高中数学第二章概率6正态分布学案北师大版选修23Word文档下载推荐.docx
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μ＋σ）＝________.
②P（μ－2σ<
μ＋2σ）＝________.
③P（μ－3σ<
μ＋3σ）＝________.
通常服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X在区间（μ－3σ，μ＋3σ）外取值的概率只有________．
类型一 正态曲线的图像的应用
例1 如图所示是一个正态分布，试根据该图像写出正态分布的分布密度函数的解析式，求出随机变量总体均值和方差．
反思与感悟 利用图像求正态分布的分布密度函数的解析式，应抓住图像的两个实质性特点：
一是对称轴为x＝μ，二是最大值为.这两点确定以后，相应参数μ，σ便确定了，代入f（x）中便可求出相应的解析式．
跟踪训练1 设两个正态分布N（μ1，σ）（σ1>
0）和N（μ2，σ）（σ2>
0）的分布密度函数图像如图所示，则有（ ）
A．μ1<
μ2，σ1<
σ2
B．μ1<
μ2，σ1>
C．μ1>
D．μ1>
类型二 利用正态分布的对称性求概率
例2 设X～N（1,22），试求：
（1）P（－1<
3）；
（2）P（3<
5）；
（3）P（X>
5）．
引申探究
本例条件不变，若P（X>
c＋1）＝P（X<
c－1），求c的值．
反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
（1）由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故在关于直线x＝μ对称的区间上概率相等．如：
①P（X<
a）＝1－P（X>
a）；
②P（X<
μ－a）＝P（X>
μ＋a）．
（2）利用X落在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解．
跟踪训练2
（1）已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ<
4）＝0.8，则P（0<
ξ<
2）等于（ ）
A．0.6B．0.4
C．0.3D．0.2
（2）设X～N（6,1），求P（4<
类型三 正态分布的应用
例3 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N（110,202），已知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数．
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ），（μ－3σ，μ＋3σ）三个区间内的概率，在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
跟踪训练3 有一种精密零件，其尺寸X（单位：
mm）服从正态分布N（20,4）．若这批零件共有5000个，试求：
（1）这批零件中尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比；
（2）若规定尺寸在24～26mm间的零件不合格，则这批零件中不合格的零件大约有多少个？
1．某市教学质量检测，甲、乙、丙三科考试成绩的分布密度曲线如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（ ）
A．甲科总体的方差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的方差及平均数都居中
D．甲、乙、丙总体的平均数不相同
2．设随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），且二次方程x2＋4x＋ξ＝0无实数根的概率为，则μ等于（ ）
A．1B．2
C．4D．不能确定
3．已知服从正态分布N（μ，σ2）的随机变量在区间（μ－σ，μ＋σ），（μ－2σ，μ＋2σ）和（μ－3σ，μ＋3σ）内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N（90,152），则此次考试成绩在区间（60,120）内的学生大约有（ ）
A．997人B．972人
C．954人D．683人
4．设X～N，则X落在（－3.5，－0.5）内的概率是（ ）
A．95.4%B．99.7%
C．4.6%D．0.3%
5．设随机变量X～N（0,1），求P（X<
0），P（－2<
2）．
1．理解正态分布的概念和分布密度曲线的性质．
2．正态总体在某个区间内取值的概率求法
（1）熟记P（μ－σ<
μ＋σ），P（μ－2σ<
μ＋2σ），P（μ－3σ<
μ＋3σ）的值．
（2）充分利用分布密度曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点．
①分布密度曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等．
a），P（X<
μ＋a），
若b<
μ，则P（X<
μ－b）＝.
答案精析
知识梳理
知识点
1．均值 方差
2．
（1）x＝μ
（2）“胖”“瘦”（3）①68.3%
②95.4% ③99.7% 0.3%
题型探究
例1 解 从给出的分布密度曲线可知它关于直线x＝20对称，最大值是，
所以μ＝20.由＝，解得σ＝.
于是该正态分布的分布密度函数的解析式是
f（x）＝，x∈（－∞，＋∞），随机变量总体的均值是μ＝20，方差是σ2＝（）2＝2.
跟踪训练1 A [分布密度曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续曲线．当μ一定时，σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；
反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭．故选A.]
例2 解 因为X～N（1,22），
所以μ＝1，σ＝2.
3）＝P（1－2<
1＋2）
＝P（μ－σ<
μ＋σ）＝0.683.
（2）因为P（3<
5）＝P（－3<
－1），
所以P（3<
5）＝[P（－3<
5）－P（－1<
3）]
＝[P（1－4<
1＋4）－P（1－2<
1＋2）]
＝[P（μ－2σ<
μ＋2σ）－P（μ－σ<
μ＋σ）]
＝×
（0.954－0.683）≈0.136.
5）＝P（X<
－3）＝[1－P（－3<
5）]＝[1－P（1－4<
1＋4）]＝0.023.
引申探究
解 因为X服从正态分布N（1,22），所以对应的分布密度曲线关于x＝1对称．又P（X>
c－1），因此＝1，即c＝1.
跟踪训练2
（1）C
（2）解 由已知得μ＝6，σ＝1.
∵P（5<
7）＝P（μ－σ<
μ＋σ）＝0.683，
P（4<
8）＝P（μ－2σ<
μ＋2σ）＝0.954.
如图，由正态分布的对称性知，
x<
5）＝P（7<
8），
∴P（4<
5）＝[P（4<
8）－P（5<
7）]
0.271≈0.136.
例3 解 由题可知μ＝110，σ＝20，
P（X>
90）＝P（X－110>
－20）＝P（X－μ>
－σ），
∵P（X－μ<
－σ）＋P（－σ<
X－μ<
σ）＋P（X－μ>
σ）
＝2P（X－μ<
－σ）＋0.683＝1，
∴P（X－μ<
－σ）＝0.159，
∴P（X>
90）＝1－P（X－μ<
－σ）
＝1－0.159＝0.841.
∴54×
0.841≈45（人），
即及格人数约为45.
∵P（X>
130）＝P（X－110>
20）＝P（X－μ>
σ），
σ）＝0.683＋2P（X－μ>
σ）＝1，
∴P（X－μ>
σ）≈0.159，即P（X>
130）≈0.159.
0.159≈8（人），即130分以上的人数约为8.
跟踪训练3 解
（1）∵X～N（20,4），
∴μ＝20，σ＝2，∴μ－σ＝18，μ＋σ＝22，
∴尺寸在18～22mm间的零件所占的百分比大约是68.3%.
（2）∵μ－3σ＝14，μ＋3σ＝26，μ－2σ＝16，μ＋2σ＝24，
∴尺寸在14～26mm间的零件所占的百分比大约是99.7%，而尺寸在16～24mm间的零件所占的百分比大约是95.4%.
∴尺寸在24～26mm间的零件所占的百分比大约是＝2.15%.
因此尺寸在24～26mm间的零件大约有5000×
2.15%≈107（个）．
当堂训练
1．A 2.C 3.C 4.B
5．解 对称轴为X＝0，故P（X<
0）＝0.5，
P（－2<
2）＝P（0－2×
1<
0＋2×
1）＝0.954.
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