完整高中数学导数典型例题精讲详细版doc文档格式.docx
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（2）limanbn
ab（3）
（4）
can
limcliman
ca（c是常数）
bn
f（x）在x0的数（或化率或微商）
f（x0）yxx
y
f（x0
x）
f（x0）
.瞬速度：
s（t）
s
s（t
t）
s（t）
t
t0
瞬加速度：
a
v（t）
v
limv（t
v（t）.
f（x）在（a,b）的数：
f（x）
dy
df
f（x
x）f（x）.
dx
函数y
f（x）在点x0的数的几何意
f（x）在点x0的数是曲y
f（x）在P（x0,f（x0））的切的斜率
f（x0），相
的切方程是yy0
f（x0）（x
x0）.
几种常函数的数
（1）
C
0（C常数）.
（2）
（xn）'
nxn1（n
Q）.（3）
（sinx）cosx.（cosx）
（lnx）
1；
（logax）
1logae.
（5）
（ex）
ex;
（ax）axlna.
数的运算法
（1）（u
'
u
u'
vuv'
v）
.
（2）（uv）
uv
.（3）（v）
v2（v0）.
复合函数的求法
函数u
（x）在点x有数ux'
（x），函数y
f（u）在点x的点U有数
yu'
f'
（u）
，复合函数y
f（
（x））
在点x有数，且yx'
ux'
，或写作
fx'
（
（u）'
（x）.
【例题解析】
考点1导数的概念
对概念的要求：
了解导数概念的实际背景，掌握导数在一点处的定义和导数的几何意义，理解导函数的概念.
13
例1．f（x）是f（x）x2x1的导函数，则f
（1）的值是．
[考查目的]本题主要考查函数的导数和计算等基础知识和能力.
高中数学导数第1页共14页
厚德启智
心怀天下
[解答过程]Qf（x）
x22,
（1）
2
3.
故填3.
例2.设函数f（x）
集合M={x|f（x）
0},P={x|f'
（x）
0},若M
P,则实数a的取值范围是（
）
A.（-∞,1）
B.（0,1）
C.（1,+∞）
D.[1,+∞）
[考查目的]本题主要考查函数的导数和集合等基础知识的应用能力
[解答过程]由x
0,
当a>
1时,1
xa;
当a<
1时,a
1.
/
Qy
a,y/
x1x2
a120.
x1
综上可得MP时,
考点2
曲线的切线
（1）关于曲线在某一点的切线
求曲线y=f（x）在某一点P（x,y）的切线，即求出函数
y=f（x）在P
点的导数就是曲线在该点的切线的斜率.
（2）关于两曲线的公切线
若一直线同时与两曲线相切，则称该直线为两曲线的公切线
典型例题
例3.已知函数f（x）
1x31ax2
bx在区间[
11），，（1，3]内各有一个极值点．
32
（I）求a24b的最大值；
（II）当a2
4b
8
时，设函数y
f（x）在点A（1，f
（1））
处的切线为l，若l在点A处穿过函数y
f（x）的图象（即
动点在点A附近沿曲线y
f（x）运动，经过点
A时，从l
的一侧进入另一侧），求函数f（x）的表达式．
思路启迪：
用求导来求得切线斜率.
解答过程：
（I
）因为函数f（x）
x3
ax2
bx
在区间[
11），，（1，3]
内分别有一个极值点，所以
3
（x）x2
ax
在[
11），，（1，3]内分别有一个实根，
设两实根为
x1，x2（x1
x2
），则x2
x1
a2
，且0x2x1≤4．于是
4b≤4，0
4b≤16
，且当x1
1，x2
3，即a
2，b3
时等号成立．故
4b的最大值
是16．
（II）解法一：
由
b知f（x）在点（1，f
（1））处的切线l的方程是
f
（1）
f
（1）（x
1），即y
（1
b）x
1a，
因为切线l在点A（1，f（x））处空过y
f（x）的图象，
所以g（x）
f（x）
[（1
1两边附近的函数值异号，则
a]在x
x1不是g（x）的极值点．
而g（x）
1x3
1ax2
bx（1ab）x
1a，且
高中数学导数第2页共14页
g（x）x2
axb（1ab）x2
axa1（x1）（x1a）．
若1
1a
，则x
和x
a都是g（x）的极值点．
所以1
a，即a
，又由a2
8，得b
，故f（x）
x．
解法二：
同解法一得
g（x）
a]
3a
（x
1）[x2
）x
（2
a）]．
因为切线l在点
，
处穿过
的图象，所以
g（x）
在x
1两边附近的函数值异号，于是存在
m2
A（1f
（1））
m1
（m11m2）．
当m1
x1时，g（x）
0，当1x
m2时，g（x）
0；
或当m1
1时，g（x）
0，当1
m2时，g（x）
0．
设h（x）
13a
，则
x1时，h（x）
m2时，h（x）
1时，h（x）
m2时，h（x）
．
由h
（1）
0知x1是h（x）的一个极值点，则
h
（1）2
0，
所以a
2，又由a2
4b8，得b
例4.若曲线y
x4的一条切线l与直线x
4y
80垂直，则l的方程为（
A．4xy30
B．x4y50
C．4xy30
D．x4y30
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力
[解答过程]与直线x4y
80垂直的直线l为4xym
0，即y
x4在某一点的导数为
4，而y
4x3，所以y
x4在（1，
1）处导数为4，此点的切线为4xy30.
故选A.
例5．过坐标原点且与x2+y2-4x+2y+
5=0相切的直线的方程为
（）
A.y=-3x或y=1x
B.y=-3x或y=-1x
C.y=-3x或y=-1x
D.y=3x或y=1x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力
[解答过程]解法1：
设切线的方程为
kx,kxy0.
又x
5
圆心为2,
1.
2k
5,
3k2
8k
30.k
1,k
k21
1x,或y
3x.
高中数学导数第3页共14页
解法2:
由解法1知切点坐标为（1
3）,
3,1
由
（x2）2
y1
2x
2（x
2）
y1yx/
yx/
2.
k1
3,k2
3x,y
1x.
例6.已知两抛物线C1:
y
2x,C2:
a,
a取何值时C
，C
有且只有一条公切线，求出此时公切线的方程.
先对C
2:
yx2
a求导数.
1:
函数yx2
2x的导数为y'
2，曲线C1
在点P（x,x2
2x
）处的切线方程为
y（x2
2x）2（x
2）（xx），即y2（x
1）xx2
①
曲线C1在点Q（x2,
a）的切线方程是y
a）
2x2（xx2）即
2x2xx2
②
若直线l
是过点P点和Q点的公切线，则①式和②式都是
l的方程，故得
x,
x2
1，消去x
得方程，
2x1
2x11a0
若△=4
4
2（1
0，即a
1时，解得x1
1，此时点P、Q重合.
∴当时a
1，C1和C2有且只有一条公切线，由①式得公切线方程为
考点3导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数，导数是研究函数性质的重要而有力的工具，特别是对于函数的单调性，以“导数”为工具，能对其进行全面的分析，为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的
方法，进而与不等式的证明，讨论方程解的情况等问题结合起来，极大地丰富了中学数学思想方法.复习时，应高度重视以下问题:
1..求函数的解析式;
2.
求函数的值域;
3.解决单调性问题;
4.求函数的极值（最值）
;
5.构造函数证明不等式.
例7．函数f（x）的定义域为开区间
（a,b），导函数f（x）在（a,b）内的图象如图所示，则函数
f（x）在开区间（a,b）内有极小
值点（）
A．1个
B．2个
C．3个D．4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力
yf?
（x）
[解答过程]由图象可见,在区间（a,0）
内的图象上有一个极小值点.
例8.设函数f（x）2x3
3ax2
3bx
8c在x
1及x2时取得极值．
O
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若对于任意的x
[0，3]，都有f（x）
c2成立，求c的取值范围．
利用函数f（x）2x3
8c在x1及x2时取得极值构造方程组求
a、b的值．
高中数学导数第4页共14页
解答过程：
（Ⅰ）f（x）
6x2
6ax
3b，
因为函数f（x）在x1及x
2取得极值，则有
f
（1）0
，f
（2）0．
6
6a
3b
即
24
12a
解得a
3，b
4．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
2x3
9x2
12x
8c，
18x12
6（x
1）（x
2）．
当x
（01），时，f
（x）
（12），时，f
（2，3）时，f
所以，当x
1时，f（x）取得极大值
8c，又f（0）
8c，f（3）98c．
则当x
0，3
时，f（x）的最大值为f（3）
9
8c．
因为对于任意的x
，有f（x）
c
2恒成立，
所以
8c
c2，
解得
1或c
9，
因此c的取值范围为
，1）U（9，
）．
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