《椭圆》方程典型例题20例含标准答案解析.docx
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《椭圆》方程典型例题20例含标准答案解析
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《椭圆》方程典型例题20例
典型例题一
例1椭圆的一个顶点为A2,0,其长轴长是短轴长的2倍,求椭圆的标准方程.分析:
题目没有指出焦点的位置,要考虑两种位置.
解:
(1)当A2,0为长轴端点时,a
2,b
1,
椭圆的标准方程为:
x2y21;
41
(2)当A2,0为短轴端点时,b2,a4,
椭圆的标准方程为:
x2y21;
416
说明:
椭圆的标准方程有两个,给出一个顶点的坐标和对称轴的位置,是不
能确定椭圆的横竖的,因而要考虑两种情况.
典型例题二
例2一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,求椭圆的离心率.
解:
2c
a2
2
1
∴3c2
a2,
c
3
∴e
1
3.
3
3
说明:
求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求
a,求c,再求
比.二是列含a和c的齐次方程,再化含e的方程,解方程即可.
典型例题三
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例3
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与直线x
y10交于A、B两点,
M为AB中点,OM的斜率为0.25,椭圆的短轴长为
2,求椭圆的方程.
解:
由题意,设椭圆方程为
x2
y2
1,
a2
x
y1
0
由x2
y
2
,得1a2x2
2a2x0,
a2
1
∴xM
x1
2
x21a2,yM
1xM
1
,
a2
1a2
kOM
yM
1
1,∴a2
4,
xM
a2
4
∴x2
y2
1为所求.
4
说明:
(1)此题求椭圆方程采用的是待定系数法;
(2)直线与曲线的综合问
题,经常要借用根与系数的关系,来解决弦长、弦中点、弦斜率问题.
典型例题四
例4椭圆
x2
y2
,B
9
与焦点F4,0
的
25
1上不同三点Ax1,y1
4,,Cx2,y2
9
5
距离成等差数列.
(1)求证x1x28;
(2)若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T,求直线BT的斜率k.
证明:
(1)由椭圆方程知a
5,b
3,c
4.
由圆锥曲线的统一定义知:
AF
c,
a2
a
x1
c
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∴
AF
a
ex1
5
4
x1.
5
同理
CF
5
4
x2.
5
9,
∵
AF
CF
2BF,且BF
5
∴5
4x1
5
4x2
18,
5
5
5
即
x1
x2
8
.
(2)因为线段
AC的中点为
y1
y2
,所以它的垂直平分线方程为
4,
2
y
y1
y2
x1
x2x
4.
2
y1
y2
又∵点T在x轴上,设其坐标为
x,
00,代入上式,得
x0
4
y12
y22
2x1
x2
又∵点Ax1,y1,Bx2,y2都在椭圆上,
∴y12925x1225
y22
925
x22
25
9x1x2x1x2.
∴y12
y22
25
将此式代入①,并利用x1x28的结论得
x04
36
25
9
0
5
∴
5
.
kBT
x04
4
典型例题五
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例5已知椭圆x2
y2
1,F1
、F2为两焦点,问能否在椭圆上找一点
M,使M
4
3
到左准线l的距离MN是MF1
与MF2的等比中项?
若存在,则求出点
M的坐
标;若不存在,请说明理由.
解:
假设M存在,设Mx1,y1,由已知条
件得
a2,b
3,∴c
1,e
1.
2
∵左准线l的方程是x
4,
∴MN
4x1.
又由焦半径公式知:
1
MF1aex12x1,
1
MF2aex12x1.
2
MF1
MF2,
∵MN
∴x14
2
2
1x1
2
1x1.
2
2
整理得5
x12
32
x1
48
0
.
解之得x1
4或x1
12.
①
5
另一方面
2
x1
2.
②
则①与②矛盾,所以满足条件的点M不存在.
说明:
(1)利用焦半径公式解常可简化解题过程.
(2)本例是存在性问题,解决存在性问题,一般用分析法,即假设存在,
根据已知条件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果,再作判断.
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(3)本例也可设M2cos,3sin存在,推出矛盾结论(读者自己完成).
典型例题六
例6已知椭圆
x2
y
2
1
,求过点P
1
1
且被P平分的弦所在的直线方程.
2
2
,
2
分析一:
已知一点求直线,关键是求斜率,故设斜率为
k,利用条件求k.
解法一:
设所求直线的斜率为k,则直线方程为y
1
kx
1.代入椭圆
2
2
方程,并整理得
12k2x2
2k2
2kx1k2
k
3
0.
2
2
由韦达定理得x1
x2
2k2
22
k.
1
2k
∵P是弦中点,∴x1
x2
1
.故得k
1.
2
所以所求直线方程为
2x
4y
3
0
.
分析二:
设弦两端坐标为
x1,y1
、x2,y2,列关于x1、x2、y1、y2的方程
组,从而求斜率:
y1
y2
.
x1
x2
解法二:
设过P
1
1
的直线与椭圆交于Ax1,y1
、Bx2,y2
,则由题意得
2
,
2
x12
y12
1,
①
2
x22
y22
1,
②
2
x21,
x1
③
y1
y2
1.
④
①-②得x12
x22
y12
y22
0.
⑤
2
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将③、④代入⑤得y1
y2
1,即直线的斜率为
1.
x1
x2
2
2
所求直线方程为2x4y30.
说明:
(1)有关弦中点的问题,主要有三种类型:
过定点且被定点平分的弦;平
行弦的中点轨迹;过定点的弦中点轨迹.
(2)解法二是“点差法”,解决有关弦中点问题的题较方便,要点是巧代
斜率.
(3)有关弦及弦中点问题常用的方法是:
“韦达定理应用”及“点差法”.有关二次曲线问题也适用.
典型例题七
例7求适合条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴长是短轴长的
2倍,且过点
2,6;
(2)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直,且焦距为
6.
分析:
当方程有两种形式时,应分别求解,如(
1)题中由x2
y2
1
求出
a2
b2
a2
148,b2
37,在得方程x2
y2
1后,不能依此写出另一方程
y2
x2
1.
148
37
148
37
2
2
2
2
解:
(1)设椭圆的标准方程为x2
y2
1或y2
x
21.
a
b
a
b
由已知a
2b.
①
又过点
2,6
,因此有
22
6
2
62
22
1.
②
a2
b2
1
或
b2
a2
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由①、②,得a2
148
,b2
37或a2
52,b2
13.故所求的方程为
x2
y2
1或y2
x2
1.
148
37
52
13
(2)设方程为x2
y2
1.由已知,c3,b
c3,所以a2
18.故所
a2
b2
求方程为x2
y2
1.
18
9
说明:
根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.关键在于
焦点的位置是否确定,若不能确定,应设方程
x2
y2
1或
y2
x2
a
2
b
2
a
2
b
21.
典型例题八
例8椭圆x2
y2
1的右焦点为F,过点A1,3
,点M在椭圆上,当
16
12
AM
2MF为最小值时,求点M的坐标.
分析:
本题的关键是求出离心率e
1,把2MF转化为M到右准线的距离,
1
2
从而得最小值.一般地,求
AMMF均可用此法.
e
1,右准线
解:
由已知:
a
4,c
2.所以e
2
l:
x
8.
过A作AQ
l,垂足为Q,交椭圆于M,故
MQ
2MF.显然AM
2MF的最小值为AQ,
即M为所求点,因此yM
3,且M在椭圆上.故
xM
23.所以M2
3,3.
说明:
本题关键在于未知式AM2MF中的“2”的处理.事实上,如图,
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e1,即MF是M到右准线的距离的一半,即图中的MQ,问题转化为求椭圆
2
上一点M,使M到A的距离与到右准线距离之和取最小值.
典型例题九
例9求椭圆x2
y2
1上的点到直线xy6
0的距离的最小值.
3
分析:
先写出椭圆的参数方程,由点到直线的距离建立三角函数关系式,求
出距离的最小值.
解:
椭圆的参数方程为
x
3cos,
3cos,sin
,
y
sin.
设椭圆上的点的坐标为
则点到直线的距离为
3cossin6
2sin
6
3
.
d
2
2
当sin1时,d最小值22.
3
说明:
当直接设点的坐标不易解决问题时,可建立曲线的参数方程.
典型例题十
例10设椭圆的中心是坐标原点,长轴在x轴上,离心率e
3
3
2
,已知点P0,
2
到这个椭圆上的点的最远距离是
7,求这个椭圆的方程,并求椭圆上的点
P的
距离等于7的点的坐标.
分析:
本题考查椭圆的性质、距离公式、最大值以及分析问题的能力,在求
d的最大值时,要注意讨论b的取值范围.此题可以用椭圆的标准方程,也可用
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椭圆的参数方程,要善于应用不等式、平面几何、三角等知识解决一些综合性问
题,从而加强等价转换、形数结合的思想,提高逻辑推理能力.
解法一:
设所求椭圆的直角坐标方程是
x2
y2
1
,其中ab
0待定.
a2
b2
由e
2
c2
a2
b2
b2
可得
a
2
a
2
1
a
2
b
1e2
1
31,即a2b.
a
4
2
设椭圆上的点x,y到点P的距离是d,则
3
2
y2
9
d
2
x
2
y
a
2
1
y
2
3y
2
b2
4
9
1
2
4b2
3y2
3y
3y
b2
3
4
2
4
其中
b
y
b.
如果b
1,则当y
b时,d2(从而d)有最大值.
2
2
3
2
3
1,与b
1矛盾.
由题设得
b
,由此得b
7
7
2
2
2
2
因此必有b
1成立,于是当y
1时,d2(从而d)有最大值.
2
2
2
4b2
3,可得b
1,a
2.
由题设得
7
∴所求椭圆方程是x2
y2
1
.
4
1
由y
1及求得的椭圆方程可得,椭圆上的点
3,1
,点
3,1
到
2
2
2
3
的距离是
7.
点P0,
2
xacos
解法二:
根据题设条件,可取椭圆的参数方程是,其中ab0,
ybsin
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待定,0
2
,
为参数.
c2
a2
b2
b
2
2
可得
由e
a2
a2
1
a
b
1e2
1
3
1,即a2b.
a
4
2
设椭圆上的点x,y
3
的距离为d,则
到点P0,
2
2
2
d2
x2
y
3
a2cos2
bsin
3
2
2
4b2
3b2sin2
3bsin
9
4
1
2
3b2
sin
4b2
3
2b
如果1
1,即b
1,则当sin
1时,d2(从而d)有最大值.
2b
2
2
3
2
3
1,与b
1矛盾,因此必有
由题设得
b
,由此得b
7
7
2
2
2
2
1
1成立.
2b
1时d2(从而d)有最大值.
于是当sin
2b