届高考文科数学复习12Word格式.docx

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，

∴“x>

”的充分条件．

②

⇒x<

0或x>

2D⇒/x>

2.

”的不必要条件．

3．已知a，b∈R，则“a＝b”是“

＝

”的____________条件．

答案　必要不充分

解析　因为若a＝b<

0，则

≠

，所以充分性不成立；

反之，因为

⇔

⇔a＝b≥0，所以必要性成立，故“a＝b”是“

”的必要不充分条件．

4．（2011·

天津）设集合A＝{x∈R|x－2>

0}，B＝{x∈R|x<

0}，C＝{x∈R|x（x－2）>

0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　因为A＝{x|x－2>

0}＝{x|x>

2}＝（2，＋∞），

B＝{x|x<

0}＝（－∞，0），

所以A∪B＝（－∞，0）∪（2，＋∞），

C＝{x|x（x－2）>

0}＝{x|x<

2}

＝（－∞，0）∪（2，＋∞）．

即A∪B＝C.故“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件.

5．（2012·

天津）设φ∈R，则“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　由条件推结论和结论推条件后再判断．

若φ＝0，则f（x）＝cosx是偶函数，

但是若f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）是偶函数，

则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f（x）＝cos（x＋φ）（x∈R）为偶函数”的充分而不必要条件.

题型一　四种命题的关系及真假

例1

　已知命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是（　　）

A．否命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数，则m>

1”是真命题

B．逆命题“若m≤1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数”是假命题

C．逆否命题“若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是减函数”是真命题

D．逆否命题“若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题

思维启迪：

根据四种命题的定义判断一个原命题的逆命题、否命题、逆否命题的表达格式．当命题较简单时，可直接判断其真假，若命题本身复杂或不易直接判断时，可利用其等价命题——逆否命题进行真假判断．

答案　D

解析　命题“若函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m>

1，则函数f（x）＝ex－mx在（0，＋∞）上不是增函数”是真命题．

探究提高　

（1）熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键；

（2）根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假；

（3）认真仔细读题，必要时举特例．

命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是（　　）

A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数

B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数

C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数

D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数

解析　由于“x，y都是偶数”的否定表达是“x，y不都是偶数”，“x＋y是偶数”的否定表达是“x＋y不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x＋y不是偶数，则x，y不都是偶数”，故选C.

题型二　充要条件的判断

例2

　已知下列各组命题，其中p是q的充分必要条件的是（　　）

A．p：

m≤－2或m≥6；

q：

y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点

B．p：

＝1；

y＝f（x）是偶函数

C．p：

cosα＝cosβ；

tanα＝tanβ

D．p：

A∩B＝A；

A⊆U，B⊆U，∁UB⊆∁UA

首先要分清条件和结论，然后可以从逻辑推理、等价命题或集合的角度思考问题，做出判断．

解析　对于A，由y＝x2＋mx＋m＋3有两个不同的零点，可得Δ＝m2－4（m＋3）>

0，从而可得m<

－2或m>

6.所以p是q的必要不充分条件；

对于B，由

＝1⇒f（－x）＝f（x）⇒y＝f（x）是偶函数，但由y＝f（x）是偶函数不能推出

＝1，例如函数f（x）＝0，所以p是q的充分不必要条件；

对于C，当cosα＝cosβ＝0时，不存在tanα＝tanβ，反之也不成立，所以p是q的既不充分也不必要条件；

对于D，由A∩B＝A，知A⊆B，所以∁UB⊆∁UA；

反之，由∁UB⊆∁UA，知A⊆B，即A∩B＝A.

所以p⇔q.

综上所述，p是q的充分必要条件的是D.

探究提高　判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：

一是由条件p能否推得条件q；

二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．

给出下列命题：

①“数列{an}为等比数列”是“数列{anan＋1}为等比数列”的充分不必要条件；

②“a＝2”是“函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上为增函数”的充要条件；

③“m＝3”是“直线（m＋3）x＋my－2＝0与直线mx－6y＋5＝0互相垂直”的充要条件；

④设a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝

，则“A＝30°

”是“B＝60°

其中真命题的序号是________．

答案　①④

解析　对于①，当数列{an}为等比数列时，易知数列{anan＋1}是等比数列，但当数列

{anan＋1}为等比数列时，数列{an}未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；

对于②，当a≤2时，函数f（x）＝|x－a|在区间[2，＋∞）上是增函数，因此②不正确；

对于③，当m＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m＝3，也可能m＝0.因此③不正确；

对于④，由题意得

，若B＝60°

，则sinA＝

，注意到b>

a，故A＝30°

，反之，当A＝30°

时，有sinB＝

，由于b>

a，所以B＝60°

或B＝120°

，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.

题型三　利用充要条件求参数

例3

　已知集合M＝{x|x<

－3或x>

5}，P＝{x|（x－a）·

（x－8）≤0}．

（1）求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5<

x≤8}的充要条件；

（2）求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5<

x≤8}的一个充分但不必要条件．

解决此类问题一般是先把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．

解　

（1）由M∩P＝{x|5<

x≤8}，得－3≤a≤5，

因此M∩P＝{x|5<

x≤8}的充要条件是{a|－3≤a≤5}．

x≤8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5<

x≤8}；

反之，M∩P＝{x|5<

x≤8}未必有a＝0，故“a＝0”是“M∩P＝{x|5<

x≤8}”的一个充分但不必要条件．

探究提高　利用充要条件求参数的值或范围，关键是合理转化条件，准确地将每个条件对应的参数的范围求出来，然后转化为集合的运算，一定要注意区间端点值的检验．

已知p：

x2－4x－5≤0，q：

|x－3|<

a（a>

0）．若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

解　设A＝{x|x2－4x－5≤0}＝{x|－1≤x≤5}，B＝{x|－a＋3<

x<

a＋3}，因为p是q的充分不必要条件，

从而有AB.故

解得a>

4.

等价转化思想在充要条件关系中的应用

典例：

（12分）已知p：

≤2，q：

x2－2x＋1－m2≤0（m>

0），且綈p是綈q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．

审题视角　

（1）先求出两命题的解集，即将命题化为最简．

（2）再利用命题间的关系列出关于m的不等式或不等式组，得出结论．

规范解答

解　方法一由q：

x2－2x＋1－m2≤0，

得1－m≤x≤1＋m，[2分]

∴綈q：

A＝{x|x>

1＋m或x<

1－m，m>

0}，[3分]

由p：

≤2，解得－2≤x≤10，[5分]

∴綈p：

B＝{x|x>

10或x<

－2}．[6分]

∵綈p是綈q的必要而不充分条件．

∴AB，∴

或

即m≥9或m>

9.∴m≥9.[12分]

方法二　∵綈p是綈q的必要而不充分条件，

∴p是q的充分而不必要条件，[2分]

由q：

x2－2x＋1－m2≤0，得1－m≤x≤1＋m，

∴q：

Q＝{x|1－m≤x≤1＋m}，[4分]

≤2，解得－2≤x≤10，

∴p：

P＝{x|－2≤x≤10}．[6分]

∵p是q的充分而不必要条件，

∴PQ，∴

9.∴m≥9.[12分]

温馨提醒　本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题转化为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键.

方法与技巧

1．当一个命题有大前提而要写出其它三种命题时，必须保留大前提，也就是大前提不动；

对于由多个并列条件组成的命题，在写其它三种命题时，应把其中一个（或几个）作为大前提．

2．数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题与定理是有区别的；

命题有真假之分，而定理都是真的．

3．命题的充要关系的判断方法

（1）定义法：

直接判断若p则q、若q则p的真假．

（2）等价法：

利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

（3）利用集合间的包含关系判断：

若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；

若A＝B，则A是B的充要条件．

失误与防范

1．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p则q”的形式．

2．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言．

A组　专项基础训练

（时间：

35分钟，满分：

57分）

一、选择题（每小题5分，共20分）

1．（2012·

湖南）命题“若α＝

，则tanα＝1”的逆否命题是（　　）

A．若α≠

，则tanα≠1B．若α＝

，则tanα≠1

C．若tanα≠1，则α≠

D．若tanα≠1，则α＝

解析　由原命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题：

若tanα≠1，则α≠

.

2．（2012·

福建）已知向量a＝（x－1,2），b＝（2,1），则a⊥b的充要条件是（　　）

A．x＝－

B．x＝－1

C．x＝5D．x＝0

解析　∵a＝（x－1,2），b＝（2,1），

∴a·

b＝2（x－1）＋2×

1＝2x.

又a⊥b⇔a·

b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.

3．已知集合M＝{x|0<

1}，集合N＝{x|－2<

1}，那么“a∈N”是“a∈M”的（　　）

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　因为MN，所以a∈M⇒a∈N，反之，则不成立，故“a∈N”是“a∈M”的必要而不充分条件．故选B.

4．下列命题中为真命题的是（　　）

A．命题“若x>

y，则x>

|y|”的逆命题

B．命题“若x>

1，则x2>

1”的否命题

C．命题“若x＝1，则x2＋x－2＝0”的否命题

D．命题“若x2>

0，则x>

1”的逆否命题

解析　对于A，其逆命题：

若x>

|y|，则x>

y，是真命题，这是因为x>

|y|＝

，必有x>

y；

对于B，否命题：

若x≤1，则x2≤1，是假命题．如x＝－5，x2＝25>

1；

对于C，其否命题：

若x≠1，则x2＋x－2≠0，因为x＝－2时，x2＋x－2＝0，所以是假命题；

对于D，若x2>

0或x<

0，不一定有x>

1，因此原命题的逆否命题是假命题，故选A.

二、填空题（每小题5分，共15分）

5．下列命题：

①若ac2>

bc2，则a>

b；

②若sinα＝sinβ，则α＝β；

③“实数a＝0”是“直线x－2ay＝1和直线2x－2ay＝1平行”的充要条件；

④若f（x）＝log2x，则f（|x|）是偶函数．

其中正确命题的序号是________．

答案　①③④

解析　对于①，ac2>

bc2，c2>

0，∴a>

b正确；

对于②，sin30°

＝sin150°

D⇒/30°

＝150°

，所以②错误；

对于③，l1∥l2⇔A1B2＝A2B1，即－2a＝－4a⇒a＝0且A1C2≠A2C1，所以③对；

对于④显然对．

6．已知p（x）：

x2＋2x－m>

0，如果p

（1）是假命题，p

（2）是真命题，则实数m的取值范围为________．

答案　[3,8）

解析　因为p

（1）是假命题，所以1＋2－m≤0，

解得m≥3；

又因为p

（2）是真命题，所以4＋4－m>

0，

解得m<

8.故实数m的取值范围是3≤m<

8.

7．（2011·

陕西）设n∈N＋，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.

答案　3或4

解析　∵x2－4x＋n＝0有整数根，

∴x＝

＝2±

∴4－n为某个整数的平方且4－n≥0，∴n＝3或n＝4.

当n＝3时，x2－4x＋3＝0，得x＝1或x＝3；

当n＝4时，x2－4x＋4＝0，得x＝2.

∴n＝3或n＝4.

三、解答题（共22分）

8．（10分）判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．

解　原命题：

若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根．

逆否命题：

若x2＋x－a＝0无实根，则a<

0.

判断如下：

∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<

0，∴a<

－

∴“若x2＋x－a＝0无实根，则a<

0”为真命题．

9．（12分）已知p：

|x－3|≤2，q：

（x－m＋1）（x－m－1）≤0，若綈p是綈q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．

解　由题意得p：

－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.

1或x>

5.

m－1≤x≤m＋1，∴綈q：

m－1或x>

m＋1.

又∵綈p是綈q的充分而不必要条件，

∴

且等号不能同时取到，∴2≤m≤4.

B组　专项能力提升

25分钟，满分：

43分）

一、选择题（每小题5分，共15分）

上海）对于常数m、n，“mn>

0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

解析　∵mn>

0，∴

当m>

0，n>

0且m≠n时，方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆，

当m<

0，n<

0时，方程mx2＋ny2＝1不表示任何图形，

所以条件不充分；

反之，

当方程mx2＋ny2＝1表示的曲线是椭圆时有mn>

所以“mn>

0”是“方程mx2＋ny2＝1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．

2．已知p：

≥1，q：

|x－a|<

1，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为（　　）

A．（－∞，3]B．[2,3]

C．（2,3]D．（2,3）

解析　由

≥1，得2<

x≤3；

由|x－a|<

1，得a－1<

a＋1.

若p是q的充分不必要条件，则

，即2<

a≤3.

所以实数a的取值范围是（2,3]，故选C.

3．集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x|x<

a}，则“A⊆B”是“a>

5”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析　A＝{x|－4≤x≤4}，若A⊆B，则a>

4.a>

4D/⇒a>

5，但a>

5⇒a>

4.故“A⊆B”是“a>

5”的必要不充分条件．

4．设有两个命题p、q.其中p：

对于任意的x∈R，不等式ax2＋2x＋1>

0恒成立；

命题q：

f（x）＝（4a－3）x在R上为减函数．如果两个命题中有且只有一个是真命题，那么实数a的取值范围是____________．

答案　

∪（1，＋∞）

解析　当a＝0时，不等式为2x＋1>

0，显然不能恒成立，故a＝0不适合；

当a≠0时，不等式ax2＋2x＋1>

0恒成立的条件是

　解得a>

1.

若命题q为真，则0<

4a－3<

1，解得

a<

由题意，可知p，q一真一假．

当p真q假时，a的取值范围是

{a|a>

1}∩{a|a≤

或a≥1}＝{a|a>

1}；

当p假q真时，a的取值范围是

{a|a≤1}∩{a|

1}＝{a|

所以a的取值范围是

∪（1，＋∞）．

5．若“x∈[2,5]或x∈{x|x<

4}”是假命题，则x的取值范围是________．

答案　[1,2）

解析　x∉[2,5]且x∉{x|x<

4}是真命题．

由

得1≤x<

点评　“A或B”的否定是“綈A且綈B”．

6．“m<

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．

解析　x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，

即m≤

，∵m<

⇒m≤

，反之不成立．

故“m<

”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．

三、解答题

7．（13分）已知全集U＝R，非空集合A＝

，B＝

（1）当a＝

时，求（∁UB）∩A；

（2）命题p：

x∈A，命题q：

x∈B，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围．

解　

（1）当a＝

时，

A＝

B＝

∴∁UB＝

∴（∁UB）∩A＝

（2）∵a2＋2>

a，∴B＝{x|a<

a2＋2}．

①当3a＋1>

2，即a>

时，A＝{x|2<

3a＋1}．

∵p是q的充分条件，∴A⊆B.

，即

a≤

②当3a＋1＝2，即a＝

时，A＝∅，不符合题意；

③当3a＋1<

2，即a<

时，A＝{x|3a＋1<

2}，

由A⊆B得

，∴－

≤a<

综上所述，实数a的取值范围是

∪