与名师对话文 解三角形应用举例Word下载.docx
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－40°
＝120°
，
在△ABC中，由余弦定理知
AB＝＝20（km），
即灯塔A与灯塔B的距离为20km.故选D.
[答案] D
3.如图所示为起重机装置示意图，支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为（ ）
A．30mB.m
C．15mD．45m
[解析] 在△ABC中，AC＝15m，
AB＝5m，BC＝10m，
由余弦定理得cos∠ACB＝
＝＝－.
∴sin∠ACB＝.
又∠ACB＋∠ACD＝180°
.
∴sin∠ACD＝sin∠ACB＝.
在Rt△ADC中，AD＝AC·
sin∠ACD＝15×
＝m．故选B.
[答案] B
4．（2019·
江西联考）某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为60°
，小高层底部的俯角为45°
，那么这栋小高层的高度为（ ）
A．20mB．20（1＋）m
C．10（＋）mD．20（＋）m
[解析] 如图，设AB为阳台的高度，CD为小高层的高度，AE为水平线．由题意知AB＝20m，∠DAE＝45°
，∠CAE＝60°
，故DE＝20m，CE＝AE·
tan60°
＝20m.所以CD＝20（1＋）m．故选B.
5．（2019·
广东广州市高三综合测试）江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°
和60°
，而且两条船与炮台底部连线成30°
角，则两条船相距________m.
[解析] 如图，由题意知，OA＝30，
∠OAM＝45°
，∠OAN＝30°
∠MON＝30°
在Rt△AOM中，OM＝OA·
tan∠OAM＝30·
tan45°
＝30.
在Rt△AON中，ON＝OA·
tan∠OAN＝30·
tan30°
＝10.
在△MON中，由余弦定理得
MN＝
＝
＝＝10（m）．
[答案] 10
考点一 测量距离问题
【例1】 要测量河对岸A，B两点之间的距离，选取相距km的C，D两点，并测得∠ACB＝75°
，∠BCD＝45°
，∠ADC＝30°
，∠ADB＝45°
，则A，B之间的距离为________km.
[思路引导] →→
[解析] 如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°
，∠CAD＝∠ADC＝30°
∴AC＝CD＝km.
在△BCD中，∠BCD＝45°
，∠BDC＝75°
，∠CBD＝60°
∴BC＝＝（km）．
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝（）2＋2－2×
×
cos75°
＝3＋2＋－＝5，所以AB＝km，∴A，B之间的距离为km.
[答案]
求距离问题的2个注意事项
（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接求解；
若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．
（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．
[对点训练]
1．已知A船在灯塔C北偏东80°
处，且A船到灯塔C的距离为2km，B船在灯塔C北偏西40°
处，A，B两船间的距离为3km，则B船到灯塔C的距离为（ ）
A．1kmB．2km
C．3kmD．（－1）km
[解析] 如图所示，由题意可得，∠ACB＝120°
，AC＝2，AB＝3.
设BC＝x，则由余弦定理可得AB2＝BC2＋AC2－2BC·
ACcos120°
即32＝22＋x2－2×
2xcos120°
，整理得x2＋2x＝5，
解得x＝－1（舍去负值）．故选D.
2．如图，A，B两点在河的同侧，且A，B两点均不可到达，要测出AB的距离，测量者可以在河岸边选定两点C，D，测得CD＝a，同时在C，D两点分别测得∠BCA＝α，∠ACD＝β，∠CDB＝γ，∠BDA＝δ.在△ADC和△BDC中，由正弦定理分别计算出AC和BC，再在△ABC中，应用余弦定理计算出AB.
若测得CD＝km，∠ADB＝∠CDB＝30°
，∠ACD＝60°
，∠ACB＝45°
，则A，B两点间的距离为________km.
[解析] ∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°
∴∠DAC＝60°
，∴AC＝DC＝（km）．
在△BCD中，∠DBC＝45°
由正弦定理，得BC＝·
sin∠BDC＝·
sin30°
＝.
AB2＝AC2＋BC2－2AC·
BCcos45°
＝＋－2×
∴AB＝（km）．
∴A，B两点间的距离为km.
考点二 测量高度问题
【例2】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°
的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°
的方向上，仰角为30°
，则此山的高度CD＝________m.
[解析] 由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°
，∠ABC＝180°
－75°
＝105°
，故∠ACB＝45°
又AB＝600m，故由正弦定理得＝，解得BC＝300m．在Rt△BCD中，CD＝BC·
＝300×
＝100（m）．
[答案] 100
利用正、余弦定理求解高度问题应注意的3个问题
（1）在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角（它是在铅垂面上所成的角）、方向（位）角（它是在水平面上所成的角）是关键．
（2）在实际问题中，可能会遇到空间与平面（地面）同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
（3）注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．
1．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°
，再由点C沿北偏东15°
方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°
，则塔AB的高是________米．
[解析] 在△BCD中，∠BDC＝45°
，∠DBC＝180°
－（45°
＋105°
）＝30°
，CD＝10，由正弦定理，得BC＝·
sin45°
在Rt△ABC中，AB＝BC·
tan60°
＝10×
＝10（m）．
海口调研）如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°
，C点的仰角∠CAB＝45°
以及∠MAC＝75°
；
从C点测得∠MCA＝60°
.已知山高BC＝100m，则山高MN＝________m.
[解析] 在Rt△ABC中，∠CAB＝45°
，BC＝100m，所以AC＝100（m）．
在△AMC中，∠MAC＝75°
，∠MCA＝60°
，从而∠AMC＝45°
由正弦定理，得＝，因此AM＝100（m）．
在Rt△MNA中，AM＝100m，∠MAN＝60°
，由＝sin60°
，得MN＝100×
＝150（m）．
[答案] 150
考点三 测量角度问题
【例3】 如图，在海岸A处发现北偏东45°
方向，距A处（－1）海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°
方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东30°
方向逃窜．问：
缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？
并求出所需时间．
[思路引导] →→→→→
[解] 设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则CD＝10t海里，BD＝10t海里，
在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·
ACcosA＝（－1）2＋22－2（－1）·
2·
cos120°
＝6.
∴BC＝海里．又∵＝，
∴sin∠ABC＝＝＝，
∴∠ABC＝45°
，∴B点在C点的正东方向上，
∴∠CBD＝90°
＋30°
在△BCD中，由正弦定理，得＝，
∴sin∠BCD＝＝＝.
∴∠BCD＝30°
，∴缉私船沿北偏东60°
的方向行驶．
又在△BCD中，∠CBD＝120°
，∠BCD＝30°
∴∠D＝30°
，∴BD＝BC，即10t＝.
∴t＝小时≈15分钟．
∴缉私船应沿北偏东60°
的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
解决测量角度问题的3个注意点
（1）明确方位角或方向角的含义．
（2）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步．
（3）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正弦、余弦定理的“联袂”使用．
如图所示，位于A处的信息中心获悉：
在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°
，相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，求cosθ的值．
[解] 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°
，由余弦定理得，BC2＝AB2＋AC2－2AB·
AC·
＝2800，所以BC＝20.
由正弦定理，得＝，即sin∠ACB＝·
sin∠BAC＝.
由∠BAC＝120°
，知∠ACB为锐角，则cos∠ACB＝.
由θ＝∠ACB＋30°
，得cosθ＝cos（∠ACB＋30°
）
＝cos∠ACB·
cos30°
－sin∠ACBsin30°
课后跟踪训练（二十六）
基础巩固练
一、选择题
1.在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°
，C点的俯角是70°
，则∠BAC等于（ ）
A．10°
B．50°
C．120°
D．130°
[解析] 由已知∠BAD＝60°
，∠CAD＝70°
∴∠BAC＝60°
＋70°
＝130°
.故选D.
2．如图所示，B，C，D三点在地面同一直线上，DC＝a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β和α（α<
β），则A点距地面的高AB等于（ ）
A.
B.
C.
D.
[解析] 由AB＝ACsinβ，＝＝，得AB＝.故选A.
[答案] A
3．一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°
距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为（ ）
A.海里/小时B．34海里/小时
C.海里/小时D．34海里/小时
[解析] 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34，
∴v＝＝（海里/小时）．故选A.
4．张晓华同学骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°
方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°
方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（ ）
A．2kmB．3kmC．3kmD．2km
[解析] 画出示意图如图，
由条件知AB＝24×
＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°
，AB＝6，∠ABS＝180°
，所以∠ASB＝45°
.由正弦定理知＝，所以BS＝＝3.故选B.
5.（2019·
河北衡水中学调研）如图所示，为测一建筑物的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得建筑物顶端的仰角为30°
，45°
，且A，B两点间的距离为60m，则该建筑物的高度为（ ）
A．（30＋30）mB．（30＋15）m
C．（15＋30）mD．（15＋15）m
[解析] 在△PAB中，∠PAB＝30°
，∠APB＝15°
，AB＝60，sin15°
＝sin（45°
－30°
）＝sin45°
－cos45°
由正弦定理得PB＝＝30（＋），
∴建筑物的高度为PBsin45°
＝30（＋）×
＝（30＋30）m.故选A.
二、填空题
6．一船以每小时15km的速度向正东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°
方向，行驶4h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°
方向，这时船与灯塔的距离为________km.
[解析] 如图所示，依题意有：
AB＝15×
4＝60，∠MAB＝30°
∠AMB＝45°
在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30（km）．
[答案] 30
7.（2018·
宁夏银川一中月考）如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB＝45°
，∠CAB＝105°
后，就可以计算出A，B两点的距离为________m.
[解析] 由正弦定理得＝，
∴AB＝＝＝50，故A，B两点的距离为50m.
[答案] 50
8．（2019·
江西宜春丰城中学第二次段考）某工厂实施煤改电工程防治雾霾，欲拆除高为AB的烟囱，测绘人员取与烟囱底部B在同一水平面内的两个观测点C，D，测得∠BCD＝75°
，∠BDC＝60°
，CD＝40米，并在点C处的正上方E处观测顶部A的仰角为30°
，且CE＝1米，则烟囱高AB＝________米．
[解析] ∠CBD＝180°
－∠BCD－∠BDC＝45°
在△CBD中，根据正弦定理得BC＝＝20，
∴AB＝1＋tan30°
·
CB＝1＋20（米）．
[答案] 1＋20
三、解答题
9.港口A北偏东30°
方向的C处有一检查站，港口正东方向的B处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B处沿正西方向航行20海里后到达D处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问此时轮船离港口A还有多远？
[解] 在△BDC中，BC＝31，BD＝20，CD＝21，由余弦定理知，cos∠CDB＝＝－，∴sin∠CDB＝.
∴sin∠ACD＝sin＝sin∠CDBcos－cos∠CDBsin＝.
在△ACD中，由正弦定理知＝⇒AD＝×
21÷
＝15.
∴此时轮船距港口还有15海里．
10．某人在塔的正东沿着南偏西60°
的方向前进40m后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°
，求塔高．
[解] 如图所示，某人在C处，AB为塔高，他沿CD前进，CD＝40，此时∠DBF＝45°
，过点B作BE⊥CD于E，则∠AEB＝30°
在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°
，∠DBC＝135°
由正弦定理，得＝，
所以BD＝＝20（m）．
因为∠BDE＝180°
－135°
＝15°
所以在Rt△BED中，
BE＝DBsin15°
＝20×
＝10（－1）（m）．
在Rt△ABE中，∠AEB＝30°
所以AB＝BEtan30°
＝（3－）（m）．
故所求的塔高为（3－）m.
能力提升练
11．（2019·
湖南衡阳一模）如图，为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，
测出四边形ABCD各边的长度（单位：
km）：
AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，且∠B与∠D互补，则AC的长为（ ）
A．7kmB．8km
C．9kmD．6km
[解析] 在△ABC中，由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·
BCcosB，即AC2＝25＋64－2×
5×
8cosB＝89－80cosB.在△ADC中，由余弦定理，得AC2＝AD2＋DC2－2AD·
DCcosD，即AC2＝25＋9－2×
3cosD＝34－30cosD.因为∠B与∠D互补，所以cosB＝－cosD，所以－＝，解得AC＝7（km），故选A.
12．某人在C点测得某塔在南偏西80°
，塔顶仰角为45°
，此人沿南偏东40°
方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°
，则塔高为（ ）
A．15米B．5米C．10米D．12米
[解析] 如图，设塔高为h，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°
，则OC＝OA＝h.
在Rt△AOD中，∠ADO＝30°
则OD＝h，
在△OCD中，∠OCD＝120°
，CD＝10，
由余弦定理得：
OD2＝OC2＋CD2－2OC·
CDcos∠OCD，
即（h）2＝h2＋102－2h×
10×
∴h2－5h－50＝0，解得h＝10或h＝－5（舍）．故选C.
[答案] C
13.（2019·
广东省五校协作体高三一诊）如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°
，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°
，根据以上数据可得cosθ＝________.
[解析] 由∠DAC＝15°
，∠DBC＝45°
可得∠BDA＝30°
，∠DBA＝135°
，∠BDC＝90°
－（15°
＋θ）－30°
＝45°
－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°
－θ）－45°
＝90°
＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°
＝100×
sin（45°
）＝25（－1），又＝，即＝，得到cosθ＝－1.
[答案] －1
14．（2018·
武汉联考）如图，有两条夹角为60°
的公路AB，AC经过村庄A，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，并在两条公路边上分别建仓库M，N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
千米）．记∠AMN＝θ.
（1）将AN，AM用含θ的关系式表示出来；
（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪音对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）?
[解]
（1）在△AMN中，易得∠ANM＝120°
－θ，
由正弦定理得＝＝，
又MN＝2，
所以AN＝sinθ，AM＝sin（120°
－θ）＝sin（θ＋60°
）．
（2）在△AMP中，由余弦定理得
AP2＝AM2＋MP2－2AM·
MP·
cos∠AMP
＝sin2（θ＋60°
）＋4－sin（θ＋60°
）cos（θ＋60°
＝[1－cos（2θ＋120°
）]－sin（2θ＋120°
）＋4
＝－[sin（2θ＋120°
）＋cos（2θ＋120°
）]＋
＝－sin（2θ＋150°
），θ∈（0°
，120°
当且仅当2θ＋150°
＝270°
，即θ＝60°
时，工厂产生的噪音对居民的影响最小，此时AN＝AM＝2千米．
拓展延伸练
15.某观测站C在目标A的南偏西25°
方向，从A出发有一条南偏东35°
走向的公路，在C处测得与C相距31km的公路B处有一个人正沿着此公路向A走去，走20km到达D，此时测得CD距离为21km，若此人必须在20分钟内从D处到达A处，则此人的最小速度为（ ）
A．30km/hB．45km/h
C．14km/hD．15km/h
[解析] 由已知得∠CAB＝25°
＋35°
＝60°
，BC＝31，CD＝21，BD＝20，可得cosB＝＝＝，那么sinB＝，
于是在△ABC中，AC＝＝24，
在△ABC中，BC2＝AC2＋AB2－2AC·
ABcos60°
，即312＝242＋AB2－24AB，解得AB＝35或AB＝－11（舍去），因此AD＝AB－BD＝35－20＝15.
故此人在D处距A处还有15km，若此人必须在20分钟，即小时内从D处到达A处，则其最小速度为15÷
＝45（km/h）．故选B.
16.（2019·
武汉武昌区调研）如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45°
方向600km处的热带风暴中心正以20km/h的速度向正北方向移动，距风暴中心450km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴影响的时间为（ ）
A．14hB．15hC．16hD．17h
[解析] 记现在热带风暴中心的位置为点A，t小时后热带风暴中心到达B点位置，在△OAB中，OA＝600，AB＝20t，∠OAB＝45°
，根据余弦定理得OB2＝6002＋400t2－2×
20t×
600×
，令OB2≤4502，即4t2－120t＋1575≤0，解得≤t≤，所以该码头将受到热带风暴影响的时间为－＝15（h），故选B.
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