数学建模病人候诊问题.docx
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数学建模病人候诊问题
2013年浙江理工大学数学建模竞赛封面
题目：
A（√）B（在相应的题号上打钩）
姓名年级（注1）专业手机号
（注1）：
须注明本科生或研究生及年级
浙江理工大学理学院数学建模实践基地
二零一三年三月
精选文库
病人候诊问题
摘要
本文针对病人候诊问题，通过采用服从泊松分布的病人到达率和服从负指数分布的看病时间，建立病人候诊单服务台的排队模型，来分析诊所的工作状态。
针对问题一，我们假设病人到达率服从泊松分布，病人的看病时间服从负指数分布，诊所容量无限，引入排队论原理和“生灭过程”状态方程表达出病人排队看病过程，编写LINGO程序来运算得到该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率，以及排队队长。
同时通过模型分析，给出了最优服务率（即病人看病时间）的求解方程式。
针对问题二，我们在问题一的基础上将模型进行推广，在问题一的基础上限制诊所的容量，通过计算得出了诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率，以及排队队长的表达式，将数据代入得到最后的结论。
编写LINGO程序方便求解。
得出最优服务率的方程式。
关键字：
泊松分布，负指数分布，容量，排队论，生灭过程，LINGO，最优服务率。
一、问题的提出
—1
精选文库
某私人诊所只有一位医生，已知来看病的病人和该医生的诊病时间都是随机的，若病人的到达服从泊松分布且每小时有4位病人到来，看病时间服从负指数分布，平均每个病人需要12分钟。
试分析该诊所的工作状况，即求出该诊所内排队候诊病人的数学期望，病人每看一次病平均所花费的时间、医生空闲的概率等。
二、模型的准备
本题是单服务台的排队模型，排队是日常生活中常见的一种现象，其特点
是：
在一个排队服务系统中包含有一个或多个“服务设施”，有许多需要进入服
务系统的“被服务者”或“顾客”，当被服务者进入系统后不能立即得到服务，
也就出现排队现象。
由于“被服务者”到达服务系统的时间不确定，是随即的，
所以排队论又称为“随即服务系统理论”，因此，排队论在实际中有着广泛的应
用。
如：
病人候诊，顾客到商店购物，轮船入港，机器等待修理。
排队论主要研
究的内容是性态问题，最优化问题和排队系统的统计推断。
排队论中的排队系统由下列三部分组成：
（1）输入过程，即顾客来到服务台的概率分布。
在输入过程中要弄清顾客按怎样的规律到达。
（2）排队规则，即顾客排队和等待的规则，排队规则一般有即时制和等待
制两种。
所谓即时制就是当服务台被占用时顾客便随即离去；等待制就是当服务
台被占用时顾客便排队等待服务。
等待制服务的次序规则有先到先服务，随机服
务，有优先权的先服务等。
（3）服务机构，其主要特征为服务台的数目，服务时间的分布。
服务机构可以是没有服务员的，也可以是一个或多个服务员；可以对单独顾客进行服务，
也可以对成批顾客进行服务。
和输入过程一样，多数的服务时间都是随机的，但通常假定服务时间的分布是平稳的。
排队论主要是研究排队系统运行的效率，估计服务质量，确定系统参数的最优值，以决定系统结构是否合理、研究设计改进措施。
因此，研究排队问题，首先要确定用以判断系统运行优劣的基本量化指标，然后求出这些指标的概率分
布和数学特征。
要研究的系统运行指标主要有：
（1）队长指在系统中的顾客数，期望值记作LS；
（2）排队长（队列长）指在系统中等待服务的顾客数，其期望值记作Lq，
即LS=Lq+Ln，其中Ln为正在接受服务的顾客数；
（3）逗留时间指一个顾客在系统中的停留时间，其期望值记作WS；
（4）等待时间指一个顾客在系统中排对等待的时间，其期望值记作Wq，
即WS=Wq+α，其中α为服务时间；
（5）忙期服务机构连续工作的时间长度，记作Tb；
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精选文库
（6）损失率由于系统的条件限制，使顾客被拒绝服务而使服务部门受到
损失的概率，用Plost表示；
（7）服务强度绝对通过能力A，表示单位时间内被服务完顾客的均值，或称为平均服务率；相对通过能力Q，表示单位时间内被服务完的顾客数与请求服务的顾客数之比值。
要解决这里的病人候诊问题，只要分析排队论中最简单的单服务台排队问
题即可。
所谓单服务台是指服务机构由一个服务员组成，对顾客进行单独的服务。
下面通过对这类问题的分析和讨论来解决病人候诊问题。
三、模型假设
（1）顾客源无限，顾客单个到来且相互独立，顾客流平稳，不考虑出现高峰期和空闲期的可能性。
（2）排队方式为单一队列的等待制，先到先服务。
队长没有限制。
（3）顾客流满足参数为的泊松分布，其中是单位时间到达顾客的平均
数。
（4）各顾客的服务时间服从参数为μ的负指数分布，其中表示单位时间
内能服务完的顾客的平均数。
（5）顾客到达的时间间隔和服务时间是相互独立的。
四、模型的分析与建模
确定系统在任意时刻t的状态为n的概率Pn（t）。
由假设知，当t充分小时，在[t,t+t]时间间隔内：
有一个顾客到达的概率为：
t+（t）；
没有一个顾客到达的概率为：
1－t+（t）；
有一个顾客被服务完的概率为：
μt+（t）；
没有一个顾客被服务完的概率为:
1－t+（t）;
多于一个顾客到达或被服务完离开的概率为：
（t）；
现在考虑在t+t时刻系统中有n个顾客的概率Pn（t+t），可能有四种
情况
A：
时刻t顾客数为nPn（t+t）=Pn（t）（1－t）（1－μt）
B：
时刻t顾客数为n+1Pn（t+t）=Pn1（t）（1－t）t
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C：
时刻t顾客数为n－1
Pn（t+
t）=Pn1（t）（
t）（1－
t）
D：
时刻t顾客数为n
Pn（t+
t）=Pn（t）（
t）（
t）
这是一个生灭过程，四种情况相互独立，则有Pn（t+
t）=Pn（t）（1－t
－t）+Pn1（t）
t+Pn1（t）
t+
（t），
令t
0，则得
n
t
dp
=
Pn1（t）
+
Pn1（t）－（
+
）Pn（t），
n=1,2,...
dt
当n=0时，类似有
dp
t
P0t
+
P1t.
dt
=－
于是，一般的，有
dp0（t）
p0（t）
p1（t）
dt
dpn（t）
pn1（t）
pn1（t）
（
）pn（t）
dt
n=1,2...
五、模型求解
此方程为差分微分方程，假设
t
，极限存在，于是有
dpn
t
=0，
dt
Pnt=Pn则状态平衡方程为
{
p0
p1
0
pn1
pn1
pn
0,（n1）
令=，它表示平均每单位时间内系统可以为顾客服务的时间比例，它
是刻画服务效率和服务机构利用程度的重要标志，称为服务强度。
我们的问
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题求解将在<1的条件下进行，否则系统内排队的长度将无穷增大，永远不能达到稳定状态。
由差分方程
（1），得Pn=
n
P0,
n=0,1,2,
又由概率的性质
n0Pn=1
和
<1，得
p0（
n）1
（1）1
1
n0
1
从而，
pn
n（1
）,n
0,1,2,
下面我们就可以计算出系统的一些重要运行指标。
（1）队长
n
；
Ls=n1n（1－）
=
=
1
（2）队列长
Lq=n1
n1Pn=Ls－
=
；
（3）逗留时间
逗留时间服从参数为
的负指数分布，分布函数和
分布密度分别为
FW=1－e
w
fw=（
w
和
）e
所以Ws=EW
1
=
；
（4）等待时间
等待时间=逗留时间－被服务时间，即
Wq=Ws－
1
=
由题意可得
=4
，
5，
4
，
5
从而，该诊所内平均有病人人数为：
Ls=
=4（人）
该诊所内排队候诊病人的平均数为：
Lq=
=3.2（人）
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看一次病平均所需的时间：
Ws=
1
1（小时）
排队等候看病的平均时间：
Wq==0.8（小时）
诊所的医生空闲的概率，即诊所中没有病人的概率为：
P0
1
5
结论：
由结果可知病人平均等待的概率为0.8，病人平均等待时间0.8h，系统排队长3.2人，病人平均逗留时间为1h，系统队长4人。
六、模型推广
在刚刚的建模中，我们考虑的是顾客源为无限的情形。
在实际情况下，我们常考虑系统容量有限的模型（记之为模型）。
这类模型，可以在模型假设中将原
模型假设中的假设1中“认为顾客源无限”改为“认为排队系统的容量为N，即排队等待的顾客最多为N－1，在某时刻一顾客到达时，如系统中已有N个顾客，那么这个顾客就被拒绝进入系统”，其他假设一样。
p
'（t）
p
（t）
p（t）
0
0
1
pn'（t）
pn1（t）
pn1（t）
（
）pn（t）,n
1,2,
N1
当n=N时，由同样的方法得：
pN'（t）
pN1（t）
pN（t）
在稳态情况下，令
，得
p1
p0
pn1
pn1（1
）pn,n1,2,
N
1
pN
pN1
p0
p1
pN
1
1
N
1
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