数。
（广州2013-26）少年宫学习美术、舞蹈和唱歌专业的学生共有90人，美术和
舞蹈专业的学生比例为2∶3，舞蹈和唱歌专业的学生比例为3∶4,则学生人数最多的专业有
多少人？
A.25
B.30
C.35
D.40
【数字大小；
题目中也没有同时提及路程和时间的具体数字大小，因为知道了这两类量，是可
以计算出速度具体大小的。
当题目中只有路程或者时间有具体大小时，我们假设一个速度为1或者其他数字，就
不会影响结果。
同理，在经济利润问题中，如果题目中只有单价的具体数字大小，没有件数
和总价的具体数字大小，那么我们可以假设某个件数为1，或者假设总价为1，但不能同时
做这两件事情。
【例2】
（江苏2013A-33）现需购买三种调料加工成一种新调料，三种调料价格分别为
每千克20元、30元、60元。
如果购买这三种调料所花钱一样多，则每千克调料的成本是
A.30元
B.35元
C.40元
D.60元
（河北2013-48）小王收购了一台旧电视机，然后转手卖出，赚取了30%的利润。
1个月后，客户要求退货，小王和客户达成协议，以当时交易价格的90%回收了这台电视机，
后来小王又以最初的收购价格将其卖出。
问小王在这台电视机交易中的利润率为（
A.13%
B.17%
C.20%
D.27%
第04讲
比例假设
我们在前面的“化归为一法”中学到，当题目中某个未知量不影响最终结果时，为了方
便计算，我们可以将其设为某个特殊的值，从而简化计算。
然而在有些题目中，虽然我们非常希望假设其中某个量为一个方便计算的数值，但随意
假设可能会跟题干当中的某些已知数字矛盾，这时我们就可以使用“比例假设法”。
尽管假设数字可能会与已知条件矛盾，但我们仍然可以强行假设其为某一个数字，然后
看看推出的矛盾双方之间是几倍关系，按比例放大或者缩小即可。
【例1】
（广东2012－8）某企业为员工定制工作服，请服装公司的裁缝量体裁衣，裁缝
每小时为52名男员工35名女员工量体。
几小时后，刚好量完所有的女员工的尺寸，这时还
有24名男员工没有量体。
若男女员工的比例为11:
7，则该企业共有多少名员工？
A.720B.810C.900D.1080
（北京2012-75）商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的40%，现商场决定
将加价幅度降低一半来促销，商品售价比以前降低了54元。
问该商品原来的售价是多少元？
A.324
B.270
C.135
D.378
【例3】
（上海2013A-60）某高速公路收费站对过往车辆的收费标准是：
大型车30元/
辆、中型车15元/辆、小型车10元/辆。
某天，通过收费站的大型车与中型车的数量比是5∶
6，中型车与小型车的数量比是4∶11，小型车的通行费总数比大型车的多270元，这天的
收费总额是（
A.7280元
C.7300元
B.7290元
D.7350元
（江苏2013B-87）甲乙丙三人同去商城购物，甲花的钱的1/2等于乙花的钱的
1/3，乙花的钱的3/4等于丙花的钱的4/7，结果丙比甲多花93元，则三人一共花的钱是
）？
A.432元
B.422元
C.429元
D.430元
（浙江2013-57）一个总额为100万的项目分给甲、乙、丙、丁四个公司共同来
完成，甲、乙、丙、丁分到项目额的比例为1/2:
1/3:
1/4:
1/6，请问甲分到的项目额为多少
万？
A.35万
B.40万
C.45万
D.50万
第05讲
工程问题
工程问题研究工作量和工作时间、工作效率之间的关系，是近年来考题中最重要、最常
考的重点题型之一。
基础公式：
工作量=工作时间⨯工作效率；
核心思想：
化归为一法（设“1”法）、比例假设法。
●题型一：
基础计算型
（天津2013-9）某项工程计划300天完工，开工100天后，由于施工人员减少，
工作效率下降了20%，问完成该项工程比原计划推迟了多少天？
A.40B.50C.60D.70
（安徽2011-9）某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可
以完成一项生产任务。
如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；
如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。
如果同时交换甲和
乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？
A.1.4
B.1.8
C.2.2
D.2.6
●题型二：
同时合作型
（重庆2013-99）甲、乙、丙三人共同完成一项工程用了6小时，如果甲与乙的
效率之比为1∶2,乙与丙的效率之比为3∶4，则乙单独完成这项工程需要多少小时？
A.10B.17C.24D.31
【例4（山东】2013-61）2台大型收割机和4台小型收割机在一天内可收完全部小麦3/10，
8台大型收割机和10台小型收割机在一天内可收完全部小麦。
如果单独用大型收割机和单
独用小型收割机进行比较，要在一天内收完小麦，小型收割机要比大型收割机多用多少台?
A.8
B.10
C.18
D.20
交替合作型
“交替合作型”工程问题，是最新考查的重点题型，也是考生易错的难点题型。
由于
合作的“交替性”，不能简单的使用基础公式进行计算，而要注重其工作的“周期性”。
【例5】
（2010年425联考-94）单独完成某项工作，甲需要16小时，乙需要12小时，
如果按照甲、乙、甲、乙……的顺序轮流工作，每次1小时，那么完成这项工作需要多长时
间?
A.13小时40分钟B.13小时45分钟C.13小时50分钟D.14小时
●题型四：
撤出加入型
【例6】
（四川2013-60）建筑公司安排100名工人去修某条路，工作2天后抽调30名
工人，又工作了5天后再抽走20名工人，总共用时十二天修完。
如果整条路希望在10天内
修完，且中途不得增减人手，则要安排多少名工人?
A.80
B.90
C.100
D.120
●题型五：
两项工程型
【例7】
（国考2014-75）甲、乙两个工程队共同完成A和B两个项目。
已知甲队单独完
成A项目需13天，单独完成B项目需7天；
乙队单独完成A项目需11天，单独完成B项目
需9天。
如果两队合作用最短的时间完成两个项目，则最后一天两队需要共同工作多长时间
就可以完成任务？
A.1/12天
B.1/9天
C.1/7天
D.1/6天
第06讲
十字交叉
“十字交叉法”是数学运算题中一种经典的技巧，对符合使用条件的试题有近乎“秒杀”
的
同，且最高是21分，则最低分最低是多少？
A.14B.16C.13
D.15
（国考2014-65）某连锁企业在10个城市共有100家专卖店，每个城市的专卖
店数量都不同。
如果专卖店数量排名第5多的城市有12家专卖店，那么专卖店数量排名最
后的城市，最多有几家专卖店？
A.2
B.3
C.4
D.5
（河北2012－42）要把21棵桃树栽到街心公园里5处面积不同的草坪上，如果
要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同，面积最大的草坪上至少要栽几
棵?
A.7
B.8
C.10
D.11
（春季联考2013-46）60名员工投票从甲、乙、丙三人中评选最佳员工，选举
时每人只能投票选举一人，得票最多的人当选。
开票中途累计，前30张选票中，甲得15
票，乙得10票，丙得5票。
问在尚未统计的选票中，甲至少再得多少票就一定当选？
A.15B.13C.10D.8
（浙江2012-58）一个班里有30名学生，有12人会跳拉丁舞，有8人会跳肚皮
舞，有10人会跳芭蕾舞。
问至多有几人会跳两种舞蹈？
A.12人
B.14人
C.15人
D.16人
（深圳2013-46）一小偷藏匿于某商场，三名保安甲、乙、丙分头行动搜查商场
的100家商铺。
已知甲检查过80家，乙检查过70家，丙检查过60家，则三人都检查过的
商铺至少有（
）家。
A.5
C.20
D.30
第08讲
基本方程
方程与方程组，是解答文字应用题的重要工具。
尽管数学运算的很多试题不需要也不
应该使用方程的方法来解答，因为那样可能会耗去大量的精力，但仍然有着相当一大部分
问题，采用方程法才是最简单的。
如果论及数学运算“第一重要的方法”，“方程法”当之
无愧。
数学运算的大部分题型，都可以使用“方程法”来解答。
其中，“盈亏问题”、“鸡兔
同笼问题”
如果题目涉及“只满足条件A、B的数目”，一般选用“三集合图示标数”来作答；
2.
3.
如果题目涉及“满足一个条件的数目”和“满足两个条件的数目”，只给了我们一
个总数而不是分项的数字，一般选用“三集合整体重复型”的公式来作答。
两集合标准型
核心公式
满足条件I的个数+满足条件II的个数-两者都满足的个数=总个数-两者都不满足的个
数
（浙江2013-54）某班对50名学生进行体检，有20人近视，12人超重，4人既
近视又超重，该班有多少人既不近视又不超重？
A.22人B.24人C.26人
D.28人
（天津2013-12）有70名学生参加数学、语文考试，数学考试得60分以上的有
56人，语文考试得60分以上的有62人，都不及格的有4人，则两门考试都得60分以上的
有多少人？
A.50
B.51
C.52
D.53
两集合图示标数型
涉及到两个集合的容斥原理问题时，如果题目提及“只满足某1个条件”的数目，那
么我们无法通过标准的两集合容斥原理公式得到答案。
这时，推荐大家利用简洁的“文氏
图”标数得到所求结果。
图示标数的关键是：
从最中间“两个条件都满足”的数字入手。
（北京2013-73）一批游客中每人都去了A、B两个景点中至少一个。
只去了A
的游客和没去A的游客数量相当，且两者之和是两个景点都去了的人数的3倍。
则只去一个
景点的人数占游客总人数的比重为（
A.2/3
B.3/4
C.4/5
D.5/6
（国考2014-67）工厂组织职工参加周末公益活动，有80%的职工报名参加，报
名参加周六活动的人数与报名参加周日活动的人数比为2：
1，两天的活动都报名参加的人
数为只报名参加周日活动的人数的50%。
问未报名参加活动的人数是只报名参加周六活动的
人数的？
A.20%
B.30%
C.40%
D.50%
三集合标准型
特别注意：
上式左边代表至少满足三个条件之一的情况，也等于总数减去三个条件都
不满足的情况。
（安徽2011-15）如图所示：
A、B、C分别是面积为60、170、
150的三张不同形状的卡片，它们部分重叠放在一起盖在桌面上，总共盖住
的面积为280，且A与B、B与C、C与A重叠部分的面积分别是22、60、35。
问阴影部分的面积是多少？
A.15
B.16
C.17
D.18
【例6】
（2012年421联考－54）某公司招聘员工，按规定每人至多可投考两个职位，
结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报
甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数
为：
A.7人
B.8人
C.5人
D.6人
三集合图示标数型
核心要点
当题目条件不能直接代入标准公式时，我们可以考虑利用图示配合，标数解答。
特别注意“满足某条件”和“仅满足某条件”的区分；
特别注意有没有“三个条件都不满足”的情形；
1.
标数时，注意由中间向外围标记。
【例7】外语学校有英语、法语、日语教师共27人，其中只能教英语的有8人，只能
教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4
人，三种都能教的有2人，则只能教法语的有多少人（
A.4人
B.5人
C.6人
D.7人
三集合整体重复型
在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为
A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。
其中：
满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，
满足三个条件的元素数量为z，根据右图可以得到下面两个等式：
B
⎧W=x+y+z
⎩A+B+C=x⨯1+y⨯2+z⨯3
⎨
A
C
从图中很明显可以看出，x和y都分别包含3个部分，是这3个部分的总和。
因此，
当题目关心的是这样的总和，而不是各个单独部分数值时，往往就应该用这两个公式。
【例8】
（陕西2013-78）五年级一班共有55个学生，在暑假期间都参加了特长培训班，
35人参加书法班，28人参加美术班，31人参加舞蹈班，其中以上三种特长培训班都参加的
有6人，则有（
）人只参加了一种特长培训班。
A.45
B.33
C.29
D.22
【例9】
（北京2014-80）某旅行团共有48名游客，都报名参观了三个景点中的至少一
个。
其中，只参观了一个景点的人数与至少参观了两个景点的人数相同，是参观了三个景点
的人数的4倍。
则需要为这些游客购买多少张景点门票？
A.48B.72C.78D.84
【例10】
（春季联考2013-42）有100人参加运动会的三个比赛项目，每人至少参加一
项，其中未参加跳远的有50人，未参加跳高的有60人，未参加赛跑的有70人。
问至少有
多少人参加了不止一个项目？
C.15
第11讲
排列组合
毫无疑问，“排列组合”是广大考生最为头疼的难点题型，又是几乎每次都必考的重点
题型。
能否在这一部分有所突破，是最终能否取得高分的关键。
n!
排列公式：
Anm
=
=n⨯（n-1）⨯（n-2）⨯⨯（n-m+1）
=n⨯（n-1）⨯（n-2）⨯⨯（n-m+1）
（n-m）!
组合公式：
Cnm=
⨯m!
m⨯（m-1）⨯（m-2）⨯⨯1
逆向公式：
满足条件的情况数＝总情况数-不满足条件的情况数
基础公式型
（浙江2012-54）南阳中学有语文教师8名、数学教师7名、英语教师5名和体
育教师2名。
现要从以上四科教师中各选出1名教师去参加培训，问共有几种不同的选法？
A.96
B.124
C.382
D.560
（上海2013A-61）从甲地到乙地每天有直达班车4班，从甲地到丙地每天有直
达班车5班，从丙地到乙地每天有直达班车3班，则从甲地到乙地共有（
）不同的乘车
法。
A.12种
B.19种
C.32种
D.60种
分类讨论型
（秋季联考2013-34）某单位有职工15人，其中业务人员9人。
现要从整个单
位选出3人参加培训，要求其中业务人员的人数不能少于非业务人员的人数。
问有多少种不
同的选人方法？
A.156
B.216
C.240
D.300
分步计算型
（秋季联考2013-33）某科室共有8人，现在需要抽出两个2人的小组到不同的
下级单位检查工作，问共有多少种不同的安排方案？
A.210
B.260
C.420
D.840
（国考2014-71）一次会议某单位邀请了10名专家，该单位预定了10个房间，
其中一层5间、二层5间。
已知邀请专家中4人要求住二层、3人要求住一层、其余3人住
任一层均可。
那么要满足他们的住房要求且每人1间，有多少种不同的安排方案？
A.43200
B.7200
C.450
D.75
逆向计算型
（天津2013-13）由1—9组成一个3位数，肯定有数字重复的组合有多少种？
A.220
B.255
C.280
D.225
第12讲
概率问题
概率问题是一类从排列组合衍生出来的新的题型，这种题型基于排列组合，但又有很多
自己的特征和知识点，是近年来考试的最新热点题型。
概率＝满足条件的情况数÷
总的情况数。
（春季联考2013-49）某种密码锁的界面是一组汉字键，只有不重复并且不遗漏
地依次按下界面上的汉字才能打开，其中只有一种顺序是正确的。
要使得每次对密码锁进行
破解的成功率在万分之一以下，则密码锁的界面至少要设置多少个汉字键？
B.6
C.7
D.8
分步乘法型
分步概率＝满足条件的每个步骤概率之积。
（北京2013-74）一个由4个数字（0-9之间的整数）组成的密码，每连续两位都
不相同，问任意猜一个符合该规律的数字组合，猜中密码的概率为（
A.1/5040
B.1/7290
C.1/9000
D.1/10000
（2012年915联考－48）甲某打电话时忘记了对方电话号码最后一位数字，但
记得这个数字不是“0”。
甲某尝试用其他数字代替最后一位数字，恰好第二次尝试成功的概
率是（
A.1/9
B.1/8
C.1/7
D.2/9
然本质是一样的，但效率更高。
在这里强烈推荐大家使用“表格法”来解答“牛吃草问题”，本节所有例题都同时配有
“方程法”和“表格法”，请大家利用方程来强化理解，而利用表格来迅速答题，一旦掌握
熟练之后，请直接使用“表格法”解答。
请务必耐心学习，一开始可能会比较郁闷，掌握熟练之后将有意想不到的好效果。
其中
“题型一：
基本公式型”是本节的重点，大家可以首先掌握这一部分的知识。
核心公式：
y=（N-x）⨯T
4.
“y”代表原有存量（比如“原有草量”）；
“N”代表促使原有存量减少的变量（比如“牛数”）；
“x”代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”）；
“T”代表存量完全消失所耗用时间。
●
几何长度
几何周长核心公式
n
正方形C正方形=4a；
长方形C长方形=2（a+b）；
圆形C圆=2πR；
扇形C扇形=
2πR
360°
（国家2013－62）阳光下，电线杆的影子投射在墙面及地面上，其中墙面部分
的高度为1米，地面部分的长度为7米。
甲某身高1.8米，同一时刻在地面形成的影子长0.9
米。
则该电线杆的高度为：
A.12米
B.14米
C.15米
D.16米
几何面积
几何面积核心公式
正方形S正方形=a2；
菱形（包括正方形）面积等于对角线乘积的一半；
长方形S长方形
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