高考数学考点练习第六章立体几何43直线平面平行的判定及其性质试题文Word格式文档下载.docx

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D．α内的直线与l都相交

解析　因为l⊄α，若在平面α内存在与直线l平行的直线，则l∥α，这与题意矛盾，故选B.

5.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，且PQ∥AC，则下列命题中，错误的是（　　）

A．AC⊥BD

B．AC∥截面PQMN

C．AC＝BD

D．异面直线PM与BD所成的角为45°

解析　由题意可知PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM，所以AC⊥BD，故A正确；

由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；

由PN∥BD可知，异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，又四边形PQMN为正方形，所以∠MPN＝45°

，故D正确；

而AC＝BD没有论证来源．

6．设m，n是平面α内的两条不同直线；

l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是（　　）

A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2

C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2

解析　对于选项A，不合题意；

对于选项B，由于l1与l2是相交直线，而且由l1∥m可得l1∥α，同理可得l2∥α故可得α∥β，充分性成立，而由α∥β不一定能得到l1∥m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选B；

对于选项C，由于m，n不一定相交，故是必要非充分条件；

对于选项D，由n∥l2可转化为n∥β，同选项C，故不符合题意，综上选B.

7．如图所示，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

答案　

a

解析　如图所示，连接AC，

易知MN∥平面ABCD，

∴MN∥PQ.

又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.

又∵AP＝

，

∴

＝

.

∴PQ＝

AC＝

a.

8．如图，已知三个平面α，β，γ互相平行，a，b是异面直线，a与α，β，γ分别交于A，B，C三点，b与α，β，γ分别交于D，E，F三点，连接AF交平面β于G，连接CD交平面β于H，则四边形BGEH必为________．

答案　平行四边形

解析　由题意知，直线a与AF确定平面ACF，由面面平行的性质定理，可得BG∥CF，同理有HE∥CF，所以BG∥HE.同理BH∥GE，所以四边形BGEH为平行四边形．

二、高考小题

9．[2015·

安徽高考]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行

B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行

C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线

D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面

解析　若α，β垂直于同一个平面γ，则α，β可以都过γ的同一条垂线，即α，β可以相交，故A错；

若m，n平行于同一个平面，则m与n可能平行，也可能相交，还可能异面，故B错；

若α，β不平行，则α，β相交，设α∩β＝l，在α内存在直线a，使a∥l，则a∥β，故C错；

从原命题的逆否命题进行判断，若m与n垂直于同一个平面，由线面垂直的性质定理知m∥n，故D正确．

10．[2016·

全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（　　）

A．

B．

C．

D．

答案　A

解析　如图，延长B1A1至A2，使A2A1＝B1A1，延长D1A1至A3，使A3A1＝D1A1，连接AA2，AA3，A2A3，A1B，A1D.易证AA2∥A1B∥D1C，AA3∥A1D∥B1C.

∴平面AA2A3∥平面CB1D1，即平面AA2A3为平面α.

于是m∥A2A3，直线AA2即为直线n.显然有AA2＝AA3＝A2A3，于是m、n所成的角为60°

，其正弦值为

.选A.

11．[2014·

辽宁高考]已知m，n表示两条不同直线，α表示平面．下列说法正确的是（　　）

A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊥α，n⊂α，则m⊥n

C．若m⊥α，m⊥n，则n∥αD．若m∥α，m⊥n，则n⊥α

解析　A选项m、n也可以相交或异面，C选项也可以n⊂α，D选项也可以n∥α或n与α斜交．根据线面垂直的性质可知选B.

12．[2016·

全国卷Ⅱ]α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．（填写所有正确命题的编号）

答案　②③④

解析　由m⊥n，m⊥α，可得n∥α或n在α内，当n∥β时，α与β可能相交，也可能平行，故①错．易知②③④都正确．

三、模拟小题

13．[2017·

太原模拟]若直线a∥平面α，直线b∥直线a，点A∈b且A∈α，则b与α的位置关系是（　　）

A．b∩α＝AB．b∥α

C．b∥α或b⊂αD．b⊂α

解析　由a∥α，b∥a⇒b∥α或b⊂α，又b过α内一点，故b⊂α.

14．[2017·

福州质检]过平面α外的直线l，作一组平面与α相交，如果所得的交线分别为a、b、c、…，那么这些交线的位置关系为（　　）

A．都平行

B．都相交且一定交于同一点

C．都相交但不一定交于同一点

D．都平行或交于同一点

解析　若l∥平面α，则交线都平行；

若l∩平面α＝A，则交线都交于同一点A.

15．[2017·

山西四校联考]如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出下列五个结论：

①PD∥平面AMC；

②OM∥平面PCD；

③OM∥平面PDA；

④OM∥平面PBA；

⑤OM∥平面PBC.

其中正确的个数有（　　）

A．1B．2

C．3D．4

解析　矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，所以O为BD的中点．在△PBD中，M是PB的中点，所以OM是△PBD的中位线，OM∥PD，则PD∥平面AMC，OM∥平面PCD，且OM∥平面PDA.因为M∈PB，所以OM与平面PBA、平面PBC相交．故选C.

16．[2016·

江西重点中学联考]如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列直线与平面AD′C平行的是（　　）

A．B′C′B．A′B

C．A′B′D．BB′

解析　连接A′B，∵A′B∥CD′，∴A′B∥平面AD′C.

17．[2016·

银川一模]如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B′、B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（　　）

A．KB．H

C．GD．B′

解析　取A′C′的中点M，连接EM、MK、KF、EF，则EM綊

CC′綊KF，得EFKM为平行四边形，若P为K，则AA′∥BB′∥CC′∥KF，故与平面PEF平行的棱超过2条；

HB′∥MK⇒HB′∥EF，若P为H或P为B′，则平面PEF与平面EFB′A′为同一平面，与平面EFB′A′平行的棱只有AB，不满足条件，故选C.

18．[2016·

浙江金丽衢联考]已知平面α∥平面β，P是α、β外一点，过点P的直线m与α、β分别交于点A、C，过点P的直线n与α、β分别交于点B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为（　　）

A．16B．24或

C．14D．20

解析　设BD＝x，由α∥β⇒AB∥CD⇒△PAB∽△PCD⇒

①当点P在两平面之间时，如图1，

∴x＝24；

②当点P在两平面外侧时，如图2，

∴x＝

一、高考大题

1.[2016·

全国卷Ⅲ]如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．

（1）证明：

MN∥平面PAB；

（2）求四面体N－BCM的体积．

解　

（1）证明：

由已知得AM＝

AD＝2，

取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点，知TN∥BC，TN＝

BC＝2.

又AD∥BC，故TN綊AM，故四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.

因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.

（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为

PA.

取BC的中点E，连接AE.

由AB＝AC＝3，得AE⊥BC，AE＝

由AM∥BC，得M到BC的距离为

故S△BCM＝

×

4×

＝2

所以四面体N－BCM的体积

VN－BCM＝

·

S△BCM·

2.[2016·

四川高考]如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°

，BC＝CD＝

AD.

（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

（2）证明：

平面PAB⊥平面PBD.

解　

（1）取棱AD的中点M（M∈平面PAD），点M即为所求的一个点．理由如下：

连接CM.因为AD∥BC，BC＝

AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，从而CM∥AB.

又AB⊂平面PAB，CM⊄平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

（说明：

取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点）

连接BM，由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝

AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD.

从而PA⊥BD.

所以BC∥MD，且BC＝MD.

所以四边形BCDM是平行四边形．

所以BM＝CD＝

AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD⊂平面PBD，

所以平面PAB⊥平面PBD.

二、模拟大题

3.[2016·

北京丰台模拟]如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，点M，N分别为A1C1与A1B的中点．

（1）求证：

MN∥平面BCC1B1；

（2）求证：

平面A1BC⊥平面A1ABB1.

证明　

（1）连接BC1，

∵点M，N分别为A1C1与A1B的中点，∴MN∥BC1.

∵MN⊄平面BCC1B1，BC1⊂平面BCC1B1，

∴MN∥平面BCC1B1.

（2）∵AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴AA1⊥BC.

又∵AB⊥BC，AA1∩AB＝A，∴BC⊥平面A1ABB1.

∵BC⊂平面A1BC，

∴平面A1BC⊥平面A1ABB1.

4.[2017·

四川模拟]如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD为菱形．

平面AB1C∥平面DA1C1；

（2）在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1？

若存在，确定点P的位置；

若不存在，说明理由．

由棱柱ABCD－A1B1C1D1的性质知，

AB1∥DC1，

∵AB1⊄平面DA1C1，DC1⊂平面DA1C1，

∴AB1∥平面DA1C1，

同理可证B1C∥平面DA1C1，而AB1∩B1C＝B1，

由面面平行的判定定理知，平面AB1C∥平面DA1C1.

（2）存在这样的点P，使BP∥平面DA1C1.

∵A1B1綊AB綊DC，

∴四边形A1B1CD为平行四边形．

∴A1D∥B1C.

在C1C的延长线上取点P，使C1C＝CP，连接BP，

∵B1B綊C1C，

∴B1B綊CP，

∴四边形BB1CP为平行四边形，

则BP∥B1C，∴BP∥A1D，

∴BP∥平面DA1C1.

5．[2017·

大连检测]如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，∠ABC＝60°

.PA⊥平面ABCD，且PA＝3.E为PD的中点，F在棱PA上，且AF＝1.

CE∥平面BDF；

（2）求三棱锥P－BDF的体积．

取PF的中点G，连接EG，CG.

连接AC交BD于O，连接FO.

由题意可得F为AG的中点，O为AC的中点，∴FO∥GC.

因为G为PF的中点，E为PD的中点，∴GE∥FD.

又GE∩GC＝G，GE，GC⊂平面GEC，FO∩FD＝F，FO，FD⊂平面FOD，∴平面GEC∥平面FOD.

∵CE⊂平面GEC，∴CE∥平面BDF.

（2）∵PA⊥平面ABCD，∴PA是三棱锥P－ABD的高，

又S△ABD＝

3×

∴VP－BDF＝VP－ABD－VF－ABD＝

3－

1＝

6．[2016·

宁夏银川月考]如图，在空间几何体ABCDE中，平面ABC⊥平面BCD，AE⊥平面ABC.

AE∥平面BCD；

（2）若△ABC是边长为2的正三角形，DE∥平面ABC，AD与BD，CD所成角的余弦值均为

，求三棱锥D－BEC的体积．

过点D作DO⊥BC交BC于点O.

因为平面ABC⊥平面BCD，DO⊂平面BCD，DO⊥BC，且平面ABC∩平面BCD＝BC，所以DO⊥平面ABC.

又AE⊥平面ABC，所以AE∥DO.

又DO⊂平面BCD，AE⊄平面BCD，所以AE∥平面BCD.

（2）连接AO，由题意得DE∥AO，

因为AD与BD，CD所成角的余弦值均为

，AC＝AB，

所以BD＝CD，所以O为BC的中点，

则易知AO⊥平面BCD，所以ED⊥平面BCD，

设DO＝a.因为BC＝2，所以OB＝OC＝1，OA＝

所以CD＝

，AD＝

在△ACD中，AC＝2，

所以AC2＝AD2＋CD2－2AD·

CD·

cos∠ADC，即4＝3＋a2＋1＋a2－2×

，解得a2＝1，

故a＝1，

所以VD－BEC＝VE－BCD＝

2×

1×