湖北省部分重点中学联考学年高二上学期期中数学试.docx
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湖北省部分重点中学联考学年高二上学期期中数学试
2018-2018学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（5×12=60分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
2．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（ ）
A．40B．30C．20D．12
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？
5．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（ ）
A．B．C．D．
6．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（ ）
A．a1＞a2B．a2＞a1
C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定
7．某人5次上班途中所花的时间（单位：
分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．两条异面直线a，b所成的角是60°，A为空间一定点，则过点A作一条与直线a，b均成60°的直线，这样的直线能作几条（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条
9．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②④C．③④D．②③④
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：
①异面直线C1P与CB1所成的角为定值；
②二面角P﹣BC1﹣D的大小为定值；
③三棱锥D﹣BPC1的体积为定值；
其中真命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
11．下列表格所示的五个散点，原本数据完整，且利用最小二乘法求得这五个散点的线性回归直线方程为=0.8x﹣155，后因某未知原因第5组数据的y值模糊不清，此位置数据记为m（如表所示），则利用回归方程可求得实数m的值为（ ）
x
196
197
200
218
218
y
1
3
6
7
m
A．8.3B．8.2C．8.1D．8
12．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与CC1所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（5×4=20分）
13．已知A表示点，a，b，c表示直线，M，N表示平面，给出以下命题：
①a⊥M，若M⊥N，则a∥N
②a⊥M，若b∥M，c∥a，则a⊥b，c⊥b
③a⊥M，b⊄M，若b∥M，则b⊥a
④a⊂β，b∩β=A，c为b在β内的射影，若a⊥c，则a⊥b．
其中命题成立的是 ．
14．执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为 ．
15．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是 ．
16．甲、乙两艘轮船都要停靠在同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达．甲、乙两船停靠泊位的时间分别为4小时与2小时，则有一艘船停靠泊位时必需等待一段时间的概率为 ．
三、解答题（10+12×5=70分）
17．某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：
小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．
（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；
（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．
18．已知：
四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PA⊥底面ABCD，E、F分别为AB、PD的中点，PA=a，∠PDA=45°
（1）求证：
AF∥平面PCE；
（2）求证：
平面PCE⊥平面PCD；
（3）求点D到平面PCE的距离．
19．某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：
[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．
（1）求图中a的值；
（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；
（3）若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x）与数学成绩相应分数段的人数（y）之比如表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数．
分数段
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
x：
y
1：
1
2：
1
3：
4
4：
5
20．已知四棱锥P﹣GBCD中（如图），PG⊥平面GBCD，GD∥BC，GD=BC，且BG⊥GC，GB=GC=2，E是BC的中点，PG=4
（Ⅰ）求异面直线GE与PC所成角的余弦值；
（Ⅱ）若F点是棱PC上一点，且DF⊥GC，PF：
FC=k，求k的值．
21．等边三角形ABC的边长为2沿平行于BC的线段PQ折起，使平面APQ⊥平面PBCQ，设点A到直线PQ的距离为x，AB的长为d．
（Ⅰ）x为何值时，d2取得最小值，最小值是多少；
（Ⅱ）若∠BAC=θ，求cosθ的最小值．
22．如图，在三棱锥D﹣ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC=a，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC．
（1）求三棱锥D﹣ABC的表面积；
（2）求证AC⊥平面DEF；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？
若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由．
2018-2018学年湖北省部分重点中学联考高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（5×12=60分）
1．下列命题正确的是（ ）
A．经过三点确定一个平面
B．经过一条直线和一个点确定一个平面
C．四边形确定一个平面
D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】根据公理2以及推论判断A、B、D，再根据空间四边形判断C．
【解答】解：
A、根据公理2知，必须是不共线的三点确定一个平面，故A不对；
B、根据一条直线和直线外的一点确定一个平面知，故B不对；
C、比如空间四边形则不是平面图形，故C不对；
D、两两相交且不共点的三条直线，则三个交点不共线，故它们确定一个平面，由公理1知三条直线都在此平面内，故D正确．
故选D．
2．为了了解1200名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为30的样本，考虑采用系统抽样，则分段的间隔（抽样距）K为（ ）
A．40B．30C．20D．12
【考点】系统抽样方法．
【分析】系统抽样中，分段的间隔（抽样距）=
【解答】解：
抽样距==40．
故选A
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题
①α∥β=l⊥m；
②α⊥β⇒l∥m；
③l∥m⇒α⊥β；
④l⊥m⇒α∥β．
其中正确命题的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①③D．②④
【考点】平面与平面之间的位置关系．
【分析】由两平行平面中的一个和直线垂直，另一个也和平面垂直得直线l⊥平面β，再利用面面垂直的判定可得①为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，故②为假命题；
由两平行线中的一条和平面垂直，另一条也和平面垂直得直线m⊥平面α，再利用面面垂直的判定可得③为真命题；
当直线与平面都和同一平面垂直时，直线与平面可以平行，也可以在平面内，如果直线m在平面α内，则有α和β相交于m，故④为假命题．
【解答】解：
l⊥平面α且α∥β可以得到直线l⊥平面β，又由直线m⊂平面β，所以有l⊥m；即①为真命题；
因为直线l⊥平面α且α⊥β可得直线l平行与平面β或在平面β内，又由直线m⊂平面β，所以l与m，可以平行，相交，异面；故②为假命题；
因为直线l⊥平面α且l∥m可得直线m⊥平面α，又由直线m⊂平面β可得α⊥β；即③为真命题；
由直线l⊥平面α以及l⊥m可得直线m平行与平面α或在平面α内，又由直线m⊂平面β得α与β可以平行也可以相交，即④为假命题．
所以真命题为①③．
故选C．
4．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为（ ）
A．k＞4？
B．k＞5？
C．k＞6？
D．k＞7？
【考点】程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输入S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：
程序在运行过程中各变量值变化如下表：
KS是否继续循环
循环前11/
第一圈24是
第二圈311是
第三圈426是
第四圈557否
故退出循环的条件应为k＞4
故答案选A．
5．有5根细木棍，长度分别为1、3、5、7、9（cm），从中任取三根，能搭成三角形的概率为（（ ）
A．B．C．D．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】由组合数公式可得从5根木棒中任取3根的情况数目，由三角形的三边关系分析可得取出的三根可以搭成三角形的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．
【解答】解：
根据题意，从5根木棒中任取3根，有C53=10种情况，
其中能构撘成三角形的有3、5、7，3、7、9，5、7、9，共3种情况，
则能搭成三角形的概率为；
故选D．
6．如图是歌手大奖赛中，七位评委为甲，乙两名选手打出的分数的茎叶图（其中m为数字0﹣9中的一个），去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则一定有（ ）
A．a1＞a2B．a2＞a1
C．a1=a2D．a1，a2的大小不确定
【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．
【分析】由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，根据样本平均数的计算公式，代入数据可以求得甲和乙的平均分，把两个平均分进行比较，得到结果．
【解答】解：
由题意知去掉一个最高分和一个最低分以后，两组数据都有五个数据，
代入数据可以求得甲和乙的平均分
，
，
∴a2＞a1
故选B．
7．某人5次上班途中所花的时间（单位：
分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】极差、方差与标准差．
【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．
【解答】解：
由题意这组数据的平均数为10，方差为
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