抽屉原理习题精选Word格式.docx
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A、B、C、D四类书，根据题目条件，这些学生借书的组合可能有十种，分别是：
A、B、C、D、AB、AC、AD、BC、BD、CD
因为有11名学生到老师家借书，而只有10种借书情况，将这十种借书情况看作是十个抽屉，因此必有两个学生所借的书的类型相同。
11÷
10=1......1
1+1=2
4．证明，所谓单循环赛即每个运动员都与其它运动员进行一场比赛。
即每个人要参加49场比赛，这样如果假设没有运动员积分相同，因为没有全胜，则运动员的积分就有48胜、47胜……2胜、1胜、0胜共49个积分情况，而50名运动员需要有50个不同的积分结果，这里“49个积分情况”与“需要50个积分结果”出现了矛盾，所以假设“没有运动员积分相同”是错误的，因此一定有两个运动员积分相同。
5．方法同第3题，拿球的种类组合可以有以下六种：
足球、排球、篮球、足排、足篮、排篮，这六种组合看作六个抽屉，至少有9名同学所拿的球种类是一致的。
50÷
6=8.....2
8+1=9
6．则参赛男生46人。
7．至少要拿出10只才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
8．至少把这些水果分成了5堆。
分四种情况：
9．至少选出51个数，其中必有两个数的和是100。
10．46乘客带苹果。
11．提示：
分值从0～100，共101种可能的分值，10101÷
（0＋1＋2＋……＋100）＝2……1，则至少有3人得分相同。
12．至少有335个人游览的地方完全相同。
13．则至少有5人植树的株数相同。
第四讲：
最不利原则
一、最不利原则
在日常生活和生产中，我们常常会遇到求最大值或最小值的问题，解答这类问题，常常需要从最不利的情况出发分析问题，这就是最不利原则。
例1口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
问：
一次最少摸出几个球，才能保证至少有4个小球颜色相同？
分析与解：
如果碰巧一次取出的4个小球的颜色都相同，就回答是“4”，那么显然不对，因为摸出的4个小球的颜色也可能不相同。
回答是“4”是从最“有利”的情况考虑的，但为了“保证至少有4个小球颜色相同”，就要从最“不利”的情况考虑。
如果最不利的情况都满足题目要求，那么其它情况必然也能满足题目要求。
“最不利”的情况是什么呢？
那就是我们摸出（
）个红球、（
）个黄球和（
）个蓝球，此时三种颜色的球都是（
）个，却无4个球同色。
这样摸出的9个球是“最不利”的情形。
这时再摸出一个球，无论是红、黄或蓝色，都能保证有4个小球颜色相同。
所以回答应是最少摸出（
）个球。
通过上面分析，列式为：
例2一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最少要试验多少次就一定能使全部的钥匙和锁相匹配？
从最不利的情形考虑。
用10把钥匙依次去试第一把锁，最不利的情况是试验了9次，前8次都没打开，第9次无论打开或没打开，都能确定与这把锁相匹配的钥匙（若没打开，则第10把钥匙与这把锁相匹配）。
同理，第二把锁试验8次……第九把锁只需试验1次，第十把锁不用再试（为什么？
）。
例3在一副扑克牌中，最少要取出多少张，才能保证取出的牌中四种花色都有？
一副扑克牌有大、小王牌各1张，“红桃”、“黑桃”、“方块”、“梅花”四种花色各13张，共计有54张牌。
最不利的情形是：
取出四种花色中的三种花色的牌各13张，再加上2张王牌。
这41张牌中没有四种花色。
剩下的正好是另一种花色的13张牌，再抽1张，四种花色都有了。
因此最少要拿出42张牌，才能保证四种花色都有。
热身操
1.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球各20个。
一次最少摸出几个，才能保证至少有5个小球颜色相同？
2.口袋里有同样大小和同样质地的红、黄、蓝三种颜色的小球共20个，其中红球4个、黄球6个、蓝球10个。
一次最少取出几个，才能保证至少有6个小球颜色相同？
3.口袋里有三种颜色的筷子各10根。
（1）至少取几根才能保证三种颜色的筷子都取到？
（2）至少取几根才能保证有颜色不同的两双筷子？
（3）至少取几根才能保证有颜色相同的两双筷子？
4.一个布袋里有红色、黄色、黑色袜子各20只。
最少要拿多少只袜子才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子？
第六讲：
抽屉原理
抽屉原理又叫狄里克雷原理，是指：
把n+1个元素，任意放入n个抽屉，则其中必有一个抽屉里至少有2个元素.抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。
它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来并用以证明一些数论中的问题，因此，也称为狄利克雷原理。
它是组合数学中一个重要的原理。
原理1把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2把多于mn（m乘以n）个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
例1：
把4枝笔放进3个笔筒里，不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进2枝笔，这是为什么？
我们从最不利的原则去考虑：
答：
如果我们先让每个笔筒里放（
）枝笔，最多放（
）枝。
剩下的（
）枝还要放进其中的一个笔筒。
所以不管怎么放，总有一个笔筒里至少放进（
）枝笔。
练习：
7只鸽子飞回5个鸽舍，至少有2只鸽子要飞进同一个鸽舍里。
为什么？
如果一个鸽舍里飞进一只鸽子，5个鸽舍最多飞进（
）只鸽子，还剩下（
）只鸽子。
所以，无论怎么飞，至少有（
）只鸽子要飞进同一个笼子里。
例2：
把5本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进3本书。
这是为什么？
例3：
把7本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？
例4：
把9本书进2个抽屉中，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进多少本书？
做一做：
8只鸽子飞回3个鸽舍，至少有（
）只鸽子要飞进同一个鸽舍。
计算方法：
至少数＝商数+1
1、某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？
2、一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。
不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子
3、礼堂里有253人开会，这253人中至少有多少人的属相相同？
4、体育组有足球、篮球和排球，上体育课前，老师让一班的41名同学往操场拿球，每人最多拿两个。
至少有几名同学拿球的情况完全一样？
5、口袋里放有足够多的红、白两种颜色的球，有若干人轮流从袋中取球，每人取三个球。
要保证有4人取出的球的颜色完全相同，至少应有多少人取球？
6、幼儿园小朋友分200块饼干，无论怎样分都有人至少分到8块饼干，这群小朋友至多有多少名？
7、图书馆有甲、乙、丙、丁四类图书，规定每个同学最多可以借两本不同类的图书，至少有多少个同学借书，才能保证有两个人所借的图书类别相同？
8、要把85个球放入若干个盒子中，每个盒子中最多放7个。
至少有几个盒子中放球的数目相同？
9、把125本书分给五
（2）班学生，如果其中至少有1人分到至少4本书，那么，这个班最多有多少人？
10、某班有个小书架，40个同学可以任意借阅，小书架上至少要有多少本书，才能保证至少有一个图形能借到两本或两本以上的书？
HER新思路教育11111111、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂放在一起，黑暗中想从这些筷子之中取出颜色不同的两双筷子，至少要取出多少根才能保证达到要求？
12、一副扑克牌（大王、小王除外）有四种花色，每种花色有13张，从中任意抽牌，最少要抽几张，才能保证有四张牌是同一张花色的？
13、在从1开始的10个奇数中任取6个，一定有两个数的和是20。
14、在任意的10人中，至少有两个人，他们在这10个人中认识的人数相等？
15、一副扑克牌有54张，至少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数?
16、某班有49个学生，最大的12岁，最小的9岁，是否一定有两个学生，他们是同年同月出生的？
17、某校五年级学生共有380人，年龄最大的与年龄最小的相差不到1岁，我们不用去查看学生的出生日期，就可断定在这380个学生中至少有两个是同年同月同日出生的，你知道为什么吗？
18、有红色、白色、黑色的筷子各10根混放在一起，让你闭上眼睛去摸，
（1）你至少要摸出几根才敢保证有两根筷子是同色的？
（2）至少拿几根，才能保证有两双同色的筷子？
19、任意4个自然数，其中至少有两个数的差是3的倍数，这是为什么？
20、从任意3个整数中，一定可以找到两个。
使得它们的和是一个偶数，这是为什么？
21、从任意的5个整数中，一定可以找到3个数，使这3个数的和是3的倍数，这是为什么？
HER新思路教育
22、从1到50的自然数中，任取27个数，其中必有两个数的和等于52，这是为什么？
23、在100米的路段上栽树，至少要栽多少棵树，才能保证至少有两棵树之间的距离小于10米？
（两端各栽一棵）
24、从1~10这10个数中，任取多少个数，才能保证这些数中一定能找到两个数，使其中的一个数是另一个数的倍数？
25、任意取多少自然数，才能保证至少有两个自然数的差是7的倍数？
26、有尺寸、规格相同的6种颜色的袜子各20只，混装在箱内，从箱内至少取出多少只袜子才能保证有3双袜子？
27、把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋有至少分得一块饼干，那么不管怎么分，一定会有两个小朋友分得的饼干数目相同，这是为什么？
28、学校买来历史、文艺、科普三种图书若干本，每个同学从中任意借两本，那么至少要多少名学生一起来借书，其中才一定有两人所借的图书种类相同？
29、
（1）从1到100的自然数中，任取52个数，其中必有两个数的和为102.HER新思路教育
（2）从1到100的所有奇数中，任取27个不同的数，其中必有两个数的和等于102，请说明理由。
抽屉原理练习题
1．木箱里装有红色球３个、黄色球５个、蓝色球７个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
解：
把３种颜色看作３个抽屉，若要符合题意，则小球的数目必须大于３，故至少取出４个小球才能符合要求。
2．一幅扑克牌有54张，最少要抽取几张牌，方能保证其中至少有2张牌有相同的点数？
点数为1（A）、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11（J）、12（Q）、13（K）的牌各取1张，再取大王、小王各1张，一共15张，这15张牌中，没有两张的点数相同。
这样，如果任意再取1张的话，它的点数必为1～13中的一个，于是有2张点数相同。
3．11名学生到老师家借书，老师是书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
必有两个学生所借的书的类型相同。
证明：
若学生只借一本书，则不同的类型有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种，若学生借两本不同类型的书，则不同的类型有AB、AC、AD、BC、BD、CD六种。
共有10种类型，把这10种类型看作10个“抽屉”，把11个学生看作11个“苹果”。
如果谁借哪种类型的书，就进入哪个抽屉，由抽屉原理，至少有两个学生，他们所借的书的类型相同。
4．有50名运动员进行某个项目的单循环赛，如果没有平局，也没有全胜，试证明：
|
设每胜一局得一分，由于没有平局，也没有全胜，则得分情况只有1、2、3……49，只有49种可能，以这49种可能得分的情况为49个抽屉，现有50名运动员得分，则一定有两名运动员得分相同。
5．体育用品仓库里有许多足球、排球和篮球，某班50名同学来仓库拿球，规定每个人至少拿１个球，至多拿２个球，问至少有几名同学所拿的球种类是一致的？
|解题关键：
利用抽屉原理２。
根据规定，多有同学拿球的配组方式共有以下９种：
﹛足﹜﹛排﹜﹛蓝﹜﹛足足﹜﹛排排﹜﹛蓝蓝﹜﹛足排﹜﹛足蓝﹜﹛排蓝﹜。
以这９种配组方式制造９个抽屉，将这50个同学看作苹果50÷
9＝5……5
由抽屉原理２k＝［m/n］＋１可得，至少有６人，他们所拿的球类是完全一致的。
6．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。
因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×
2＋1＝9（人）；
因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。
所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）
7、证明：
从1，3，5，……，99中任选26个数，其中必有两个数的和是100。
解析：
将这50个奇数按照和为100，放进25个抽屉：
（1，99），（3，97），（5，95），……，（49，51）。
根据抽屉原理，从中选出26个数，则必定有两个数来自同一个抽屉，那么这两个数的和即为100。
8.
某旅游车上有47名乘客，每位乘客都只带有一种水果。
如果乘客中有人带梨，并且其中任何两位乘客中至少有一个人带苹果，那么乘客中有______人带苹果
由题意，不带苹果的乘客不多于一名，但又确实有不带苹果的乘客，所以不带苹果的乘客恰有一名，所以带苹果的就有46人。
9.
一些苹果和梨混放在一个筐里，小明把这筐水果分成了若干堆，后来发现无论怎么分，总能从这若干堆里找到两堆，把这两堆水果合并在一起后，苹果和梨的个数是偶数，那么小明至少把这些水果分成了_______堆。
要求把其中两堆合并在一起后，苹果和梨的个数一定是偶数，那么这两堆水果中，苹果和梨的奇偶性必须相同。
对于每一堆苹果和梨，奇偶可能性有4种：
（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），所以根据抽屉原理可知最少分了4+1=5筐。
10.有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出_____只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
考虑最坏情况，假设拿了3只黑色、1只白色和1只蓝色，则只有一双同颜色的，是再多拿一只，不论什么颜色，则一定会有两双同颜色的，所以至少要那6只。
11.从前25个自然数中任意取出7个数,证明:
取出的数中一定有两个数,这两个数中大数不超过小数的1.5倍.
证明:
把前25个自然数分成下面6组:
1;
①
2,3;
②
4,5,6;
③
7,8,9,10;
④
11,12,13,14,15,16;
⑤
17,18,19,20,21,22,23,⑥
因为从前25个自然数中任意取出7个数,所以至少有两个数取自上面第②组到第⑥组中的某同一组,这两个数中大数就不超过小数的1.5倍.
12．一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。
问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
根据抽屉原理，当每次取出4张牌时，则至少可以保障每种花色一样一张，按此类推，当取出12张牌时，则至少可以保障每种花色一样三张，所以当抽取第13张牌时，无论是什么花色，都可以至少保障有4张牌是同一种花色，选B。
13．从1、2、3、4……、12这12个自然数中，至少任选几个，就可以保证其中一定包括两个数，他们的差是7？
【解析】在这12个自然数中，差是7的自然树有以下5对：
｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝。
另外，还有2个不能配对的数是｛6｝｛7｝。
可构造抽屉原理，共构造了7个抽屉。
只要有两个数是取自同一个抽屉，那么它们的差就等于7。
这7个抽屉可以表示为｛12，5｝｛11，4｝｛10，3｝｛9，2｝｛8，1｝｛6｝｛7｝，显然从7个抽屉中取8个数，则一定可以使有两个数字来源于同一个抽屉，也即作差为7，所以选择D。
15．某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
将40名小朋友看成40个抽屉。
今有玩具122件，122=3×
40＋2。
应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：
至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。
也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
16．一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。
一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。
要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×
2＋1=9（件）物品。
所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
17．六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。
至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有：
订甲、订乙、订丙3种情况；
订二种杂志有：
订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：
订甲乙丙1种情况。
总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。
我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。
因为100＝14×
7＋2。
根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
18．篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
首先应弄清不同的水果搭配有多少种。
两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：
苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。
所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。
将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷
10=8……1（个）。
根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
19．学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。
至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。
不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。
共有1＋3＋3＝7（种）情况。
将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生 7×
（5-1）＋1＝29（名）。
20.在1，4，7，10，…，100中任选20个数，其中至少有不同的两对数，其和等于104。
析：
解这道题，可以考虑先将4与100，7与97，49与55……，这些和等于104的两个数组成一组，构成16个抽屉，剩下1和52再构成2个抽屉，这样，即使20个数中取到了1和52，剩下的18个数还必须至少有两个数取自前面16个抽屉中的两个抽屉，从而有不同的两组数，其和等于104；
如果取不到1和52，或1和52不全取到，那么和等于104的数组将多于两组。
1，4，7，10，……，100中共有34个数，将其分成{4，100}，{7，97}，……，{49，55}，{1}，{52}共18个抽屉，从这18个抽屉中任取20个数，若取到1和52，则剩下的18个数取自前16个抽屉，至少有4个数取自某两个抽屉中，结论成立；
若不全取1和52，则有多于18个数取自前16个抽屉，结论亦成立。
21.任意5个自然数中，必可找出3个数，使这三个数的和能被3整除。
分析：
解这个问题，注意到一个数被3除的余数只有0，1，2三个，可以用余数来构造抽屉。
以一个数被3除的余数0、1、2构造抽屉，共有3个抽屉。
任意五个数放入这三个抽屉中，若每个抽屉内均有数，则各抽屉取一个数，这三个数的和是3的倍数，结论成立；
若至少有一个抽屉内没有数，那么5个数中必有三个数在同一抽屉内，这三个数的和是3的倍数，结论亦成立。
22.在边长为1的正方形内，任意放入9个点，证明在以这些点为顶点的三角形中，必有一个三角形的面积不超过1/8.
分别连结正方形两组对边的中点，将正方形分为四个全等的小正方形，则各个小正方形的面积均为1/4。
把这四个小正方形看作4个抽屉，将9个点随意放入4个抽屉中，据抽屉原理，至少有一个小正方形中有3个点。
显然，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过1/8。
反思：
将边长为1的正方形分成4个面积均为1/4的小正方形，从而构造出4个抽屉，是解决本题的关键。
我们知道。
将正方形分成面积均为1/4的图形的方法不只一种，如可连结两条对角线将正方形分成4个全等的直角三角形，这4个图形的面积也都是1/4，但这样构造抽屉不能证到结论。
可见，如何构造抽屉是利用抽屉原理解决问题的关键。
23．班上有50名
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