三角形全等之截长补短整理.docx
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三角形全等之截长补短整理
三角形全等之截长补短(讲义)
一、知识点睛
截长补短:
题目中出现__________________________时,考虑截长补短;截长补短的作用是____________________________________
___________________________________________________.
二、精讲精练
1.已知:
如图,在△ABC中,∠1=∠2,∠B=2∠C.
求证:
AC=AB+BD.
2.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,点E为AB边上一点,且DE平分∠ADC,CE平分∠BCD.
求证:
CD=AD+BC.
3.已知:
如图,在正方形ABCD中,AD=AB,
∠B=∠D=∠BAD=90°,E,F分别为CD,BC边上的点,且∠EAF=45°,连接EF.
求证:
EF=BF+DE.
4.已知:
如图,在△ABC中,∠ABC=60°,△ABC的角平分线AD,CE交于点O.
求证:
AC=AE+CD.
5.已知:
如图,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BD平分∠ABC,CE⊥BD交BD的延长线于点E.
求证:
CEBD.
【参考答案】
【知识点睛】
线段间的和差倍分;
把几条线段间的数量关系转为两条线段的等量关系.
【精讲精练】
1.补短法:
证明:
如图,延长AB到E,使BE=BD,连接DE.
∵∠ABD是△BDE的一个外角
∴∠ABD=∠E+∠BDE
∵BE=BD
∴∠E=∠BDE
∴∠ABD=2∠E
∵∠ABD=2∠C
∴∠E=∠C
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC(AAS)
∴AE=AC
∴AC=AB+BE
=AB+BD
截长法:
证明:
如图,在AC上截取AF=AB,连接DF.
在△ABD和△AFD中
∴△ABD≌△AFD(SAS)
∴∠B=∠AFD,BD=FD
∵∠B=2∠C
∴∠AFD=2∠C
∵∠AFD是△DFC的一个外角
∴∠AFD=∠C+∠FDC
∴∠FDC=∠C
∴DF=FC
∴BD=FC
∴AC=AF+FC
=AB+BD
2.证明:
如图,在CD上截取CF=CB.
∵CE平分∠CBD
∴∠1=∠2
在△CFE和△CBE中
∴△CFE≌△CBE(SAS)
∴∠CFE=∠B
∵∠B=90°
∴∠CFE=∠DFE=90°
∵∠A=90°
∴∠DFE=∠A
∵DE平分∠ADC
∴∠3=∠4
在△DEF和△DEA中
∴△DEF≌△DEA(AAS)
∴DF=AD
∴CD=DF+CF
=AD+BC
3.证明:
如图,延长FB到G,使BG=DE,连接AG.
∵∠D=∠ABC=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADE中
∴△ABG≌△ADE(SAS)
∴AG=AE,∠1=∠2
∵∠BAD=90°,∠EAF=45°
∴∠2+∠3=45°
∴∠1+∠3=45°
即∠GAF=45°
∴∠GAF=∠EAF
在△AGF和△AEF中
∴△AGF≌△AEF(SAS)
∴GF=EF
∵GF=BF+BG
∴EF=BF+DE
4.证明:
如图,在AC上截取AF=AE,连接OF.
∵AD,CE为△ABC的角平分线
∴∠1=∠2,∠3=∠4
在△AEO和△AFO中
∴△AEO≌△AFO(SAS)
∴∠5=∠6
∵∠ABC=60°
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180∠B
=18060
=120
∴∠2+∠3=60
∴∠AOC=180°60
=120°
∴∠5=∠6=∠7=∠8=60°
在△OFC和△ODC中
∴△OFC≌△ODC(ASA)
∴CF=CD
∴AC=AF+FC
=AE+CD
5.证明:
如图,延长CE,交BA的延长线于点F.
∵CE⊥BD
∴∠BEF=∠BEC=90°
∵∠BAC=90°
∴∠CAF=∠BAD=90°
∵∠3=∠4
∴∠1=∠5
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF(ASA)
∴BD=CF
∵BE平分∠ABC
∴∠1=∠2
在△BEF和△BEC中
∴△BEF≌△BEC(ASA)
∴EF=EC
∴CE=CF
∴CE=BD
三角形全等之截长补短每日一题
1.(4月28日)在△ABC中,AD⊥BC于D,∠B=2∠C.
求证:
CD=AB+BD.
2.(4月29日)如图,在△ABC中,AB>AC,∠1=∠2,P为AD上任意一点,连接BP,CP.
求证:
ABAC>PBPC.
3.(4月30日)已知:
如图,∠1=∠2,P为BN上一点,且
PD⊥BC于点D,∠A+∠C=180°.
求证:
BD=AB+CD.
4.(5月2日)如图,在正方形ABCD中,E为BC边上任意一点,AF平分∠DAE,连接EF.
求证:
AE=BE+DF.
【参考答案】
1.证明:
如图,在线段DC上截取DE=BD,连接AE.
∵AD⊥BC
∴∠ADB=∠ADE=90°
在△ABD和△AED中
∴△ABD≌△AED(SAS)
∴∠B=∠1,AB=AE
∵∠B=2∠C
∴∠1=2∠C
∵∠1是△AEC的一个外角
∴∠1=∠C+∠2
∴∠C=∠2
∴AE=CE
∴CD=CE+ED
=AE+BD
=AB+BD
(如果延长DB到点F,使BF=AB,连接AF也可进行证明)
2.证明:
如图,在线段AB上截取AE=AC,连接PE.
则ABAC=ABAE=EB
在△AEP和△ACP中
∴△AEP≌△ACP(SAS)
∴PE=PC
在△PEB中,PBPE∴PBPC∴ABAC>PBPC
(延长AC到点F,使AF=AB,连接PF,也可证明结论)
3.证明:
如图,在BC上截取BE=BA,连接PE.
在△ABP和△EBP中
∴△ABP≌△EBP(SAS)
∴∠A=∠3
∵∠A+∠C=180°,∠3+∠4=180°
∴∠4=∠C
∵PD⊥BC
∴∠PDE=∠PDC=90°
在△PDE和△PDC中
∴△PDE≌△PDC(AAS)
∴DE=DC
∴BD=BE+ED
=AB+CD
(过点P作PF⊥BA于F,也可进行证明)
4.证明:
如图,延长EB到点G,使BG=DF,连接AG.
∵四边形ABCD为正方形
∴AB=AD,∠D=∠ABC=∠BAD=90°
∴∠ABG=∠D=90°
在△ABG和△ADF中
∴△ABG≌△ADF(SAS)
∴∠1=∠2,∠5=∠G
∵AF平分∠DAE
∴∠1=∠3
∵∠1+∠5=90°
∴∠3+∠G=90°
∵∠1+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠3+∠4=90°
∴∠2+∠4=∠G
∴AE=EG
∵EG=BE+BG
∴AE=BE+DF
三角形全等之截长补短(随堂测试)
6.已知:
如图,在四边形ABCD中,BC>AB,AD=DC,∠C=60°,BD平分∠ABC.
求证:
BC=AB+AD.
【参考答案】
1.证明略
提示:
在BC上截取BE=AB,证明△ABD≌△EBD,再证明
CE=AD.
三角形全等之截长补短(作业)
1.如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=80°,AD是∠BAC的平分线.
求证:
AC=AB+BD.
2.如图,AC平分∠BAD,CE⊥AB于E,∠B+∠D=180°.
求证:
AE=AD+BE.
3.如图,在△ABC中,∠A=100°,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至E,使DE=AD,连接EC.
求证:
BC=AB+CE.
4.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,CE⊥AB于E,△BDC为等腰直角三角形,∠BDC=90°,BD=CD,CE与BD交于F,连接AF.
求证:
CF=AB+AF.
【参考答案】
1.证明略
提示:
方法一:
在AC上截取AE=AB,连接DE,证明△ABD≌△AED,
再证明CE=DE;
方法二:
延长AB到E,使BE=BD,证明△ADE≌△ADC.
2.证明略
提示:
在AE上截取AF=AD,证明△CDA≌△CFA,再证明
BE=FE.
3.证明略
提示:
在BC上截取BF=BA,连接DF,证明△ABD≌△FBD,
再证明△DFC≌△DEC.
4.截长法:
证明:
如图,在CF上截取CM=BA,连接DM.
∵△BDC为等腰直角三角形,BD=CD
∴∠1=∠DCB=45°
∵CE⊥AB,∠BDC=90°
∴∠CEB=∠BDC=90°
∵∠2=∠3
∴∠4=∠5
在△ABD和△MCD中
∴△ABD≌△MCD(SAS)
∴DA=DM,∠6=∠7
∵AD∥BC
∴∠7=∠1=45°
∴∠6=45°
∴∠8=45°
∴∠7=∠8
在△ADF和△MDF中
∴△ADF≌△MDF(SAS)
∴AF=MF
∴CF=CM+MF
=AB+AF
补短法:
证明:
如图,延长BA交CD的延长线于点G.
∵△BDC为等腰直角三角形
∴∠GDB=∠BDC=90°,∠5=45°
∵CE⊥AB
∴∠CEB=∠BDC=90°
∵∠1=∠2
∴∠3=∠4
在△GBD和△FCD中
∴△GBD≌△FCD(ASA)
∴BG=CF,DG=DF
∵AD∥BC
∴∠6=∠5=45°
∴∠7=45°
∴∠6=∠7
在△GDA和△FDA中
∴△GDA≌△FDA(SAS)
∴AG=AF
∵BG=AB+AG
∴CF=AB+AF