考研数三真题及答案解析完整版.docx
《考研数三真题及答案解析完整版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《考研数三真题及答案解析完整版.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
考研数三真题及答案解析完整版
考研数三真题及答案解析
一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．、
１．当时，用表示比高阶的无穷小，则下列式子中错误的是（）
（A）（B）
（C）（D）
【详解】由高阶无穷小的定义可知（A）（B）（C）都是正确的，对于（D）可找出反例，例如当时，但而不是故应该选（D）．
2．函数的可去间断点的个数为（）
（A）0（B）1（C）2（D）3
【详解】当时，，
，所以是函数的可去间断点．
，所以是函数的可去间断点．
，所以所以不是函数的可去间断点．
故应该选（C）．
３．设是圆域的第象限的部分，记，则（）
（A）（B）（C）（D）
【详解】由极坐标系下二重积分的计算可知
所以，应该选（B）．
４．设为正项数列，则下列选择项正确的是（）
（A）若，则收敛；
（B）若收敛，则；
（C）若收敛．则存在常数，使存在；
（D）若存在常数，使存在，则收敛．
【详解】由正项级数的比较审敛法，可知选项（D）正确，故应选（Ｄ）．
此小题的（A）（B）选项想考查的交错级数收敛的莱布尼兹条件，对于选项（A），但少一条件，显然错误．而莱布尼兹条件只是交错级数收敛的充分条件，不是必要条件，选项（B）也不正确，反例自己去构造．
５．设Ａ，Ｂ，Ｃ均为阶矩阵，若ＡＢ＝Ｃ，且Ｂ可逆，则
（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．
（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．
（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价．
（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
【详解】把矩阵A，C列分块如下：
，由于ＡＢ＝Ｃ，则可知，得到矩阵C的列向量组可用矩阵A的列向量组线性表示．同时由于B可逆，即，同理可知矩阵A的列向量组可用矩阵C的列向量组线性表示，所以矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．应该选（B）．
6．矩阵与矩阵相似的充分必要条件是
（A）（B），为任意常数
（C）（D），为任意常数
【详解】注意矩阵是对角矩阵，所以矩阵A=与矩阵相似的充分必要条件是两个矩阵的特征值对应相等．
从而可知，即，为任意常数，故选择（B）．
7．设是随机变量，且，，则
（A）（B）
（C）（D）
【详解】若，则
，，
，
．
故选择（A）．
8．设随机变量X和Y相互独立，且X和Y的概率分布分别为
X
0
1
2
3P
P
1/2
1/4
1/8
1/8
Y
-1
0
1
P
1/3
1/3
1/3
则（）
（A）（B）（C）（D）
【详解】，故选择（C）．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）
9．设曲线和在点处有切线，则．
【详解】由条件可知．所以
10．设函数是由方程确定，则．
【详解】
设，则，
当时，，所以．
11．．
【详解】
12．微分方程的通解为．
【详解】方程的特征方程为，两个特征根分别为，所以方程通解为，其中为任意常数．
13．设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则=．
【详解】由条件可知，其中为A的伴随矩阵，从而可知
，所以可能为或0．
但由结论可知，可知,伴随矩阵的秩只能为3，所以
14．设随机变量X服从标准正分布，则．
【详解】
．
所以为．
三、解答题
15．（本题满分10分）
当时，与是等价无穷小，求常数．
【分析】主要是考查时常见函数的马克劳林展开式．
【详解】当时，，，，
所以，
由于与是等价无穷小，所以．
16．（本题满分10分）
设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值．
【详解】由微元法可知
；
；
由条件，知．
17．（本题满分10分）
设平面区域D是由曲线所围成，求．
【详解】
．
18．（本题满分10分）
设生产某产品的固定成本为6000元，可变成本为20元/件，价格函数为（P是单价，单位：
元，Q是销量，单位：
件），已知产销平衡，求：
（1）该的边际利润．
（2）当P=50时的边际利润，并解释其经济意义．
（3）使得利润最大的定价P．
【详解】
（1）设利润为，则，
边际利润为
（2）当P=50时，Q=10000，边际利润为20．
经济意义为：
当P=50时，销量每增加一个，利润增加20．
（3）令，得
19．（本题满分10分）
设函数在上可导，，且，证明
（1）存在，使得
（2）对
（1）中的，存在，使得．
【详解】
证明
（1）由于，所以存在，当时，有，
又由于在上连续，且，由介值定理，存在，使得
（2）函数在上可导，由拉格朗日中值定理，
存在，使得．
20．（本题满分11分）
设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C．
【详解】
显然由可知，如果C存在，则必须是2阶的方阵．设，
则变形为，
即得到线性方程组，要使C存在，此线性方程组必须有解，于是对方程组的增广矩阵进行初等行变换如下
，
所以，当时，线性方程组有解，即存在矩阵C，使得．
此时，，
所以方程组的通解为，也就是满足的矩阵C为
，其中为任意常数．
21．（本题满分11分）
设二次型．记．
（1）证明二次型对应的矩阵为；
（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为．
【详解】证明：
（1）
所以二次型对应的矩阵为．
证明
（2）设，由于
则，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
，所以为矩阵对应特征值的特征向量；
而矩阵A的秩，所以也是矩阵的一个特征值．
故在正交变换下的标准形为．
22．（本题满分11分）
设是二维随机变量，X的边缘概率密度为，在给定的条件下，Y的条件概率密度为．
（1）求的联合概率密度；
（2）Y的的边缘概率密度．
【详解】
（1）的联合概率密度：
（2）Y的的边缘概率密度：
23．（本题满分11分）
设总体X的概率密度为，其中为为未知参数且大于零，为来自总体X的简单随机样本．
（1）求的矩估计量；
（2）求的极大似然估计量．
【详解】
（1）先求出总体的数学期望E（X）
，
令，得的矩估计量．
（2）当时，似然函数为
，
取对数，，
令，得，
解得的极大似然估计量为．
1、最困难的事就是认识自己。
21.4.204.20.202122:
2222:
22:
22Apr-2122:
22
2、自知之明是最难得的知识。
二〇二一年四月二十日2021年4月20日星期二
3、越是无能的人，越喜欢挑剔别人。
22:
224.20.202122:
224.20.202122:
2222:
22:
224.20.202122:
224.20.2021
4、与肝胆人共事，无字句处读书。
4.20.20214.20.202122:
2222:
2222:
22:
2222:
22:
22
5、三军可夺帅也。
Tuesday,April20,2021April21Tuesday,April20,20214/20/2021
6、最大的骄傲于最大的自卑都表示心灵的最软弱无力。
10时22分10时22分20-Apr-214.20.2021
7、人生就是学校。
21.4.2021.4.2021.4.20。
2021年4月20日星期二二〇二一年四月二十日
8、你让爱生命吗，那么不要浪费时间。
22:
2222:
22:
224.20.2021Tuesday,April20,2021
亲爱的用户：
烟雨江南，画屏如展。
在那桃花盛开的地方，在这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃花一样美丽，感谢你的阅读。
升级会员 