优化设计Word文档格式.docx

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目标函数的极小化minf（x）：

约束条件：

g（x）<

等值线有以下几个特点：

（1）不同值的等值线不相交；

（2）除极值点外，在设计空间内，等值线不会中断；

（3）等值线充满整个设计空间；

（4）等值线分布的疏或密，反应出函数值变化的慢或快；

（5）一般来说，在极值点附近，等值线近似是同心椭圆族，极值点就是椭圆的中心点。

在设计空间内，目标函数值相等点的连线：

►对于二维问题，构成了等值线；

►对于三维问题，构成了等值面；

►对于四维以上的问题，则构成了等值超曲面。

约束条件

约束条件是设计变量选取的限制条件，或称设计约束。

按照约束条件的形式不同，约束有不等式和等式约束两类，一般表达式为：

约束的几何意义是它将设计空间一分为二，形成了可行域和非可行域。

不满足约束条件的设计点构成该优化问题的不可行域。

可行域也可看做满足所有约束条件的设计点的集合，因此，可用集合表示如下：

对于优化问题数学模型的求解，目前可采用的求解方法有三种：

数学解析法用数学解析法（如微分、变分法等）来求出最优解

数学解析法是优化设计的理论基础。

但它仅限于维数较少且易求导的优化问题的求解

图解法直接用作图的方法来求解优化问题，通过画出目标函数和约束函数的图形，求出最优解此法的特点是简单直观，但仅限于n≤2的低维优化问题的求解

数值迭代法完全是依赖于计算机的数值计算特点而产生的，它是具有一定逻辑结构并按一定格式反复迭代计算，逐步逼近优化问题最优解的一种方法

一维搜索方法一般分两步进行：

首先在方向

上确定一个包含函数极小点的初始区间，即确定函数的搜索区间，该区间必须是单峰区间（就是在该区间内的函数变化只有一个峰值，即函数的极小值）；

然后采用缩小区间或插值逼近的方法得到最优步长，即求出该搜索区间内的最优步长和一维极小点。

主要方法有：

分数法;

二次插值;

黄金分割法;

三次插值法

确定单峰区间常用的方法是进退试算法。

进退试算法的基本思想是：

按照一定的规律给出若干试算点，依次比较各试算点的函数值的大小，直到找到相邻三点的函数值按“高-低-高”变化的单峰区间为止。

进退试算法的运算步骤如下：

黄金分割法，又称0.618法，它是一种等比例缩短区间的直接搜索方法。

该算法的基本思路是：

通过比较单峰区间内两个插点的函数值，不断舍弃单峰区间的左端或右端一部分，使区间按照固定区间缩短率（缩小后的新区间与原区间长度之比）逐步缩短，直到极小点所在的区间缩短到给定的误差范围内，而得到近似最优解。

多维无约束优化方法有很多种，但归纳可以分为两大类：

（1）解析法

需要利用函数的一阶偏导数甚至二阶偏导数构造搜索方向，如梯度法、牛顿法和变尺度法等。

由于需要计算偏导数，故这类方法计算量大，但收敛较快。

（2）直接法

利用迭代点的函数值来构造搜索方向，如坐标轮换法、共轭梯度法和单纯形法等。

由于只需要计算函数值，对于无法求导或求导困难的函数，则这类方法就有突出的优越性，但是其收敛速度较慢。

坐标轮换法是求解多维无约束优化问题的一种直接法，它不需求函数导数而直接搜索目标函数的最优解。

该法又称降维法。

关于坐标轮换法的迭代步长，常用如下两种取法：

（1）最优步长；

（2）加速步长:

即在每一维搜索时，先选择一个初始步长，若沿该维正向第一步搜索成功（即该点函数值下降），则以倍增的步长继续沿该维向前搜索

坐标轮换法的特点是：

计算简单，概念清楚；

但搜索线路较长，计算效率低；

所以它只能用于低维（n<

10）优化问题的求解。

该法的效能在很大程度上取决于目标函数的性态，即等值线的形态与坐标轴的关系。

最优步长求解：

鲍威尔法（powell法，又称共轭方向法），它是在坐标轮换法的基础上，通过构造共轭方向，以达到快速收敛的目的。

是一种比较有效的算法。

缺点：

上述基本鲍威尔法的基本要求是，各轮迭代中的方向组的向量应该是线性无关的。

然而很不理想的是，上述方法每次迭代所产生的新方向可能出现线性相关，使搜索运算蜕化到一个较低维的空间进行，从而导致计算不能收敛而无法求得真正的极小点。

修正的鲍威尔法（优点：

可以保证非线性函数寻优计算可靠的收敛性。

）的迭代计算步骤：

梯度法就是取迭代点处的函数负梯度方向作为搜索方向，该法又称最速下降法。

梯度法的终止条件为：

梯度法的特点：

（1）算法简单；

（2）前后两次迭代方向正交，所以搜索路线是呈直角锯齿形；

（3）开始搜索时，收敛速度较快，但当靠近极小点附近，收敛速度越来越慢，这是梯度法的较大缺点。

牛顿法也是一种解析法，它是梯度法的进一步发展。

该法的搜索方向是根据目标函数的负梯度和二阶偏导数矩阵来构造的。

（缺点：

计算量大）

变尺度法是在克服了梯度法收敛慢和牛顿法计算量大的缺点基础上而发展起来的一种最有效的解析法，现已得到广泛应用。

这种算法，省去了海森矩阵的计算和求逆，使之计算量大为减少，并且还保持了牛顿法收敛快的优点。

在变尺度法中，较为常用的是DFP变尺度法和BFGS变尺度法。

DFP变尺度法

约束优化算法大致可归纳为两大类：

直接解法；

间接解法

直接解法

这类方法对于只有不等式约束的优化问题是有效的。

这类方法的基本思想是：

在约束的可行域内直接搜索出它的约束最优解。

属于这类方法的主要有：

网格法，可行方向法，复合形法等。

对于解决具有不等式约束和等式约束条件的优化问题都有效。

它的基本思想是：

将复杂的约束问题转化为一系列无约束优化问题，即按一定原则构造一个新的目标函数

，并以它的最优化解去逐步逼近原约束问题的最优解。

约束问题通过这种方法的处理，就可以采用无约束优化方法求解。

消元法、简约梯度法、惩罚函数法等。

复合形法是适用于具有不等式约束优化问题的一种直接算法。

该法的基本思路是：

在n维优化设计空间的可行域D内，构造具有k个顶点的多边形（或多面体），称作复合形。

复合形的每个顶点都代表一个设计方案。

然后，计算复合形各顶点的目标函数值并逐一进行比较，取函数值最大者为最坏点，最小者为最好点。

再以去掉最坏点的其余各点的中心点为映射轴心，在最坏点和其余各点的中心点的连线上，寻找一个既满足约束条件，又使目标函数值有所改善的坏点映射点，并以该映射点替换坏点而构成新的复合形。

按照上述步骤重复多次，不断地去掉最坏点，这样不断调整复合形的顶点，使复合形不断向最优点靠拢，最后搜索到约束优化问题的最优解。

惩罚函数法是一种用来求解约束优化问题的间接解法。

该算法的基本思想是：

将约束优化问题的数学模型改造成为无约束的数学模型，然后按无约束问题进行一系列的无约束最优化求解，直到求得原问题的最优解。

根据所构造的目标函数的形式不同，决定了搜索点是在可行域内、或在可行域外，因而该算法又分为如下三种：

内点罚函数法；

外点罚函数法；

混合罚函数法

多数情况下：

r（0）=1,c=0.1

在多目标优化方法中，较常用的方法有：

加权组合法；

功效系数法；

主要目标法等。

较为实用的加权方法有：

容限加权法；

分析加权法

有限元法的分析过程可概括如下：

1.连续体离散化2.单元分析3.整体分析4.确定约束条件5.有限元方程求解

6.结果分析与讨论

单元刚度矩阵的推导是有限元分析的基本步骤之一。

目前，建立单元刚度矩阵的方法主要有以下四种：

◊直接刚度法◊虚功原理法◊能量变分法◊加权残数法