初二讲义角平分线的判定与性质Word格式.docx
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求证:
PA=PB.
证明:
∵PA⊥OM,PB⊥ON
∴∠PAO=∠PBO=90°
∵OC平分∠MON
∴∠1=∠2
在△PAO和△PBO中,
∴△PAO≌△PBO
∴PA=PB
几何表达:
(角的平分线上的点到角的两边的距离相等)
∵OP平分∠MON(∠1=∠2),PA⊥OM,PB⊥ON,
∴PA=PB.
2角平分线的判定:
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
推导:
点P是∠MON内一点,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,且PA=PB.
点P在∠MON的平分线上.
连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中,
∴Rt△PAO≌Rt△PBO(HL)
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上.
(到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.)
∵PA⊥OM,PB⊥ON,PA=PB
∴∠1=∠2(OP平分∠MON)
【经典例题】
例1.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°
,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于E,F在AC上BD=DF,
CF=EB
例2.已知:
如图,AD、BE是△ABC的两条角平分线,AD、BE相交于O点
O在∠C的平分线上
例3.如图AB∥CD,∠B=90°
,E是BC的中点。
DE平分∠ADC,
AE平分∠DAB。
例4.已知:
如图,在ΔABC中,AD是△ABC的角平分线,E、F分别是AB、AC上一点,并且有
∠EDF+∠EAF=180°
.试判断DE和DF的大小关系并说明理由.
【经典练习】
1如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交于点O,OB=OC,求证∠BAO=∠CAO
2.如图,OC是∠AOB的角平分线,P是OC上一点,PD⊥OA交于点D,PE⊥OB交于点E,F是OC上除点P、O外一点,连结DF、EF,则DF与EF的关系如何?
证明你的结论。
3.如图,在CD上求作一点P,使它到OA,OB的距离相等(写出作法)。
4.要将如图中的∠MON平分,小梅设计了如下方案:
在射线OM,ON上分别取OA=OB,过A作DA⊥OM于A,交ON于D,过B作EB⊥ON于B交OM于E,AD,EB交于点C,过O,C作射线OC即为MON的平分线,试说明这样做的理由.
5.如图△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE、DF分别垂直AB、AC,垂足为E、F,求证:
EB=FC
6.如图,在△ABC中,AD为∠BAC的平分线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,△ABC面积是28
,AB=8cm,AC=6cm,求DE的长.
7、已知:
如图,∠B=∠C=90°
,M是BC的中点,DM平分∠ADC.
(1)求证:
AM平分∠DAB;
(2)猜想AM与DM的位置关系如何?
并证明你的结论.
【巩固练习】
基础训练题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°
,BD是∠ABC的平分线,
交AC于点D,若CD=n,AB=m,则△ABD的面积是()
A.m+nB.
mnC.
D.
2.如图,已知AC平分∠PAQ,点B,B′分别在边AP,AQ上,如果添加一个条件,即可推出AB=AB′,那么该条件不可以是()
A、BB′⊥ACB、BC=B′CC、∠ACB=∠ACB′D、∠ABC=∠AB′C
3、如图,FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,下列条件:
①OF是∠AOB的平分线;
②DF=EF;
③DO=EO;
④∠OFD=∠OFE。
其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,在ΔABC中,,
分别是AB、AC上的点,
EF=5cm,BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线,
且PD⊥BC于D,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,已知PD=4cm
则ΔPEF的周长是___________cm.
5.如图(7):
AC⊥BC,BM平分∠ABC且交AC于点M,N是AB的中点且BN=BC。
(1)MN平分∠AMB,
(2)∠A=∠CBM。
6.如图:
在△ABC中,∠B,∠C相邻的外角的平分线交于点D。
点D在∠A的平分线上。
7.如图8、AB=CD,△PCD的面积等于△PAB的面积,求证:
OP平分∠BOD。
8.如图9、在△ABC中,∠B=60°
,△ABC的角平分线AD、CE交于点O,求证:
AE+CD=AC。
能力提高题
1.已知:
如图,∠C=2∠B,∠1=∠2,求证:
AB=AC+CD。
2.已知,如图2,∠1=∠2,P为BN上一点,且PD⊥BC于D,AB+BC=2BD,
∠BAP+∠BCP=180°
。
3、如图,已知∠CAD=∠CDA,AC=BD,E在BC上,DE=EC,求证:
AD平分∠BAE
A
BDEC
(提示:
延长AE到P,使得EP=AE,连接CP,证三角形ABD与PAC全等)
4.如图,已知AB∥CD,O是∠ACD,∠CAB的平分线的交点,且OE⊥AC于E点,OE=12,求AB与CD之间的距离
AB
E
O
CD
5.如图,已知BE⊥AC于E,CF⊥AB于F,BE、CF相交于点D,若BD=CD.求证:
AD平分∠BAC.
课后作业
1.如图,在RtΔABC中,∠C=90°
,BD是∠ABC的平分线,交AC于D,若CD=n,AB=m,则ΔABD的面积是()
A.
B.
C.mnD.2mn
2.如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA于C,PD⊥OB于D,则PC与PD的关系是(
)
A.PC>PD
B.PC=PD
C.PC<PD
D.不能确定
3.如图,点P是∠BAC的平分线AD上一点,PE⊥AC于点E,已知PE=3,则点P到AB的距离是
A.3
B.4
C.5
D.6
4.如图,MP⊥NP,MQ平分∠NMP,MT=MP,连结TQ,则下列不正确的是()
A.TQ=PQ.B.∠MQT=∠MQP.C.∠QTN=90°
.D.∠NQT=∠MQT.
第2题第3题第4题第5题
5.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,M为AD上任意一点,则下列结论错误的是()
A.DE=DF.B.ME=MF.C.AE=AF.D.BD=DC.
6.已知:
如图3,在RtΔABC中,∠C=90°
,沿着过点B的一条直线BE折叠ΔABC使C点恰好落在AB边的中点D处,则∠A的度数等于_____.
7.如图所示AD⊥DC,BC⊥DC,E是DC上一点,AE平分∠DAB,BE平分∠ABC,
A
B
C
D
E
AB=AD+AC。
8.已知:
如图,CD⊥AB于D,BE⊥AC于E,CD、BE交于O,∠1=∠2.
OB=OC.
9.已知:
如图9-5,OD平分∠POQ,在OP、OQ边上取OA=OB,点C在OD上,CM⊥AD于M,CN⊥BD于N.求证:
CM=CN.
F
10.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,EF是线段AD的垂直平分线,
∠CAF=∠ABD
11.已知:
如图,A、B、C、D四点在∠MON的边上,AB=CD,P为∠MON内一点,并且
△PAB的面积与△PCD的面积相等.求证:
射线OP是∠MON的平分线.