高中数学新人教版必修2第2章《点线面之间的位置关系》精品讲义+基础过关测试含答案Word文件下载.docx

高中数学新人教版必修2第2章《点线面之间的位置关系》精品讲义+基础过关测试含答案Word文件下载.docx

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公理3

如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线

P∈α，P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l

判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）三点可以确定一个平面．（　　）

（2）一条直线和一个点可以确定一个平面．（　　）

（3）四边形是平面图形．（　　）

（4）两条相交直线可以确定一个平面．（　　）

【解析】　

（1）错误．不共线的三点可以确定一个平面．

（2）错误．一条直线和直线外一个点可以确定一个平面．

（3）错误．四边形不一定是平面图形．

（4）正确．两条相交直线可以确定一个平面．

【答案】　

（1）×

（2）×

　（3）×

　（4）√

[小组合作型]

文字语言、图形语言、符号语言的相互转化

　根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：

（1）A∈α，B∉α；

（2）l⊂α，m∩α＝A，A∉l；

（3）P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.

【精彩点拨】　解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形．

【自主解答】　

（1）点A在平面α内，点B不在平面α内；

（2）直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；

（3）直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.

图形分别如图

（1），

（2），（3）所示．

图

（1）　　　　图

（2）　　　　图（3）

1．用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．

2．要注意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示．

3．由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．

[再练一题]

1．根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．

图212

（1）点P与直线AB；

（2）点C与直线AB；

（3）点M与平面AC；

（4）点A1与平面AC；

（5）直线AB与直线BC；

（6）直线AB与平面AC；

（7）平面A1B与平面AC.

【解】　

（1）点P∈直线AB；

（2）点C∉直线AB；

（3）点M∈平面AC；

（4）点A1∉平面AC；

（5）直线AB∩直线BC＝点B；

（6）直线AB⊂平面AC；

（7）平面A1B∩平面AC＝直线AB.

点、线共面问题

　已知四条直线两两相交，且不共点，求证：

这四条直线在同一平面内．

【精彩点拨】　四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：

一是有三条直线共点；

二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况．

【自主解答】　已知：

a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：

a，b，c，d四线共面．

证明：

（1）若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，

∴经过d与点O有且只有一个平面α.

∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，

∴A、B、C三点在平面α内．

由公理1知a、b、c都在平面α内，

故a、b、c、d共面．

（2）若a、b、c、d无三线共点，如图所示，

∵a∩b＝A，

∴经过a、b有且仅有一个平面α，

∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.

同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面．

综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内．

证明点线共面常用的方法

1．纳入法：

先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内．

2．重合法：

先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合．

2．已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：

过a，b，l有且只有一个平面．

【证明】　如图所示，由已知a∥b，所以过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α.即过a，b，l有且只有一个平面．

[探究共研型]

点共线与线共点问题

探究1　如图213，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？

图213

【提示】　如图，连接BD1，

∵A1C∩平面ABC1D1＝E，

∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.

∵A1C⊂平面A1BCD1，

∴E∈平面A1BCD1.

探究2　上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？

【提示】　由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线．

　如图214，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：

D，A，Q三点共线.【导学号：

97602006】

图214

【精彩点拨】　欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可．

【自主解答】　∵MN∩EF＝Q，

∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，

又∵M∈直线CD，N∈直线AB，

CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.

∴M、N∈平面ABCD，

∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.

同理，可得EF⊂平面ADD1A1.

∴Q∈平面ADD1A1，

又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，

∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线．

点共线与线共点的证明思路

1．点共线的思路：

证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上．

2．线共点的思路：

先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上．

[再练一题]3．如图215，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：

E，F，G，H四点必定共线.

图215

【证明】　∵AB∥CD，

∴AB，CD确定一个平面β，

又∵AB∩α＝E，AB⊂β，

∴E∈α，E∈β，

即E为平面α与β的一个公共点．

同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，

∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，

∴E，F，G，H四点必定共线．

1．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”，正确的是（　　）

A．A∈l，l∉α　B．A∈l，l⊄α

C．A⊂l，l⊄αD．A⊂l，l∉α

【解析】　点与直线，直线与平面间的关系分别用“∈或∉”和“⊂或⊄”表示．

2．下列说法中正确的个数为（　　）

①三角形一定是平面图形；

②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；

③圆心和圆上两点可确定一个平面；

④三条平行线最多可确定三个平面．

A．1B．2

C．3D．4

【解析】　③中若圆心和圆上两点共线时，可以作出无数个平面，故①②④正确，故选C.

【答案】　C

3．设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.

【解析】　∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.

4．有以下三个说法：

①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；

②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；

③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交．

其中正确的序号是________．

【解析】　若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；

直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②错误；

由a与b相交，说明两个平面有公共点，因此一定相交，故③正确．

【答案】　①③

5．如图216，已知平面α，β，且α∩β＝l.在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：

AB，CD，l共点（相交于一点）．

图216

【证明】　∵梯形ABCD，AD∥BC，

∴AB，CD是梯形ABCD的两腰，

∴AB，CD必定相交于一点．

如图，设AB∩CD＝M.

又∵AB⊂α，CD⊂β，

∴M∈α，且M∈β，

∴M∈α∩β，

又∵α∩β＝l，

∴M∈l，

即AB，CD，l共点．

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

1．了解空间中两条直线的三种位置关系，理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线．

2．理解平行公理（公理4）和等角定理．（重点）

3．会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角．（难点、易错点）

教材整理1　空间直线的位置关系

阅读教材P44～P45“探究”以上的内容，完成下列问题．

1．异面直线

（1）定义：

把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．

（2）画法：

（通常用平面衬托）

图2110

2．空间两条直线的位置关系

（1）两条直线无公共点，则这两条直线平行．（　　）

（2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行．（　　）

（3）过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线．（　　）

（4）和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线．（　　）

【解析】　

（1）错误．空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面．

（2）正确．因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：

平行、相交或异面．

（3）错误．过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线．

（4）错误．和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线．

（2）√　（3）×

　（4）×

教材整理2　公理4及等角定理

阅读教材P45“探究”以下至P46倒数第7行的内容，完成下列问题．

1．公理4

文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．

符号表述：

⇒a∥c.

2．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°

，则∠PQR等于（　　）

A．30°

B．30°

或150°

C．150°

D．以上结论都不对

【解析】　因为AB∥PQ，BC∥QR，

所以∠PQR与∠ABC相等或互补．

因为∠ABC＝30°

，所以∠PQR＝30°

.

教材整理3　异面直线所成的角

阅读教材P46下面的两个自然段至P47“探究”以上的内容，完成下列问题．

1．定义：

已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）．

2．异面直线所成的角θ的取值范围：

0°

<

θ_≤90°

3．当θ＝90°

时，a与b互相垂直，记作a⊥b.

如图2111，正方体ABCDA′B′C′D′中异面直线A′B′与BC所成的角为________．异面直线AD′与BC所成的角为________．

图2111

【解析】　∵A′B′∥AB，

∴∠ABC为A′B′与BC所成的角，又∠ABC＝90°

，∴A′B′与BC所成的角为90°

∵BC∥AD，∴∠D′AD为AD′与BC所成的角，因为∠D′AD＝45°

，故AD′与BC所成的角为45°

【答案】　90°

　45°

空间两直线位置关系的判定

　如图2112，正方体ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：

图2112

①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；

②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；

③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；

④直线AB与直线B1C的位置关系是________．

【精彩点拨】　判断两直线的位置关系，主要依据定义判断．

【自主解答】　根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；

点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”．同理，直线AB与直线B1C“异面”．所以②④都应该填“异面”；

直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”．

【答案】　①平行　②异面　③相交　④异面

1．判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．

2．判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面．

1．

（1）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则（　　）

A．a∥c　B．a、c是异面直线

C．a、c相交D．a、c平行或相交或异面

（2）若直线a、b、c满足a∥b，a、c异面，则b与c（　　）

A．一定是异面直线

B．一定是相交直线

C．不可能是平行直线

D．不可能是相交直线

【解析】　

（1）若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面．

（2）若a∥b，a、c是异面直线，那么b与c不可能平行，否则由公理4知a∥c.

【答案】　

（1）D　

（2）C

公理4、等角定理的应用

　如图2113，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．

图2113

（1）求证：

四边形BB1M1M为平行四边形；

（2）求证：

∠BMC＝∠B1M1C1.

【精彩点拨】　

（1）欲证四边形BB1M1M是平行四边形，可证其一组对边平行且相等；

（2）可结合

（1）利用等角定理证明或利用三角形全等证明．

【自主解答】　

（1）∵ABCDA1B1C1D1为正方体．

∴AD＝A1D1，且AD∥A1D1，

又M、M1分别为棱AD、A1D1的中点，

∴AM＝A1M1且AM∥A1M1，

∴四边形AMM1A1为平行四边形，

∴M1M＝AA1且M1M∥AA1.

又AA1＝BB1且AA1∥BB1，

∴MM1＝BB1且MM1∥BB1，

∴四边形BB1M1M为平行四边形．

（2）法一　由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1∥BM.

同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，

∴C1M1∥CM.

由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．

∴∠BMC＝∠B1M1C1.

法二　由

（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，

∴B1M1＝BM.

∴C1M1＝CM.

又∵B1C1＝BC，∴△BCM≌△B1C1M1，

1．空间两条直线平行的证明

一是定义法：

即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点；

二是利用平面图形的有关平行的性质，如三角形中位线，梯形，平行四边形等关于平行的性质；

三是利用公理4：

找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．

2．求证角相等

一是用等角定理；

二是用三角形全等或相似．

2．如图2114，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．

图2114

求证：

（1）四边形MNA1C1是梯形；

（2）∠DNM＝∠D1A1C1.

【证明】　

（1）如图，连接AC，在△ACD中，

∵M，N分别是CD，AD的中点，

∴MN是△ACD的中位线，

∴MN∥AC，MN＝

AC.

由正方体的性质得：

AC∥A1C1，AC＝A1C1.

∴MN∥A1C1，且MN＝

A1C1，

即MN≠A1C1，

∴四边形MNA1C1是梯形．

（2）由

（1）可知MN∥A1C1.

又∵ND∥A1D1，∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补．

而∠DNM与∠D1A1C1均为锐角，

∴∠DNM＝∠D1A1C1.

求异面直线所成的角

探究1　已知直线a，b是两条异面直线，如图2115，如何作出这两条异面直线所成的角？

图2115

【提示】　如图，在空间中任取一点O，作直线a′∥a，b′∥b，则两条相交直线a′，b′所成的锐角（或直角）角θ即两条异面直线a，b所成的角．

探究2　异面直线a与b所成角的大小与什么有关，与点O的位置有关吗？

通常点O取在什么位置？

【提示】　异面直线a与b所成角的大小只由a，b的相互位置有关，与点O的位置选择无关，一般情况下为了简便，点O常选取在两条异面直线中的一条上．

　如图2116，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E、F分别是AB、CD的中点，若EF＝

，求异面直线AD、BC所成角的大小．

图2116

【精彩点拨】　根据求异面直线所成角的方法，将异面直线AD、BC平移到同一平面上解决．

【自主解答】　如图，取BD的中点M，连接EM、FM.

因为E、F分别是AB、CD的中点，

所以EM綊

AD，FM綊

BC，

则∠EMF或其补角就是异面直线AD、BC所成的角．

因为AD＝BC＝2，所以EM＝MF＝1，

在等腰△MEF中，过点M作MH⊥EF于H，

在Rt△MHE中，EM＝1，EH＝

EF＝

，

则sin∠EMH＝

，于是∠EMH＝60°

则∠EMF＝2∠EMH＝120°

所以异面直线AD、BC所成的角为∠EMF的补角，即异面直线AD、BC所成的角为60°

求两异面直线所成的角的三个步骤

1．作：

根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角．

2．证：

证明作出的角就是要求的角．

3．计算：

求角的值，常利用解三角形得出．

可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角θ的取值的范围是0°

θ≤90°

3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，求A1B与B1D1所成的角．

【解】　如图，连接BD、A1D，

∵ABCDA1B1C1D1是正方体，

∴DD1綊BB1，

∴四边形DBB1D1为平行四边形，

∴BD∥B1D1.

∵A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，

∴A1B＝BD＝A1D，△A1BD是正三角形，

∴∠A1BD＝60°

∵∠A1BD是锐角，

∴∠A1BD是异面直线A1B与B1D1所成的角，

∴A1B与B1D1所成的角为60°

1．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l（　　）

A．平行　　B．相交

C．垂直D．互为异面直线

【解析】　不论l∥α，l⊂α还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.

2．下列命题中，正确的结论有（　　）

①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；

②如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等；

③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；

④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．

A．1个B．2个

C．3个D．4个

【解析】　由公理4及等角定理知，只有②④正确．

3．已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°

，则β＝________.

【解析】　由等角定理可知β＝135°

【答案】　135°

4．在长方体ABCDA1B1C1D1中，与棱AA1垂直且异面的棱有________.

【解析】　如图，与棱AA1垂直且异面的棱有DC，BC，D1C1，B1C1.

【答案】　DC，BC，D1C1，B1C1

5．如图2117所示，空间四边形ABCD中，AB＝CD，AB⊥CD，E、F分别为BC、AD的中点，求EF和AB所成的角．

图2117

【解】　取AC的中点G，连接EG，FG，

则FG∥CD，EG∥AB，

所以∠FEG即为EF与AB所成的角，

且FG＝

CD，EG＝

AB，

所以FG＝EG.

又由AB⊥CD得FG⊥EG，

所以∠FEG＝45°

故EF和AB所成的角为45°

2.1.3　空间中直线与平面之间的位置关系

2.1.4　平面与平面之间的位置关系

1．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．（重点、易错点）

2．了解不重合的两个平面之间的两种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示．（难点）

教材整理1　直线与平面的位置关系

阅读教材P48～P49的内容，完成下列问题．

位置关系

直线a在平面α内

直线a与平面α相交

直线a与平面α平行

公共点

有无数个公共点

有且只有一个公共点

没有公共点

符号表示

a⊂α

a∩α＝A

a∥α

图形表示

（1）若直线与平面不相交，则直线与平面平行．（　　）

（2）过一点有且只有一条直线与已知直线平行．（　　）

（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（　　）

（4）过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行．（　　）

【解析】　

（1）错误．若直线与平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，故

（1）错．

（2）错误．当点在已知直线上时，不存在过该点的直线与已知直线平行，故

（2）错．

（3）错误．由于垂直包括相交垂直和异面垂直，因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条，故（3）错．

（4）错误．过棱柱的上底面内的一点任意作一条直线都与棱柱的下底面平行，所以过平面外一点与已知平面平行的直线