轨迹方程的求法及典型例题含答案可编辑修改word版.docx
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轨迹方程的求法及典型例题含答案可编辑修改word版
轨迹方程的求法
一、知识复习
轨迹方程的求法常见的有
（1）直接法；
（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）交轨法；（6）相关点法
注意：
求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.一、知识复习
例1：
点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，求圆心M的轨迹方程。
例2、如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90
°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.
解：
设AB的中点为R，坐标为（x,y），则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.
又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：
在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－（x2+y2）
又|AR|=|PR|=
所以有（x－4）2+y2=36－（x2+y2）,即x2+y2－4x－10=0
因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.
设Q（x,y），R（x1,y1），因为R是PQ的中点，所以x1=x+4,y
=y+0,
212
代入方程x2+y2－4x－10=0,得
（x+4）2+
2
（y）2
2
-4⋅
x+4
2
－10=0
整理得：
x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.
例3、如图,直线L1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上的
任一点到L2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=
且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.
17,|AN|=3,
解法一：
如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。
依题意知：
曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。
设曲线段C的方程为y2=2px（p>0）,（xA≤x≤xB,y>0），
其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。
所以M（-p
2
0）,N（p
2
0）
由|AM|=17,|AN|=3得
（xA+
p）2+2px
2A
=17
（1）
（xA
-p）2+2px=9
2A
（2）
4
⎧p=4⎧p=2
或
由①，②两式联立解得
xA=
⎨
。
再将其代入①式并由p>0解得⎩
A=1⎩A
p⎧p=2
因为△AMN是锐角三角形，所以2
∴p=4,xA=1
>
xA
⎨
，故舍去⎩
A=2
xB
由点B在曲线段C上，得
=|BN|-p=4
2。
综上得曲线段C的方程为y2=8x（1≤x≤4,y>0）
解法二：
如图建立坐标系，分别以l1、l2为
轴，M为坐标原点。
作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F设A（xA,yA）、B（xB,yB）、N（xN,0）
依题意有
xA=|ME|=DA|=|AN|=3
yA=|DM|==2
由于∆AMN为锐角三角形故有
xN=|ME|+|EN|
=|ME|+=4
xB=|BE|=|NB|=6
设点P（x,y）是曲线段C上任一点则由题意知P属于集合
{（x,y）|（x-xN）2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}
故曲线段C的方程
y2=8（x-2）（3≤x≤6,y>0）
例4、已知两点P（-2,2）,Q（0,2）以及一条直线：
y=x，设长为的线段AB在直线上移动，
求直线PA和QB交点M的轨迹方程．
解：
PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设A（t,t）,B（t+1,t+1），则PA：
y-2=t-2（x+2）（t≠-2）,QB：
y-2=t-1x（t≠-1）.
t+2
消去t，得x2-y2+2x-2y+8=0.
t+1
当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是
x2-y2+2x-2x-2y+8=0.
例5、设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，
求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.
解法一：
设M（x,y），直线AB的方程为y=kx+b
由OM⊥AB，得k=－x
y
由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+（2kb－4p）x+b2=0
所以xx=b2,yy=4pb，
12k212k
由OA⊥OB，得y1y2=－x1x2
所以4pk=－b2,b=－4kp
kk2
故y=kx+b=k（x－4p）,
得x2+y2－4px=0（x≠0）
故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0），
它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
⎧
⎪
⎪y2=4px
⎪11①
⎪y2=4px
⎪22②
解法二：
设A（x,y）,B（x,y）,M（x,y）依题意，有⎪y1⋅y2=-1
1122
⎨xx③
⎪12
⎪y⋅y1-y2=-1④
⎪
⎪x1
-
x2
⎪y1-y2=y-y1⑤|
⎪x-xx-x
①－②得（y1－y2）（y1+y2）=4p（x1－x2）
⎩121
若x1≠x2,则有y1-y2=4p
⑥①×②,得y2·y2=16p2x1x2③代入上式
x1-x2y1+y2
有y1y2=－16p2⑦
⑥代入④，得
4py1+y2
=-x
y
⑧⑥代入⑤，得
4py1+y2
=y-y1=
x-x1
y-y1所以
y2
x-1
4p
4py1+y2
=4p（y-y1）4px-y2
1
112112
即4px－y2=y（y+y）－y2－yy⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0（x≠0）
当x1=x2时，AB⊥x轴，易得M（4p,0）仍满足方程.
故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0（x≠0）它表示以（2p,0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.
轨迹方程（练习1）
1．（08、ft东文22）已知曲线C：
|x|+|y|=1（a>b>0）所围成的封闭图形的面积为
1ab
4，曲线C1的内切圆半径为，记C2为以曲线C1与坐
标轴的交点为顶点的椭圆．
（1）求椭圆C2的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C2中心的任意弦，L是线段AB的垂直平分线，M是L上异于椭圆中心的点．
①若|MO|＝λ|OA|（O为坐标原点），当点A在椭圆C2上
运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是L与椭圆C2的交点，求∆AMB的面积的最小值．
⎧2ab=4
解：
（1）由题意得⎪
=
⇒a2=5，b2=4
⎪
⎩3
⇒椭圆方程：
x2+y2＝1．
54
（2）若AB所在的斜率存在且不为零，设
AB所在直线方程为y＝kx（k≠0），A（xA，yA）．
⎧x2y2
①由⎪54
1⇒x2=20，y2=
20k2
⎨
⎪⎩y=kx,
A4+5k2
A4+5k2
AA
⇒|OA|2=x2+y2=
20（1+k2）．
4+5k2
设M（x，y），由|MO|＝λ|OA|（λ≠0）⇒|MO|2＝λ2|OA|2⇒
x2+y
2=220（1+k2）．
4+5k2
因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝-1x⇒k＝-x，代入上式有：
ky
x2+y2=2
x2
20（12）2+2
=2，由x2+y2≠0⇒5x2+4y2=202，
2
4+5⨯y2
4y2+5x2
当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为x2+y2=2，（λ≠0）．
45
②当k存在且k≠0时，2=20
2=20k2
⇒|OA|2＝2+
2=20（1+k2）．
⎧x2+y2=
⎪54
xA
20k2
4+5k2，yA
M
20
4+5k2
20（1+k2）
xAyA
4+5k2
M
由⎨⇒x2
⎪1
=5+4k2
，y2
=5+4k2
⇒|OM|2=
．
5+4k2
⎪⎩y=-kx
⇒1+1=
OA2OM2
1+1＝9．
20（1+k2）20（1+k2）20
4+5k25+4k2
2≤
|OA|⨯|OB|
1+
OA2
1
OM2
=9⇒|OA|⨯|OB|≥40．209
S=1⨯2⨯|OA|⨯|OB|＝|OA|⨯|OB|≥40，
∆AMB29
当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝±1时等号成立．
当k=0，S
=1⨯25⨯2=2
>
40；
∆AMB29
当k不存在时，S
=1⨯
5⨯4=2
>
40．
∆AMB29
综上所述，∆AMB的面积的最小值为40．
9
2．（07、江西理21）设动点P到点A（-1，0）和B（1，0）的距离分别为d1和d2，∠APB=2，且存
在常数（0<<1），使得d1d2
sin2=．
（1）证明：
动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；
（2）过点B作直线与双曲线C的右支于M，N两点，试确定的范围，使OM·ON＝0，
其中点O为坐标原点．
解：
（1）在△PAB中，AB=2，即22=d2+d2-2ddcos2，
4=（d-d）2+4ddsin2，即d-d=4-4dd
sin2=21-<2（常数），
1212
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