四川省成都经济技术开发区实验中学校届高三上学期入学考试数学理试题+Word版含答案.docx
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四川省成都经济技术开发区实验中学校届高三上学期入学考试数学理试题+Word版含答案
成都经开区实验中学2016级高三上学期入学考试试题
数学（理工类）
（考试用时：
120分全卷满分：
150分）
注意事项：
1.答题时，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：
每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.填空题和解答题的作答：
用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.选做题的作答：
先把所做题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5.考试结束后，请将答题卡上交；
第Ι卷（选择题部分，共60分）
一、选择题：
本大题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合，若，则a的值为
A.1B.2C.3D.1或2
2.已知复数z满足zi=2i+x（x∈R），若z的虚部为2，则|z|=
A．2B．2C．D．
3.等差数列的公差为2，若,,成等比数列，则的前8项和=
A.72B.56C.36D.16
4.若函数为奇函数，则
A.-2B.2C.-1D.1
5.某学校高三年级有2个文科班，3个理科班，现每个班指定1人对各班的卫生进行检查，若每班只安排一人检查，且文科班学生不检查文科班，理科班学生不检查自己所在的班，则不同安排方法的种数是
A.24B.32C.48D.84
6.“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体．它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）．其直观图如图，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线．当其主视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是
A．B．C．D．
7.已知函数与互为反函数，函数的图象与的图象关于轴对称，若，则实数的值为
A．B．C．D．
8.已知命题;命题,则下列命题中为真命题的是
A.B.C.D.
9.已知函数的图象关于直线对称，且当时，
设,则a,b,c的大小关系是
A.a>b>cB.c>b>aC.b>c>aD.b>a>c
10.如右图,在边长为2的正方形ABCD中,M是AB的中点,则过三点的抛物线与CD围成阴影部分的面积是
A.B.
C.2D.
11、过抛物线焦点的直线与抛物线交于、两点，以为直径的圆的方程为，则
A．1B．2C．3D．4
12.已知椭圆：
的右焦点为，过点的两条互相垂直的直线，，与椭圆相交于点，，与椭圆相交于点，，则下列叙述不正确的是
A．存在直线，使得值为7
B．存在直线，使得值为
C．四边形的面积存在最大值，且最大值为6
D．四边形的面积存在最小值，且最小值为
第Ⅱ卷（非选择题部分，共90分）
二、填空题：
本题共4题，每小题5分，共20分
13.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为.
14．在的展开式中，的系数为_________（用数字作答）．
15.已知点M（a,b）由确定的平面区域内运动，则动点N（a+b,a-b）所在平面区域的面积为______________.
16.已知双曲线：
的右焦点为，左顶点为.以为圆心，为半径的圆交的右支于，两点，的一个内角为，则的离心率为．
三、解答题:
（本题包括6小题，共70分。
要求写出证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
在△ABC中，、、分别为角、、所对的边，，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．
18．（本小题满分10分）
已知数列的前项和为,且对一切正整数恒成立．
（1）求当为何值时,数列是等比数列,并求出它的通项公式；
（2）在
（1）的条件下，记数列的前项和为，求．
19.（本小题满分10分）
为了研究学生的数学核心素养与抽象能力（指标x）、推理能力（指标y）、建模能力（指标z的相关性，将它们各自量化为1、2、3三个等级，再用综合指标w=x+y+x的值评定学生的数学核心素养，若,则数学核心素养为一级；若则数学核心素养为二级：
若,则数学核心素养为三级，为了了解某校学生的数学核心素养，调查人员随机访问了某校10名学生，得到如下数据：
（1）在这10名学生中任取两人，求这两人的建棋能力指标相同条件下综合指标值也相同的概率；
（2）在这10名学生中任取三人，其中数学核心素养等级足一级的学生人数记为X,求随机变量X的分布列及其数学期望。
20．（本小题满分12分）
如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=1,AA1=,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥平面ABB1A1.
（1）证明BC⊥AB1;
（2）若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.
21．（本小题满分10分）
设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c的图象过点（0,1）和（1,4），且对于任意的实数x，不等式f（x）≥4x恒成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设g（x）＝kx＋1，若F（x）＝log2[g（x）－f（x）]在区间[1,2]上是增函数，求实数k的取值范围．
22.（本小题满分10分）
已知函数，（其中，且）.
（I）求函数的定义域.
（II）判断函数的奇偶性，并予以证明.
（III）求使成立的的集合.
成都经开区实验中学2016级高三上学期入学考试试题
数学（理工类）参考答案
1—5BBABA6—10BCBAD11—12BD
13.3014.12015.1616.
17.（本小题满分10分）
解：
（Ⅰ）由，结合余弦定理得：
，………………2分
，………………3分
则，………………4分
∵∴.………………5分
（Ⅱ）设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理知
，………………7分
故,………………8分
则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离.………………10分
18.（本小题满分12分）
【答案】
（1）；
（2）
【解析】试题分析：
（1）再写一个式子，利用可求得．
（2）由
（1）可得，所以，用裂项求和求和．
（2）
19．（本小题满分12分）
解：
x
2
3
3
1
2
2
2
2
2
2
y
2
2
3
2
3
3
2
3
1
2
z
3
3
3
2
2
3
2
3
1
2
w
7
8
9
5
7
8
6
8
4
6
（1）由题可知:
建模能力一级的学生是；建模能力二级的学生是；建模能力三级的学生是.
记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件，记“所取的两人的综合指标值相同”为事件.
则………………6分
（2）由题可知，数学核心素养一级的学生为:
，非一级的学生为余下4人
的所有可能取值为0,1，2，3.
随机变量的分布列为：
0
1
2
3
………………10分
………………12分
20.（本小题满分12分）
解:
（1）证明:
由题意,因为四边形ABB1A1是矩形,
D为AA1中点,AB=1,AA1=,AD=,所以在直角三角形ABB1中,tan∠AB1B=
在直角三角形ABD中,tan∠ABD=,所以∠AB1B=∠ABD.
又∠BAB1+∠AB1B=90°,∠BAB1+∠ABD=90°,
所以在三角形ABO中,∠BOA=90°,即BD⊥AB1.………………4分
又因为CO⊥平面ABB1A1,AB1⊂平面ABB1A1,
所以CO⊥AB1.所以AB1⊥面BCD,
因为BC⊂面BCD,所以BC⊥AB1.………………6分
（2）如图,分别以OD,OB1,OC所在的直线为x,y,z轴,以O为原点,建立空间直角坐标系,则A,B,C,B1,D,………………-7分
又因为=2,所以C1.
所以
设平面ABC的法向量为n=（x,y,z）,
则根据可得n=（1,,-）是平面ABC的一个法向量,………10分
设直线CD与平面ABC所成角为α,则sinα=,
所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为.………………12分
21.（本小题满分12分）
解：
（1）f（0）＝c＝1，f
（1）＝a＋b＋c＝4，.……………….2分
∴f（x）＝ax2＋（3－a）x＋1.
f（x）≥4x即ax2－（a＋1）x＋1≥0恒成立得
解得a＝1.
∴f（x）＝x2＋2x＋1..……………….6分
（2）F（x）＝log2[g（x）－f（x）]＝log2[－x2＋（k－2）x]．
由F（x）在区间[1,2]上是增函数，
得h（x）＝－x2＋（k－2）x在区间[1,2]上为增函数且恒为正实数，.………….8分
∴解得k≥6.
∴实数k的取值范围为[6，＋∞）．.……………….12分
22.（本小题满分12分）
解：
（I）由题意得：
，
∴，
∴所求定义域为．
（II）函数为奇函数，
令，
则，
∵，，．
∴函数为奇函数．
（III）∵，
，，
∴当时，，
∴或．
当时，，不等式无解，
综上：
当时，使成立的的集合为或．
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