求极限的方法及例题总结Word下载.docx
《求极限的方法及例题总结Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《求极限的方法及例题总结Word下载.docx（19页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
2
x
例1
x1
（
1）
22
3
1）（
12）
4
1（x
x1（x1）（3x
。
解：
原式=
注：
本题也可以用洛比达法则。
例2
n（
n2
n
n[（n
2）
（n
1）]
分子分母同除以
lim（
1）n
3n
例3n
2n
上下同除以3n
）n
n
（2）n1
原式3。
3．两个重要极限
sinx
（1）x
lim（1
1）x
e
x）x
（2）x
；
不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，
sin3x
1lim（12x）2x
elim（1
3）3
例如：
x0
，x0
，x
等等。
利用两个重要极限求极限
lim1
cosx
例5x0
3x2
2sin
2x
2sin2
6
x0
）
12（
3sinx）x
例6x0
6sinx
lim（13sinx）3sinx
lim[（13sinx）3sinx]
原式=x
例7n
原式=。
n1
3）
lim[（1
3）3]
4．等价无穷小
定理2无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是
xe6
0）。
定理3
当x
0时，下列函数都是无穷小（即极限是
0），且相互等价，即有：
x～sinx～tanx～arcsinx～arctanx～ln（1
x）～ex
当上面每个函数中的自变量
x换成g（x）时（g（x）
0），仍有上面的等价
关系成立，例如：
0时，e3x1
～3x
ln（1x2）
～
x2
定理4
如果函数f（x）,g（x）,f1（x）,g1（x）都是x
x0时的无穷小，且
f1
（x）
f（x）
f1（x）
，
g（x）
g1（x）
，则当
xx0g1
存在时，
xx0g（x）
也存在且等于
f
1（x）
1（x）
（x）
，即
xx0g（x）
=
利用等价无穷小代换（定理4）求极限
xln（1
3x）
arctan（x2）
例9
0时，ln（1
3x）～3x，arctan（x2）～x2
x3x
x2
ex
esinx
例10x0xsinx
esinx（ex
limesinx（x
sinx）
下面的解法是错误的：
（ex
（esinx
x0x
sinx。
正如下面例题解法错误一样：
limtanx
limx
tan（x2sin
例11
0时，x2
sin1是无穷小，
tan（x2sin1）与x2
sin1等价
x，
x2sin1
limxsin
所以，
（最后一步用到定理2）
五、利用无穷小的性质求极限
有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小乘积是无穷小。
用等价无穷小替换求极限常常行之有效。
xsinx
limsinsin（x1）
例1.
2.
lnx
5．洛比达法则
定理5假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时，函数f（x）和g（x）满
足：
（1）f（x）和g（x）的极限都是0或都是无穷大；
（2）f（x）和g（x）都可导，且g（x）的导数不为0；
g（x）存在（或是无穷大）；
limf（x）
则极限
g（x）也一定存在，且等于
g（x），即
g（x）=
g（x）。
定理5称为洛比达法则，用该法则求极限时，应注意条件是否满足，只要
有一条不满足，洛比达法则就不能应用。
特别要注意条件（
1）是否满足，即验
证所求极限是否为“0”型或“”型；
条件
（2）一般都满足，而条件（3）
则在求导完毕后可以知道是否满足。
另外，洛比达法则可以连续使用，但每次使用之前都需要注意条件。
利用洛比达法则求极限
当所求极限中的函数比较复杂时，也可能用到前面的重要极限、等价无穷小代换等方法。
同时，洛比达法则还可以连续使用。
例12
（例4）
6x
6。
（最后一步用到了重要极限）
原式=x0
cos
例13
sin
例14
x3
cosxlimsinx
3x2
=x06x
（连续用洛比达法则，最后用重要极限）
xcosx
x2sinx
例15
原式
（cosxxsinx）
lim[11]
例18x0xln（1x）
lim[1
1]
错误解法：
正确解法：
原式lim
ln（1x）
ln（1
x）
1x
2x
2x（1
应该注意，洛比达法则并不是总可以用，如下例。
x2sinx
例19x3xcosx
易见：
该极限是“0”型，但用洛比达法则后得到：
限
不存在，而原来极限却是存在的。
正确做法如下：
2cosx
sinx，此极
2sinx
xcosx
原式=x（分子、分母同时除以x）
=3（利用定理1和定理2）
6．连续性
定理6一切连续函数在其定义去间内的点处都连续，即如果
x0是函数f（x）的
f（x）f（x0）
定义去间内的一点，则有
xx0
利用函数的连续性（定理
6）求极限
x2ex
例4x2
因为
x02
是函数
2ex
的一个连续点，
所以
原式=22e2
4e
7．极限存在准则
定理7（准则1）单调有界数列必有极限。
四、利用单调有界准则求极限
首先常用数学归纳法讨论数列的单调性和有界性，再求解方程可求出极限。
设a
0，x1a,x2aaax1,,xn1axn（n1,2,）
limxn
求极限n
定理8（准则2）已知{xn},{yn},{zn}为三个数列，且满足：
（1）ynxnzn
（n
1,2,3,）
limyna
limzna
（2）n
，n
a
则极限n
一定存在，且极限值也是
a，即n
10.夹逼定理
利用极限存在准则求极限
例20已知x1
2,xn12xn,（n1,2,）
，求n
易证：
数列{xn}
存在，
单调递增，且有界（0<
xn<
2），由准则1极限n
xn12xn两边求极限，得：
设n
对已知的递推公式
a2
a，解得：
a
2或a
1（不合题意，舍去）
xn2
所以n
例21
n2
易见：
n2
n21
因为n
所以由准则
2得：
9.洛必达法则与等价无穷小替换结合法
对于一些函数求极限问题，洛必达法则和等价无穷小结合御用，往往能化简运算，收到奇效。
11.泰勒展开法
12.利用定积分的定义求极限法
积分本质上是和式的极限，所以一些和式的极限问题可以转化为求定积分的问题。
8.利用复合函数求极限
十、利用级数收敛的必要条件求极限
un
limun
级数收敛的必要条件是：
若级数n1
收敛，则n
，故对某些极限
f（n）
的一般项，只须证明此技术收敛，便
，可将函数f（n）作为级数n1
limf（n）
有n
n!
例
十一、利用幂级数的和函数求极限
当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和，此时常可以辅助性的构造一个函数项级数（通常为幂级数，有时为Fourier级数）。
使得要求的极限恰好是该函数项级数的和函数在某点的值。
求n
32
7等比等差数列公式应用（对付数列极限）
（q绝对值符号要小于
8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）
可以使用待定系数法来拆分化简函数
9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存
在的
升级会员 