高考理科数学周周测 6Word格式文档下载.docx

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对于C，|－λa|＝|－λ|·

|a|，由于|－λ|的值不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；

对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．

3．[2019·

长春调研]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2bcosC－2ccosB＝a，且B＝2C，则△ABC的形状是（　　）

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等边三角形

∵2bcosC－2ccosB＝a，∴2sinBcosC－2sinCcosB＝sinA＝sin（B＋C），即sinBcosC＝3cosBsinC，∴tanB＝3tanC，又B＝2C，∴＝3tanC，得tanC＝C∈（0，π），C＝，B＝2C＝，A＝，故△ABC为直角三角形．

4．[2019·

东莞模拟]已知△ABC的内角分别为A，B，C，AC＝，BC＝2，B＝60°

，则BC边上的高为（　　）

A.B.

C.D.

由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·

BCcosB，得7＝AB2＋4－4ABcos60°

，即AB2－2AB－3＝0，得AB＝3，得BC边上的高为ABsin60°

＝，故选B.

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　）

A．a＝5，b＝5，A＝50°

B．a＝3，b＝4，A＝30°

C．a＝5，b＝10，A＝30°

D．a＝12，b＝10，A＝135°

对于A，a＝5，b＝5，A＝50°

，由a＝b得，B＝A＝50°

，所以C＝80°

，故△ABC有唯一解；

对于B，a＝3，b＝4，A＝30°

，则sinB＝＝，又b>

a，所以B>

A，故B可以是锐角也可以是钝角，故△ABC有两个解；

对于C，a＝5，b＝10，A＝30°

，则sinB＝＝1，B为直角，故△ABC有唯一解；

对于D，a＝12，b＝10，A＝135°

，则sinB＝＝，在△ABC中，A＝135°

，故B为锐角，所以△ABC有唯一解．故选B.

6．[2018·

全国卷Ⅱ]在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝（　　）

A．4B.

C.D．2

A

∵cos＝，

∴cosC＝2cos2－1＝2×

2－1＝－.

在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·

BC·

cosC＝52＋12－2×

5×

1×

＝32，

∴AB＝＝4.

故选A.

7．[2019·

河南南阳一中考试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝，b＝2，sinB＋cosB＝，则A的大小为（　　）

A.或B.

C.或D.

∵sinB＋cosB＝sin＝，

∴B＋＝，B＝.由正弦定理＝得，

sinA＝＝.∵a<

b，∴A＝.

8．[2019·

广州调研]△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝，c＝4，cosB＝，则△ABC的面积等于（　　）

A．3B.

C．9D.

解法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，代入数据，得a＝3，又cosB＝，B∈（0，π），所以sinB＝，所以S△ABC＝acsinB＝，故选B.

解法二　由cosB＝，B∈（0，π），得sinB＝，由正弦定理＝及b＝，c＝4，可得sinC＝1，所以C＝，所以sinA＝cosB＝，所以S△ABC＝bcsinA＝，故选B.

9．[2019·

四川成都模拟]在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·

＝5，则△ABC的形状是（　　）

A．锐角三角形B．钝角三角形

C．直角三角形D．上述三种情况都有可能

在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点D，连接AD，OD，OG，如图所示，则OD⊥BC，GD＝AD，因为＝＋，＝（＋），·

＝5，所以（＋）·

＝·

＝－（＋）·

＝5，即－（＋）·

（－）＝5，所以2－2＝－30.又BC＝5，则||2＝||2＋||2>

||2＋||2，由余弦定理得cosC<

0，所以<

C<

π，所以△ABC是钝角三角形．

10．[2019·

资阳模拟]设e1与e2是两个不共线的向量，＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为（　　）

A．－B．－

C．－D．－

由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得＝λ.又＝3e1＋2e2，＝ke1＋e2，＝3e1－2ke2，所以＝－＝3e1－2ke2－（ke1＋e2）＝（3－k）e1－（2k＋1）e2，所以3e1＋2e2＝λ（3－k）e1－λ（2k＋1）e2，所以解得k＝－.

11．[2019·

唐山模拟]已知在平面直角坐标系xOy中，P1（3,1），P2（－1,3），P1，P2，P3三点共线且向量与向量a＝（1，－1）共线，若＝λ＋（1－λ），则λ＝（　　）

A．－3B．3

C．1D．－1

D

设＝（x，y），则由∥a知x＋y＝0，于是＝（x，－x）．若＝λ＋（1－λ），则有（x，－x）＝λ（3,1）＋（1－λ）（－1,3）＝（4λ－1,3－2λ），即所以4λ－1＋3－2λ＝0，解得λ＝－1，故选D.

12．[2019·

北京西城模拟]已知Rt△ABC中，A为直角，AB＝1，BC＝2，若AM是BC边上的高，点P在△ABC内部或边界上运动，则·

的取值范围是（　　）

A．[－1,0]B.

如图，由AB＝1，BC＝2，可得AC＝，以AB所在直线为x轴，以AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，则B（1,0），C（0，），直线BC方程为x＋＝1，则直线AM方程为y＝x，联立解得M.由图可知，当P在线段BC上时，·

有最大值为0，当P在线段AC上时，·

有最小值，设P（0，y）（0≤y≤），∴·

（－1，y）＝－＋y≥－，∴·

的取值范围是.故选D.

二、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．

13．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点．若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，则λ＋μ＝________.

选择，作为平面向量的一组基底，则＝＋，＝＋，＝＋，又＝λ＋μ＝＋，于是得解得

所以λ＋μ＝.

14．[2019·

北京师范大学附属中学模拟]设向量a＝（3，－4），向量b＝（2，x），向量c＝（2，y），若a∥b且a⊥c，则a－3b与a＋2c的夹角大小为________．

根据题意，由a∥b，得3x＝2×

（－4），解得x＝－，由a⊥c，得3×

2＋（－4）×

y＝0，解得y＝，则b＝，c＝.设a－3b与a＋2c的夹角为θ，∵a－3b＝（－3,4），a＋2c＝（7，－1），∴cosθ＝＝＝－.又∵0<

θ<

π，∴θ＝，即a－3b与a＋2c的夹角为.

15．《数学九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作．其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是“以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；

以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；

一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写出公式，即已知三角形三边分别为a，b，c则此三角形的面积为S＝.现有周长为10＋2的△ABC满足sinA：

sinB：

sinC＝2：

3：

，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为________．

6

由正弦定理及sinA：

可知，a：

b：

c＝2：

，由a＋b＋c＝10＋2，得a＝4，b＝6，c＝2，代入公式S＝可得△ABC的面积为6.

16．[2019·

山东德州模拟]在△ABC中，D为BC边上一点，AD＝2，∠DAC＝60°

.若AC＝4－CD且△ABC的面积为4，则sin∠ABC＝________.

在△ACD中，由余弦定理得CD2＝4＋（4－CD）2－4（4－CD）·

cos60°

，

解得CD＝2，故CD＝AC＝AD，所以△ACD为正三角形，∠C＝60°

所以S△ABC＝BC·

AC·

sinC＝×

BC×

2×

＝4，故BC＝8.

在△ABC中，由余弦定理得

AB＝＝2，

由三角形的面积公式，得×

8sin∠ABC＝4，

所以sin∠ABC＝＝.

三、解答题：

本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

[2017·

全国卷Ⅱ，17]△ABC的内角，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A＋C）＝8sin2.

（1）求cosB；

（2）若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.

本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用．

（1）由题设及A＋B＋C＝π得sinB＝8sin2，故sinB＝4（1－cosB）．

上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1（舍去），cosB＝.

（2）由cosB＝得sinB＝，

故S△ABC＝acsinB＝ac.

又S△ABC＝2，则ac＝.

由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝（a＋c）2－2ac（1＋cosB）＝36－2×

×

＝4.

所以b＝2.

18．（本小题满分12分）

[2019·

衡水模拟]

如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2acosA＝bcosC＋ccosB.

（1）求角A的大小；

（2）若点D在边AC上，且BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，求AD的长．

（1）由题意及正弦定理得2sinAcosA＝sinBcosC＋sinCcosB＝sin（B＋C）＝sinA.

∵sinA≠0，∴cosA＝.∵A∈（0，π），∴A＝.

（2）在△ABC中，由余弦定理得，

BC2＝AB2＋AC2－2AB·

ACcosA，即16＝4＋AC2－2AC，

解得AC＝1＋，或AC＝1－（负值，舍去）．

∵BD是∠ABC的平分线，AB＝2，BC＝4，

∴＝＝，∴AD＝AC＝.

19．（本小题满分12分）

河南南阳一中考试]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sinB（acosB＋bcosA）＝ccosB.

（1）求B；

（2）若b＝2，△ABC的面积为2，求△ABC的周长．

（1）由题意及正弦定理得

sinB（sinAcosB＋sinBcosA）＝sinCcosB，∴sinBsin（A＋B）＝sinBsinC＝sinCcosB，∵C∈（0，π），∴sinC>

0，

∴sinB＝cosB，∴tanB＝.

又∵B∈（0，π），∴B＝.

（2）∵S△ABC＝acsinB＝ac＝2，∴ac＝8.

由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos，

即12＝a2＋c2－2×

8×

＝a2＋c2－8，∴a2＋c2＝20，

∴（a＋c）2＝a2＋c2＋2ac＝36，∴a＋c＝6.

又∵b＝2，∴△ABC的周长为6＋2.

20.

（本小题满分12分）

如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb，

＝－＝－＝－a＋b.

又∵A，M，D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t.

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴消去t得m－1＝－2n，

即m＋2n＝1.①

又∵＝－＝ma＋nb－a＝a＋nb，

＝－＝b－a＝－a＋b.

又∵C，M，B三点共线，∴与共线．

∴存在实数t1，使得＝t1，

∴a＋nb＝t1，

∴消去t1得4m＋n＝1.②

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.

21．（本小题满分12分）

湖南师大附中月考]已知锐角三角形ABC的三个内角A，B，C满足sinBsinC＝（sin2B＋sin2C－sin2A）tanA.

（2）若△ABC的外接圆的圆心是O，半径是1，求·

（＋）的取值范围．

（1）由正弦定理得·

＝，即sinA＝.

又∵A是锐角，∴A＝.

（2）·

（＋）＝·

（＋－2）

＋·

－22

＝cos∠AOB＋cos∠AOC－2

＝cos2C＋cos2B－2

＝cos＋cos2B－2

＝cos2B－sin2B－2

＝cos－2.

∵△ABC是锐角三角形，∴∴<

B<

∴<

2B<

π，则<

2B＋<

∴－1≤cos（2B＋）<

－

故·

（＋）的取值范围是.

22．（本小题满分12分）

河南长葛月考]已知向量a＝（2sinx,1），b＝，函数f（x）＝a·

b，x∈R.

（1）若|a|＝，x∈（－π，0），求x的值；

（2）求f（x）在上的值域；

（3）将f（x）的图象向左平移个单位长度后得到g（x）的图象，设h（x）＝g（x－1）＋x2－2x，判断h（x）的图象是否关于直线x＝1对称，请说明理由．

（1）∵|a|＝＝，

∴sin2x＝，即sinx＝±

又∵x∈（－π，0），∴x＝－或－.

（2）由题知f（x）＝4sinxcos＋1

＝4sinx＋1

＝sin2x－2sin2x＋1

＝sin2x－（1－cos2x）＋1

＝2sin.

∵x∈，∴2x＋∈，

∴sin∈，

故f（x）在上的值域为（－1,2]．

（3）由题知g（x）＝f＝2sin＝2cos2x，

∴h（x）＝2cos（2x－2）＋（x－1）2－1.

∵h（2－x）＝2cos（2－2x）＋（1－x）2－1＝2cos（2x－2）＋（x－1）2－1＝h（x），

∴h（x）的图象关于直线x＝1对称．