勾股定理的证明方法文档格式.docx
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∴∠EHA+∠GHD=90o.
又∵∠GHE=90o,
∴∠DHA=90o+90o=180o.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形,它的面积等于(a+b)^2.
∴(a+b)^2=c^2+4*(ab/2),∴a^2+b^2=c^2。
;
【证法3】
以a、b为直角边(b>
a),以c为斜边作四个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90o,
∴∠EAB+∠HAD=90o,
∴ABCD是一个边长为c的正方形,它的面积等于c^2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
{
∠HEF=90o.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形,它的面积等于(b-a)^2.
∴(b-a)^2+4*(ab/2)=c^2,∴a^2+b^2=c^2。
【证法4】
以a、b为直角边,以c为斜边作两个全等的直角三角形,则每个直角三角形的面积等于ab/2.把这两个直角三角形拼成如图所示形状,使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
$
∵∠AED+∠ADE=90o,
∴∠AED+∠BEC=90o.
∴∠DEC=180o―90o=90o.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形,
它的面积等于c^2/2.
又∵∠DAE=90o,∠EBC=90o,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形,它的面积等于(a+b)^2/2
(a+b)^2/2=2*ab/2+c^2/2,
∴a^2+b^2=c^2
【证法5】
做四个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c.把它们拼成如图那样的一个多边形,使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED,
∵∠EGF+∠GEF=90°
,
∴∠BED+∠GEF=90°
【
∴∠BEG=180o―90o=90o.
又∵AB=BE=EG=GA=c,
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90o.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90o.
即?
?
∠CBD=90o.
又∵∠BDE=90o,∠BCP=90o,
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理,HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S,则
a^2+b^2=S+2*ab/2
c^2=S+2*ab/2
∴a^2+b^2=c^2。
<
【证法6】
做两个全等的直角三角形,设它们的两条直角边长分别为a、b(b>
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形,使E、A、C三点在一条直线上.
过点Q作QP∥BC,交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ,垂足为M;
再过点
F作FN⊥PQ,垂足为N.
∵∠BCA=90o,QP∥BC,
∴∠MPC=90o,
|
∵BM⊥PQ,
∴∠BMP=90o,
∴BCPM是一个矩形,即∠MBC=90o.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90o,
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90o,
∴∠QBM=∠ABC,
又∵∠BMP=90o,∠BCA=90o,BQ=BA=c,
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
}
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】
【证法7】
做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使H、C、B三点在一条直线上,连结BF、CD.过C作CL⊥DE,交AB于点M,交DE于点L.
∵AF=AC,AB=AD,
∠FAB=∠GAD,
∴ΔFAB≌ΔGAD,
—
∵ΔFAB的面积等于a^2/2,
ΔGAD的面积等于矩形ADLM的面积的一半,
∴矩形ADLM的面积=a^2.
同理可证,矩形MLEB的面积=b^2.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
】
【证法8】
(利用相似三角形性质证明)
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中,
∵∠ADC=∠ACB=90o,
∠CAD=∠BAC,
∴?
ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB,
AC^2=AD*AB.
"
同理可证,ΔCDB∽ΔACB,从而有BC^2=BD*AB.
∴AC^2+BC^2=(AD+BD)*AB=AB^2,即?
【证法9】
a),斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC,AF交GT于F,AF交DT于R.过B作BP⊥AF,垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直,垂足为E,DE交AF于H.
∵∠BAD=90o,∠PAC=90o,
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90o,∠BCA=90o,
AD=AB=c,
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a,AH=AC=b.
由作法可知,PBCA是一个矩形,
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b,AP=a,从而PH=b―a.?
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
RtΔDHA≌RtΔBCA.
。
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a,∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90o,∠DHF=90o,
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90o,
∴DGFH是一个边长为a的正方形.?
∴GF=FH=a.TF⊥AF,TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形,上底TF=b―a,下底BP=b,高FP=a+(b―a).
用数字表示面积的编号(如图),则以c为边长的正方形的面积为
《
【证法10】
设直角三角形两直角边的长分别为a、b(b>
a),斜边的长为c.做三个边长分别为a、b、c的正方形,把它们拼成如图所示形状,使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图).
∵∠TBE=∠ABH=90o,
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90o,
BT=BE=b,
]
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90o,
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90o,
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a,
∠HGF=∠BDC=90o,
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即S7=S2.
过Q作QM⊥AG,垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90o,可知∠ABE
=∠QAM,而AB=AQ=c,所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌
RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即S8=S5.
由RtΔABE≌RtΔQAM,又得QM=AE=a,∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90o,∠BAE+∠CAR=90o,∠AQM=∠BAE,
∴∠FQM=∠CAR.
又∵?
∠QMF=∠ARC=90o,QM=AR=a,
,
∴RtΔQMF≌RtΔARC.即S4=S6.
【证法11】
(利用切割线定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.如图,以B为圆心a为半径作圆,交AB及AB的延长线分别于D、E,则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90o,点C在⊙B上,所以AC是⊙B的切线.由切割线定理,得
【证法12】
(利用多列米定理证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c(如图).过点A作AD∥CB,过点B作BD∥CA,则ACBD为矩形,矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理,圆内接四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和,有
【证法13】
(作直角三角形的内切圆证明)
在RtΔABC中,设直角边BC=a,AC=b,斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O,切点分别为D、E、F(如图),设⊙O的半径为r.
∵AE=AF,BF=BD,CD=CE,
∴AC+BC-AB=(AE+CE)+(BD+CD)-(AF-BF)
=CE+CD=r+r=2r,
【证法14】
(利用反证法证明)
如图,在RtΔABC中,设直角边AC、BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过点C作CD⊥AB,垂足是D.
【证法15】
(辛卜松证明)
此主题相关图片如下:
设直角三角形两直角边的长分别为a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.?
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分,则正方形ABCD的面积为(a+b)^2=a^2+2ab+b^2;
把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分,则正方形ABCD的面
【证法16】
a),斜边的长为c.做两个边长分别为a、b的正方形(b>
a),把它们拼成如图所示形状,使E、H、M三点在一条直线上.用数字表示面积的编号(如图).
在EH=b上截取ED=a,连结DA、DC,
则AD=c.
∵EM=EH+HM=b+a,ED=a,
∴DM=EM―ED=(b+a)―a=b.
又∵∠CMD=90o,CM=a,
∠AED=90o,AE=b,
∴RtΔAED≌RtΔDMC.
∴∠EAD=∠MDC,DC=AD=c.
∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180o,
∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90o,
∴∠ADC=90o.
∴作AB∥DC,CB∥DA,则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵∠BAF+∠FAD=∠DAE?
+∠FAD=90o,
∴∠BAF=∠DAE.
连结FB,在ΔABF和ΔADE中,
∵AB=AD=c,AE=AF=b,∠BAF=∠DAE,
∴ΔABF≌ΔADE.
∴∠AFB=∠AED=90o,BF=DE=a.
∴点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中,
∵AB=BC=c,BF=CG=a,
∴RtΔABF≌RtΔBCG.