拉普拉斯逆变换.docx

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拉普拉斯逆变换

拉普拉斯逆变换

对于单边拉普拉斯变换，由式（8.1-9）知，象函数F（s）的拉普拉

斯逆变换为

:

0,tc0

f（t）=*

1st

F（s）eds,t>0

2kj灯皿

（831）

上述积分应在收敛域内进行，若选常数匚:

--o^o为F（s）的收敛坐标］,则积分路线是横坐标为二，平行于与纵坐标轴的直线。

实用中，常设法将积分路线变为适当的闭合路径，应用复变函数中的留数定理求得原函数。

若F（s）是s的有理分式，可将F（s）展开为部分分式，然后求得其原函数。

若直接利用拉普拉斯逆变换表（见附录五），将更为简便。

如果象函数F（s）是s的有理分式，它可写为

F（s）二

bmSm.bm」sm」•….bis.bo

sn-an」sn‘……"a1sa0

（8.3-2）

式中各系数ai（i=0,1/,n）,bj（j=0,1,,m）均为实数，为简便且不失一般性，设an=1。

若m—n,可用多项式除法将象函数F（s）分解为有理多项式P（s）与有理真分式之和，即

F（s）二P（s）

A（s）

（833）式中B（s）的幂次小于A（s）的幂次。

例如

s4-8s325s231s15

32

s6s11s6由于£」［1］—（t）,£%］八'（t）,…，故上面多项式P（s）的拉普拉斯逆变换由冲激函数及其各阶导数组成，容易求得。

下面主要讨论象函数为有理真分式的情形。

一、查表法

附录五是适用于求拉普拉斯逆变换的表，下面举例说明它的用法。

例8.3-1求F（s）22S5得原函数f⑴。

s2+3s+2

解F（s）分母多项式A（s）=O的根为$—1,勺一2，故F（s）可写为

一、2s+52s+5

F（s）—

s2+3s+2（s+1）（s+2）

由附录五查得，编号为2-12的象函数与本例F（s）相同，其中

d=2,bo=5,〉=1,=2。

将以上数据代入到相应的原函数表示式，得

f（t）=3e」—e」,t_0或写为

f（t）=（3e」-e』）；（t）

例8.3-2求F（s）2加3的原函数f（t）。

s2十2s+10

解F（s）分母多项式A（s）=0的根为％2=-1±j3，故A（s）可写为

222

A（s）=s2s10=（s1）3

于是F（s）可写为

F（s）_3s3_3（s1）

s22s10（s1）232

查表可得，编号2-6的象函数形式与本例相同，只是本例的系数为3，故得

、部分分式展开法

如果F（s）是s的实系数有理真分式（式中men）,则可写为

F（s）=B（s）_bmSm•bp•b。

A（s）sn+an」sn，十…+a!

^a0

（8.3-4）

式中分母多项式A（s）成为F（s）的特征多项式，方程A（s）=O称为特征方程，它的根称为特征根，也称为F（s）的固有频率（或自然频率）。

为将F（s）展开为部分分式，要先求出特征方程的n个特征根

s（i=1,2…，n），s称为F（s）的极点。

特征根可能是实根（含零根），也可能是复根（含虚根）；可能是单根，也可能是重根。

下面分几种情况讨论。

（1）F（s）有单极点（特征根为单根）。

如果方程A（s）=0的根是单根，其n个根S,S2,…，Sn都互不相等，那

么根据代数理论，F（s）可展开为如下的部分分式

s-SniTs-Sj

F（s）==心.K2.Ki…

A（s）s_®s_s2s_s

（835）

待定系数Kj可用如下方法求得:

将式（8.3-5）等号两端同乘以（sp），得

当s，s时，由于各根均不相等，故等号右端除Ki一项外均趋近于零,

于是得

Ki=（s—Si）F（s）咕广|问【（s-Si）B|]

（8.3-6）

系数Ki也可用另一种方法确定:

由于S是A（S）=0的根，故有A（sJ=O，这样上式可改写

s-s

所以

B（sJ

A'（S）

（8.3-7）

由£计丄Lest，并利用线性性质，可得式（8.3-5）的原函数为

$一

n

£-1F（s）I-7Kjest；（t）

iA

（8.3-8）

式中系数Ki由式（8.3-6）或（8.3-7）求得。

例8.3-3求F（s）3s24的原函数f（t）。

s3+3s2+2s

解象函数F（s）的分母多项式

A（sHs33s22s=s（s1）（s2）

方程A（s）=O有三个单实根3=0,S2=-1,S3=-2，用式（8.3-6）可求得

个系数［也可由（8.3-7）求得］

2

s（s+1）（s+2）s=0

所以

取其逆变换，得

f（t）=2—3e」e^'t_0

或写为

f（t）=（2-3e」e?

）；（t）

（2）F（s）由共轭单极点（特征根为共轭单根）

方程A（s）=O若有复数根（或虚根），它们必共轭成对，否则，多项式A（s）的系数中必有一部分是复数或虚数，而不可能全为实数。

例8.3-4求F（s）-的原函数f（t）。

s2+2s+2

解象函数F（s）的分母多项式

A（s）=s22s2=（s1-j）（s1j）

方程A（s）=0有一对共轭复根n,2—1-j1,用式（8.3-7）可求得

各系数为

K“BE=s+2」+j1川/

A（s1）2s+2s“h1j22

B（s2）s2

K2

1j1

A（s2）2s+2s=j-j1-j2

取逆变换，得

2e-tcos（t-n）；（t）

24

由本例可见，当A（s）=0有共轭复根时，计算比较复杂，下面将导

出较为简便实用的关系式。

设A（s）二0有一对共轭单根3,2二「_「，将F（s）的展开式分为两个

部分

「（s）_B（s）

A（s）（s：

-jJ（s亠:

亠「）A2（s）K1K2B2（s）

122F1（s）F2（s）

s：

_j-s"爲j-A2（s）

形式由A2（S）=0的根S3,…,Sn具体情况确定。

应用式（8.3-7），可求得

KBg）B（-：

「）

K1一一

A'（s）A'（-：

j：

）

由于B（s）和A'（s）都是s的实系数多项式，故B（s；）二B*（si）,

A'（s；）二A*'（sJ，因而上述系数K与K2互为共轭复数，即K2=K；。

令

B（si）

A®

B（s2）

A'6）

（8310）式中S—二订j,S2=s；。

这样，式（8.3-9）中的F1（s）可写为

|Kj^j9

s亠-j-

（8311）

取逆变换，得

（8312）

例8.3-5求象函数

F（s）二

S3+s2+2s+4

s（s1）（s21）（s22s2）

的原函数f（t）。

解本例A（s）=0有6个单根，它们分别为

q=0,S2=-1,S3,4=±j1,S5,6=-1土j1，故F（s）得展开式为

F（s）仝上上.K4

ss+1s—j

按式（8.3-6）可求得各实数为

于是F（s）得展开式可写为

n

1j㊁1

F（s）二2s

ee

22_

s1s_jsjs1_j

取其逆变换，得

f（t）=2_e』cos（tn）^—2e」cos（t也）；（t）

IL224

」n—t3冗

=2-ecos（t）.2ecos（t）；（t）

IL24

（3）F（s）有重极点（特征根为重根）。

如果A（s）二0在s〜处有r重根，即$p二…=sr，而其余（n-r）个根s「,…，务都不等于s,。

则象函数F（s）的展开式可写为

F（S）=B（s）二K11K12...K1rB2（s）

A（s）（s-sj（s—sjs-sA2（s）

=、rK1i.B2（s）

「心2-汀2A2（s）

=F1（s）F2（s）

（8.3-13）式中7F2（s）=器是除重根以外的项’且当…1时“心。

各系数

KM=1,2,,r）可这样求得，将式（8.3-13）等号两端同乘以（s—s）r,

（sf）rF（s）二Ku（s-sja（-$尸心

（8.3-14）

令s二Si，得

KiiJs-sjFisn

（8315）将式（8.3-14）对s求导数，得

七drB2（s）

―）K1r窪…）巫

令sp，得

（8.3-16）

依此类推，可得

（8317）

（式中i=1,2，…,r）

由式（8.2-23）知，£t「（t）Ln!

1，利用复频移特性，可得

s

1.nS1t

=n!

te⑴

（8.3-18）

于是，式（8.3-13）中重根部分象函数Fi（s）的原函数为

（8319）

K12K13K4

13—

（s1）S1S2

K1i（i=1,2,3）和K4。

所以

取逆变换，得

f（t）=（t2-t1）e4-e^tb（t）

如果A（s）=0有复重根，可以用类似于复单根的方法导出相应的逆

变换关系式。

譬如，A（s）=O有二重根S1,2=-«土涉，则F（s）可展开为

解A（s）=0有三重根®二S2二S3=-1和单根S4—2。

故FS可展开为

F（、_一一_Ku

S_（s1）3（s2）一（s1）3

按式（8.3-17）和式（8.3-6）可分别求得系数

可以证明，K21二K；1,K22二K；，系数K11、K12的求法同上。

求得系数后，

可用下式求得其逆变换。

（8320）

（8321）

例8.3-7求象函数F（s）-2的原函数f（t）

（s+2）2+订

解A（s）二0有二重根岂2--2_j1，故F（s）可展开为

F（s）112上21㊁皂

（s+2_j1）2（s+2_j1）（s+2+j1）2（s+2十j1）

由式（8.3-17）可求得

K11=（s+2-j1）2F（s）】

K12

ds（s^j1）2F（s）

n

I=^e七

S#j1_4e

..n

]丄3

S"±j14D

利用式（8.3-20）

和式（8.3-21）,得

f（t）

=|‘2te°tcos（t—n）+丄e'tcos（t十n）l（t）

2422

特别需要强调的是，在根据已知象函数求原函数时，应注意运用

拉普拉斯变换的各种性质和常用的变换对。

例8.3-8求象函数F（s）=

2s

e的原函数f（t）。

解将F（s）改写为

F（s）

上式第二项有延时因子

e"t，

e

s1s1

它对应的原函数也延迟2个单位。

由单

边指数函数变换对，得

e，；（t）

根据延时特性，有

丄efe2）；（t-2）s1

再应用线性性质，得所求函数为

f（t）二e」；（t）-e"）；（t-2）

例8.3-9求象函数F（s）二2s2的原函数f（t）

s+2s+2

解将F（s）改写为

F（s）=

s2

~2

s2s2

s+1*1

—2222

（s1）1（s1）1

由余弦、正弦函数的拉普拉斯变换对及复频