-立体几何全国卷高考真题.docx
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2015-2017立体几何高考真题
1、（2015年1卷6题）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:
“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。
问:
积及为米几何?
”其意思为:
“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?
”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（）
（A）14斛（B）22斛（C）36斛（D）66斛
【答案】B
【解析】设圆锥底面半径为r，则=，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为÷1.62≈22，故选B.
考点：
圆锥的性质与圆锥的体积公式
2、（2015年1卷11题）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20，则r=（）
（A）1（B）2（C）4（D）8
【答案】B
【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r，圆柱的高为2r，其表面积为==16+20，解得r=2，故选B.
考点：
简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式
3、（2015年1卷18题）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC.
（Ⅰ）证明：
平面AEC⊥平面AFC；
（Ⅱ）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1易证EG⊥AC，通过计算可证EG⊥FG，根据线面垂直判定定理可知EG⊥平面AFC，由面面垂直判定定理知平面AFC⊥平面AEC；（Ⅱ）以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，利用向量法可求出异面直线AE与CF所成角的余弦值.
试题解析：
（Ⅰ）连接BD，设BD∩AC=G，连接EG，FG，EF，在菱形ABCD中，不妨设GB=1，由∠ABC=120°，可得AG=GC=.
由BE⊥平面ABCD，AB=BC可知，AE=EC，
又∵AE⊥EC，∴EG=，EG⊥AC，
在Rt△EBG中，可得BE=，故DF=.
在Rt△FDG中，可得FG=.
在直角梯形BDFE中，由BD=2，BE=，DF=可得EF=，
∴，∴EG⊥FG，
∵AC∩FG=G，∴EG⊥平面AFC，
∵EG面AEC，∴平面AFC⊥平面AEC.
（Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以的方向为轴，y轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系G-xyz，由（Ⅰ）可得A（0，－，0），E（1,0,），F（－1,0，），C（0，，0），∴=（1，，），=（-1，-，）.…10分
故.
所以直线AE与CF所成的角的余弦值为.
考点：
空间垂直判定与性质；异面直线所成角的计算；空间想象能力，推理论证能力
4、（2015年2卷6题）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）
A．B．C．D．
【解析】由三视图得，在正方体中，截去四面体，如图所示，，设正方体棱长为，则，故剩余几何体体积为，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为，故选D．
考点：
三视图．
5、（2015年2卷9题）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（）
A．36πB．64πC．144πD．256π
【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球的半径为，此时，故，则球的表面积为，故选C．
考点：
外接球表面积和椎体的体积．
6、（2015年2卷19题）（本题满分12分）如图，长方体中,，，，点，分别在，上，．过点，的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．
D
D1
C1
A1
E
F
A
B
C
B1
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．
【解析】（Ⅰ）交线围成的正方形如图：
（Ⅱ）作，垂足为，则，，因为为正方形，所以．于是，所以．以为坐标原点，的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取．又，故．所以直线与平面所成角的正弦值为．
考点：
1、直线和平面平行的性质；2、直线和平面所成的角．
7、（2016年1卷6题）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是
（A）（B）（C）（D）
【解析】
试题分析：
该几何体直观图如图所示：
是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A．
考点：
三视图及球的表面积与体积
8、（2016年1卷11题）平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为
（A）（B）（C）（D）
试题分析：
如图,设平面平面=,平面平面=,因为平面,所以,则所成的角等于所成的角.延长,过作,连接,则为,同理为,而,则所成的角即为所成的角,即为,故所成角的正弦值为,选A.
考点：
平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角.
【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：
平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补.
9、（2016年1卷18题）如图,在以A,B,C,D,E,F为顶点的五面体中,面ABEF为正方形,AF=2FD,,且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．
（I）证明：
平面ABEF平面EFDC；
（II）求二面角E-BC-A的余弦值．
试题解析：
（I）由已知可得,,所以平面．
又平面,故平面平面．
（II）过作,垂足为,由（I）知平面．
以为坐标原点,的方向为轴正方向,为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系．
由（I）知为二面角的平面角,故,则,,可得,,,．
由已知,,所以平面．
又平面平面,故,．
由,可得平面,所以为二面角的平面角,
．从而可得．
所以,,,．
设是平面的法向量,则
即,
所以可取．
设是平面的法向量,则,
同理可取．则．
故二面角的余弦值为．
考点：
垂直问题的证明及空间向量的应用
【名师点睛】立体几何解答题第一问通常考查线面位置关系的证明,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.第二问一般考查角度问题,多用空间向量解决.
10、（2016年2卷6题）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为
（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π
解析：
几何体是圆锥与圆柱的组合体，
设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．
由图得，，由勾股定理得：
，
，
故选C．
11、（2016年2卷14题），是两个平面，m，n是两条线，有下列四个命题：
①如果，，，那么．
②如果，，那么．
③如果，，那么．
④如果，，那么m与所成的角和n与所成的角相等．
其中正确的命题有 .（填写所有正确命题的编号）
【解析】②③④
12（2016年2卷19题）（本小题满分12分）
如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，，，点E，F分别在AD，CD上，，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△的位置.
（I）证明：
平面ABCD；
（II）求二面角的正弦值.
【解析】⑴证明：
∵，∴，∴．
∵四边形为菱形，∴，∴，∴，
∴．∵，∴；又，，
∴，∴，∴，∴，
∴．又∵，∴面．
⑵建立如图坐标系．
，，，，
，，，
设面法向量，
由得，取，
∴．同理可得面的法向量，
∴，∴．
13、（2016年3卷9题）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
（A）（B）（C）90（D）81
【答案】B
考点：
空间几何体的三视图及表面积．
【技巧点拨】求解多面体的表面积及体积问题，关键是找到其中的特征图形，如棱柱中的矩形，棱锥中的直角三角形，棱台中的直角梯形等，通过这些图形，找到几何元素间的关系，建立未知量与已知量间的关系，进行求解．
14、（2016年3卷10题）在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，，，，则的最大值是（）
（A）4π（B） （C）6π（D）
【答案】B
试题分析：
要使球的体积最大，必须球的半径最大．由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．
考点：
1、三棱柱的内切球；2、球的体积．
【思维拓展】立体几何是的最值问题通常有三种思考方向：
（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；
（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．
15、（2016年3卷19题）（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，地面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：
（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后通过求直线的方向向量与平面法向量的夹角来处理与平面所成角．
试题解析：
（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
设为平面的法向量，则，即，可取，
于是.
考点：
1、空间直线与平面间的平行与垂直关系；2、棱锥的体积．
【技巧点拨】
（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；
（2）求解空间中的角和距离常常可通过建立空间直角坐标系，利用空间向量中的夹角与距离来处理．
16、（2017年1卷7题）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由三视图可画出立体图
该立体图平面内只有两个相同的梯形的面
故选B
17、（2017年1卷16题）如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的等边三角形的中心为，、、为元上的点，，，分别是一，，为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以，，为折痕折起，，，使得，，重合，得到三棱锥．当的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：
）的最大值为_______．
【答案】
【解析】由题，连接，交与点，由题，
，即的长度与的长度或成正比
设，则，
三棱锥的高
则
令，，
令，即，
则
则
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