《概率论与数理统计》课后习题答案Word文件下载.docx
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甲、乙.丙三人至少有两人击中。
5.设事件A.B.C满足ABC≠Φ.试把下列事件衣示为-些互不相容的事件的和:
Λ+B+CfAB+C>
B-AC•
如图:
6.若事件&
5C满足A+C=B+C,试问A=B是否成立?
举例说明。
不一左成立。
例如:
A={3,4,5},B={3},C={4,5},
那么,A+C=B+Ct但A≠B.
7•对于事件A,5C,试问A-(B-C)=(A-B)+C是否成立?
不一定成立。
A={3,4,5},B={4,5,6},C={6,7},那么A-(B-C)={3},但是(A-B)+C={3,6,7}β
8.设P(A)=1,P(B)=1,试就以下三种情况分别求P(BA):
(1)A3=①,
(2)Ac∑β9(3)P(AB)=I
8
_1
(1)P(BA)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)=-S
2
(2)P(BA)=P(B-A)=P(B)-P(A)=-J
6
一Il3
(3)P(BA)=P(B-AB)=P(B)一P(AB)=---=-o
288
9•已^lP(A)=P(B)=P(C)=E,P(AC)=P(BC)=P(AB)=0求事件4Io
A.B.C全不发生的概率。
P(ABC)=p(λ+B+c)=1-P(A+B+C)
=I-[P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)J
IrIIlnl1J3
=I-—I100=—
.4441616」8
10•每个路口有红、绿、黄三色指示灯,假设各色灯的开闭是等可能的。
•个人骑车经过三个路口,试求下列事件的槪率:
A=α三个都是红灯”=“全红”;
B=
“全绿”;
C="
全黄”;
D=“无红JE="
无绿”:
F=“三次颜色相
同”:
G="
颜色全不相同'
SH=“颜色不全相同”。
解:
Illl中2
P(F)=—+—+P(G)=—-—=-;
27272793×
3×
39
P(H)=I-P(F)=I--=-・
99
11•设•批产品共100件,其中98件正品,2件次品,从中任意抽取3件(分三种情况:
•次拿3件:
每次拿1件,取后放回拿3次:
每次拿1件,取后不放回拿3
次〉,试求:
1)取出的3件中恰有1件是次品的概率:
2)取出的3件中至少有1件是次品的概率。
解.
W+W=0.0594;
一次仝3件:
(1)P=⅛Ξ1=0.0588;
(2)P
CiOo
每次拿一件,取后放回,拿3次:
P=—=0.0588;
IOO3
2×
982
(1)P=__×
3=0.0576;
每次拿一件,取后不放回,拿3次:
(1)P=2x9SXe)Zχ3=0.0588;
100×
99×
98
98×
97×
96
(2)P=I=0.0594
12.从0,l,2√-,9中任意选出3个不同的数字,试求下列事件的概率:
AI={三个数字中不含0与5},A2={三个数字中不含0或5}。
CO7
Ps)=3L竺或Pwq上
^∩3015丿⅛15
13•从0J2∙∙∙,9中任总选岀4个不同的数字,计算它们能组成•个4位偶数的概率。
90
14.•个宿舍中住有6位同学,计算下列事件的概率:
(1)6人中至少有1人生日在10月份:
(2)6人中恰有4人生日在10月份;
(3)6人中恰有4人生日在同一月份:
解:
C4XIl2
(2)P=一÷
0.00061;
126
H6
(1)P=I——÷
0.41;
⑶P=C|2(?
611≡0.0073
15•从•副扑克牌(52张)任取3张(不重复),计算取出的3张牌中至少有2张花色相同的槪率。
习题1∙2解答
1•假设•批产品中•、二、三等品各占60%,30%、10%,从中任取•件,结果不是三等品,求取到的是•等品的槪率。
令4=“取到的是i等品”」・=123
2•设IO件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件产品中有1件不合格品,求另•件也是不合格品的槪率。
令4=“两件中至少有一件不合格”,B=“两件都不合格”
3•为了防止总外,在矿内同时装有两种报警系统I和II。
两种报警系统单独使用时,系统I和II有效的概率分别0.92和0.93,在系统I失灵的条件下,系统II仍有效的概率为0.85,求
(1)两种报警系统I和II都有效的概率;
(2)系统II失灵而系统I有效的概率:
(3)在系统II失灵的条件下,系统I仍有效的概率。
令q=“系统(I)有效”LB=“系统(II)有效”则P(A)=0.92,P(B)=0.93,P(BlA)=0.85
(1)P(AB)=P(B-AB)=P(B)-P(AB)
=P(B)一P(A)P(BIA)=0.93-(I-0.92)X0.85=0.862
(2)P(BA)=P(A一AB)=P(A)-P(AB)=0.92一0.862=0.058
(3)P(AIB)=/>
(AU}=(-)?
S≡0.8286
P(B)1-0.93
4•设0VP(A)Vl,证明事件A与B独立的充要条件是
证:
_
二>
:
∙.∙A与B独立,.∙.瓦与B也独立。
.∙.P(BIA)=P(B),P(BIA)=P(B)
.P(BIA)=P(BIA)
=:
∙.β0<
P(A)<
1.β.0<
1
又∙.∙P(BlA)=竺也,P(BIA)=彳凹
文档收集于互联网,已重新整理排版.word版本可编辑,有帮助欢迎下载支持.而由题设P(BIA)=P(BIA):
.P(AB)=P(^g)
P(A)P(A)
即[1-P(A)IP(AB)=P(A)[P(B)-P(AB)]
:
.P(AB)=P(A)P(B),故A与3独立。
5.设事件A与B相互独立,两个事件只有A发生的概率与只有B发生的概率都是芥求P(A)和P(B).
∙.∙P(AB)=P(AP)=丄,又∙.∙A与B独立
4
一-1
•・・P(AB)=P(A)P(B)=[1一P(A)IP(B)=一
P(AB)=P(A)P(B)=P(A)[1-P(B)I=-
・・・P(A)=P(B),P(A)-P2(A)=-
即P(A)=P(B)=-0
6.证明若P(A)>
0,P(B)K),则有
(1)当A与B独立时,A与8相容:
(2)当A与B不相容时,A与B不独立。
证明:
P(A)>
0,P(B)>
(1)因为A与B独立,所以
P(AB)=P(A)P(B)>
0,A与B相容。
(2)因为P(AB)=Of而P(A)P(B)>
0,
.∙.P(AB)≠P(A)P(B),A与3不独立。
7•已知事件A,3,C相互独立,求证A{JB与C也独立。
因为A.B、C相互独立,
・・・P[(A∖JB)∏C]=P(AC∖JBC)
=P(AC)+P(BC)-P(ABC)
=P(A)P(C)+P(B)P(C)-P(A)P(B)P(C)
=IP(A)+P(B)-P(AB)IP(C)=P(AUB)P(C)AAUfi与C独立。
&
甲、乙、丙三机床独立工作,在同•段时间内它们不需要工人照顾的槪率分别为0.7,0.8和0.9,求在这段时间内,最多只有•台机床需要工人照顾的概率。
令A1M2M3分别表示甲.乙.丙三机床不需要工人照顾,
那么P(Al)=0.7,P(A2)=O.&
P(A3)=0.9
令B表示最多有一台机床需要工人照顾,
那么P(B)=P(A}A2A3+A1A2A3+A1A2A3+A1A2A3)
=P(AA2A3)+P(A1A2A3)+P(AlA2A3)+P(AlA2Ai)
=0.7X0.8X0.9+0.3×
0.8×
0.9+0.7X0.2×
0.8+0.7X0.8×
0」
=0.902
9.如果构成系统的每个元件能正常工作的概率为/?
(0<
p<
1),(称为元件的可靠性〉,假设各元件能否正常工作是相互独立的,计算下面各系统的可靠性。
P(Ay)=ΛA1M2√-M2n相互独立。
那么
P(A)=P[(A,A2•■■Aλ)+(Aπ+1Aπ+2•■■A2n)]
=PlGM2…At)]+P[(V*…A2”)卜P(AA2…A2”)
Jl/1Il
=∏P(A)+∏^(A)-∏^(A)
ι=lι=∕ι+i/=!
=2P,t-Pln=Pn(2-Pw)
P(B)=P[(A1+Aπ+1XA2+Λλ+2)×
•-×
(Λn+A2n)]
=YIP(Ai+Aιι+i)
J=I
=h∣P(4)+P(仏)—P(4)P(仏)]
注:
利用第7题的方法可以证
=∩∣2P-P2]=Pm(2-P)H明(A+All+i)与(A-+A”+J)
/=,i≠j时独立。
10.10张奖券中含有4张中奖的奖券,每人购买1
(1)前三人中恰有•人中奖的概率:
(2)第二人中奖的概率。
令含=“第j个人中奖”,i=1,2,3
(1)P(A}A2A3+AXA2A3+AlA2Ai)
=P(AlA2A3)+P(AlA2A3)+P(AlA2A3)
=P(Al)P(¾
IAl)P(A3∖A1A2)+P(A1)P(AIAI)P(A3IA1¾
)
+P(A1)P(A2IA1)P(A3IA1A2)
4656546451
=—×
-×
-+—×
-+—X-X-=-
1098109810982
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(2)P(A2)=P(Ai)P(A2IAJ+P(AI)P(A2I瓦)
43642=—X-+—×
—=—
1091095
11•在肝癌诊断中,有•种甲胎蛋白法,用这种方法能够检查I1L95%的真实患
者,但也有可能将10%的人误诊。
根据以往的记录•每IOooO人中有4人患有肝癌,试求:
(1)某人经此检验法诊断患有肝癌的槪率:
(2)己知某人经此检验法检验患有肝癌,而他确实是肝癌患者的概率。
令E=“被检验者患有肝癌”LA=“用该检验法诊断被检验者患有肝癌”那么,P(AIB)=0.95,P(AIB)=O.10,P(B)=0.0004
(1)P(A)=P(B)P(AIB)+P(B)P(AIB)
=0.∞04×
0.95+0.9996×
0.1=0.10034
(2)P(BIA)=
P(B)P(AIB)
P(B)P(A∖B)+P(B)P(AlB)
≡0.0038
0.0004x0.95
"
0.0004×
0.95+0.9996×
0.1
12.•大批产品的优质品率为30%,每次任取1件,连续抽取5次,计算下列事件的槪率:
(1)取到的5件产品中恰有2件是优质品;
(2)在取到的5件产品中已发现有1件是优质品•这5件中恰有2件是优质品。
令Bi=“5件中有i件优质品”,/=0丄2,3,4,5
(1)P(B2)=C^(0.3)2(0.7)3÷
0.3087
⑵P(B1∖∖jBl)=P(B2∖B0)=
13•每箱产品有10件,其次品数从0到2是等可能的。
开箱检验时,从中任取1件,如果检验是次品,则认为该箱产品不合格而拒收。
假设由于检验有误,I件正品被误检是次品的概率是2%,1件次品被误判是正品的概率是5%,试计算:
(1)抽取的1件产品为正品的概率:
(2)该箱产品通过验收的概率。
令A=“抽取一件产品为正品”
4="
箱中有i件次品”,i=0,1,2
B=“该箱产品通过验收”
22110—/
⑴P(A)=∑P(Ai)P(AIAr)=×
=0.9
(2)P(B)=^A)P(BIA)+P(Aif(BIA)
=0.9X0.98+0.1×
0.05=0.887
14.假设-厂家生产的仪器,以槪率0.70可以戊接出厂,以概率0.30需进-步调试,经调试后以概率0.80可以出厂,并以概率0.20定为不合格品不能出厂。
现该厂新生产了"
G≥2)台仪器(假设各台仪器的生产过程相互独立),求:
(1)全部能出厂的概率:
(2)其中恰有2件不能出厂的概率;
(3)其中至少有2件不能出厂的概率。
令4=“仪器需进一步调试”:
B=“仪器能出厂”
Λ=“仪器能直接出厂”:
AB=“仪器经调试后能出厂”
显然B=A+ABt
那么P(A)=O.3,P(BIA)=0.8
P(AB)=PA)P(BIA)=0.3×
0.8=0.24
所以P(B)=P(A)+P(AB)=0.7+0.24=0.94
令Bl=““件中恰有i件仪器能出厂”,i=0,l,…
(1)P(B"
)=(0.94)"
(2)P(Bzr2)=C;
-2(0.94)n_2(0.06)2=Cj(0.94)π^2(0.06)2
(3)P⅛BA)=I-P‰)-P(Bn)=I-C*0.06(0.94)n-'
-(0.94)”
15•进行•&
乘列独立试验,每次试验成功的概率均为/7,试求以下事件的概率:
(1)直到第r次才成功:
(2)第7■次成功之前恰失败k次:
(3)在"
次中取得r(∖≤r≤n)次成功;
(4)直到第〃次才取得r(l≤r≤n)次成功。
(1)P=P(I-P)Z
2)P=C^Pr(∖-p)k
3)P=C防(1-旷
⑷P=Cr^pr(∖-p)n-r
16.对飞机进行3次独立射击,第•次射击命中率为0.4,第二次为0.5,第三次
为0.7.击中飞机•次而飞机被击落的概率为0.2,击中飞机二次而飞机彼击落的概率
为0.6,若被击中三次,则飞机必被击落。
求射击三次飞机未被击落的概率。
令A=“恰有i次击中飞机”,,=0丄2,3
B=“飞机被击落”
显然:
P(AO)=(1-0.4)(1-0.5)(1-0.7)=0.09
P(Λ1)=0.4×
(l-0.5)×
(1-0.7)+(1-0.4)X0.5X(I-0.7)+(1—0.4)×
(1-0.5)X0.7
=0.36
P(A2)=0.4X0.5×
(1-0.7)+0.4×
(1-0.5)×
0.7+(1-0.4)×
0.5×
0.7
=0.41
P(A3)=0.4×
0.7=0.14
而P(BIA0)=O,P(BIAl)=O.2,P(BIA2)=0.6,P(BIA3)=I
所以^
3
P(B)=P(Ai)P(BIAf)=0.458JP(B)=1-P(B)=1-0.458=0.542
I-O
习题1・3解答
1.设X为随机变量,且P(X=灯=4伙=12…),则
(1)判断上而的式(是否为X的概率分布:
(2)若是,试求P(X为偶数)和P(X≥5).
令P(X=k)=pk=J-Λ=1,2,∙∙∙
(1)显然OSPk<
∖f且
OCXI丄
乞Pk=PT=I
1】Λ-lZ1~2
所以P(x=k)=^-,k=1,2,•••为一概率分布。
XX1丄1
(2)P(X为偶数科=7⅛={
⅛-ι2/1—了》
XXiX1
P(X≥5)=∑pt=∑F==-
2.设随机变量X的概率分布为P(X=灯=咯宀k=12…),且2>
0,求常数C・
3.设•次试验成功的槪率为"
(Ovpvl),不断进行重复试验,直到首次成功为止。
用随机变量X农示试验的次数,求X的槪率分布。
P(X=Ar)=Xl-P)*-1,Λ=1,2,--
4•设自动生产线在调整以后出现废品的概率为p=0.1.当生产过程中出现废品时立即进行调整,X代衣在两次调整之间生产的合格品数,试求
(1)X的概率分布:
(2)P(X≥5)o
(1)P(X=A;
)=(I-P)*/7=(0.9)A×
0.1Λ=0J,2√∙・
X∞
(2)P(X25)=工P(X=灯=工(0»
xO」=(0.9)5
A:
-5妇5
5.•张考卷上有5道选择题,每道题列出4个可能答案,其中有1个答案是正确的。
求某学生靠猜测能答对至少4道题的概率是多少?
因为学生靠猜测答对每道题的概率为P=-,所以这是一个n=5.p=-44
的独立重复试验。
6.为了保证设备正常匸作,需要配备适当数量的维修人员。
根据经验每台设备发生故障的槪率为0.01,各台设备匸作情况相互独立。
(1)若由1人负资维修20台设备,求设备发生故障后不能及时维修的概率:
(2)设有设备100台,1台发生故障由1人处理,问至少需配备多少维修人员,才能保证设备发生故障而不能及时维修的槪率不超过0.01?
(1)1-(O.99)20-20X0.01×
(0.99)19≈0.0175(按PoiSSon(泊松)分布近似)
(2)
U=100,n∕?
=I(X)XO.01=I=A(按POiSSon(泊松)分布近似)
P(XnN+1)=XC^(0.01)"
(0.99),0ft∙*«
査表得N=4
7.设随机变量X服从参数为几的POiSSon(泊松)分布,且P(X=O)=I,求
(1)2;
(2)P(X>
1).
2°
解;
•・・P(X=O)=—不人=一,.∙.Λ=In2
0!
2
P(X>
1)=1-P(X≤1)=1-[P(X=0)+P(X=1)]
设书籍上每页的印刷错谋的个数X服从PoiSSon(泊松)分布。
经统计发现在某本书上,有•个印刷错误与有两个印刷错误的页数相同,求任总检验4页,每页上都没有印刷错误的概率。
彳122
VP(X=D=P(X=2),即〒=2
.P(X=O)=尸
.∖P=(e'
2)4=e~s
9.在长度为的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数服从参数为的
POiSSon分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计),求
(1)某•天从中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率:
(2)某一天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的槪率:
9.在长度为,的时间间隔内,某急救中心收到紧急呼救的次数X服从参数为与的
POiSSon(泊松)分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)•求
(2)某•天从中午12时至下午5时收到1次紧急呼救的槪率:
(1)t=
=3,A=-
P(X=O)=门
(2)r=
=5,λ=-
5
P(Xnl)=I-P(X=O)=I-门
10.己知X的槪率分布为:
-2
-1
1
2a
3d
a
试求
(1)
(2)Y=Xl-1的槪率分布。
(1)・.•2α+丄+3“+a+α+2α=1
10
Cl=—o
IL设连续型随机变量X的概率密度曲线如图
图1.3.8
1文档来源"
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—XH—9X∈|—1,0)
(2)f(χ)=
22
—XH—9X∈[0,3)62