圆周运动文档格式.docx

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二、重、难点剖析

1．物体做圆周运动条件

（1）物体做曲线运动的条件：

物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在一条直线上。

注意：

曲线上某点的切线方向就是物体在该点时的瞬时速度的方向。

由于曲线运动中速度方向不断变化，因此曲线运动是变速运动，一定具有加速度。

（2）物体做匀速圆周运动的条件：

做匀速圆周运动的物体所受合外力大小不变，方向总是和速度方向垂直并指向圆心。

2．描述圆周运动的动力学物理量—向心力

（1）向心力来源：

向心力是做匀速圆周运动的物体所受外力的合力。

向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种特殊的性质力。

向心力可以是某一个性质力，也可以是某一个性质力的分力或某几个性质力的合力。

例如水平转盘上跟着匀速转动的物体由静摩擦力提供向心力；

带电粒子垂直射入匀强磁场中做匀速圆周运动，由洛仑兹力提供向心力；

电子绕原子核旋转由库仑力提供向心力；

圆锥摆由重力和弹力的合力提供向心力。

做非匀速圆周运动的物体，其向心力为沿半径方向的外力的合力，而不是物体所受合外力。

（2）向心力大小：

根据牛顿第二定律和向心加速度公式可知，向心力大小为：

其中r为圆运动半径。

（3）向心力的方向：

总是沿半径指向圆心，与速度方向永远垂直。

（4）向心力的作用效果：

只改变线速度的方向，不改变线速度的大小。

三、典型例题解析

例1．某质点在恒力F的作用下从A点沿曲线运动到B点，到达B点后，质点受到的力大小仍为F，但方向相反，则它从B点开始的运动轨迹可能是图3－2中的（）

图3－2

A．曲线aB．曲线b

C．曲线cD．以上三条曲线都不可能

分析：

图3－2中直线b应在B点的切线方向上，即质点运动到B点的速度方向与直线b重合。

因为曲线AB向右弯曲，依据物体做曲线运动的条件，质点所受的恒力F应沿直线b右下方的某个方向。

当质点到达B点后力F方向变为与原方向相反，即沿直线b左上方的某个方向。

由此可以判定质点从B点开始的运动轨迹可能是曲线a。

解答：

选项A正确。

解决这类问题的关键是弄清运动和力的关系，抓住物体做曲线运动的条件。

曲线应从速度和合力中间穿过，并从速度方向向合力方向弯曲，且曲线某时刻的切线方向不可能与该时刻的加速度方向相同。

四、针对训练

1．质点沿如图3－3所示的轨道由A点到B点做曲线运动，速度逐渐减小，图中能正确的表示质点在C处受力的是（）

图3－3

2．一个质点受到两个互成锐角的力F1、F2的作用，由静止开始运动，若保持二力方向不变，将F1突然增大为F1＋∆F，则质点此后（）

A．一定做匀变速曲线运动

B．在相等的时间里速度变化一定相等

C．可能做匀速直线运动

D．可能做变加速直线运动

3．如图3－4所示的皮带转动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，RA∶RC＝1∶2，RA∶RB＝2∶3。

假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点的角速度之比是______；

线速度之比是______；

向心加速度之比是______。

图3－4

第二节圆周运动的实例分析

1．如图3－5所示．用细绳一端系着质量为m的物体A静止在水平转盘上，绳的另一端固定在转盘的中心轴O上，A的重心到O点的距离为r，若A与转盘间的最大静摩擦力为fm，细绳能够承受的最大拉力为Tm。

图3－5

（1）当圆盘转动的角速度为多大时，细绳刚要受到拉力作用?

（2）欲使细绳不断，物体A始终相对于圆盘静止，转盘绕中心O旋转的角速度ω的取值范围。

（重力加速度为g）．

2．如图3－6所示，质量为m的物体均在竖直平面内做圆周运动，物体通过最低点或最高点时速率均为v。

甲图中绳长为l，乙、丙图中轨道半径为R。

图3－6

（1）甲图中绳的张力为___________，乙图中物体受到的支持力为___________，丙图中物体受到的支持力为___________。

（2）若乙图中物体与轨道间的动摩擦因数为μ时，物体受到的摩擦力为___________。

1．水平面内匀速圆周运动

（1）同一直线上力的合力提供向心力：

物体随水平圆板一起转动，静摩擦力提供向心力，

；

物体在拉力作用下随水平圆板一起转动，静摩擦力和拉力的合力提供向心力，如F－

等。

（2）不在同一直线上力的合力提供向心力：

利用平行四边形定则求合力，其方向指向圆心。

如圆锥摆和火车转弯需要的向心力等。

2．竖直面内的圆周运动

（1）凹桥凸桥模型

小车通过凸桥顶端时，

，桥对车的支持力小于车的重力，当车速度等于某一速度时，桥对车的支持力等于零，这一速度为v临界＝

小车通过凹桥底部时，

，桥对车的支持力大于车的重力。

（2）绳子（轨道内侧）约束模型

运动物体通过最高点的临界条件：

绳子或外轨道对小球刚好没有弹力作用，重力提供向心力，

，v临界＝

（可理解为恰好转过或恰好转不过）；

能过最高点条件：

v≥

v临界；

不能过最高点条件：

v＜v临界。

（3）轻杆（光滑管）约束模型

①v临界1＝0，轻杆或轨道对物体有支持力，不会脱离轨道，有一很小的速度，就能通过最高点。

②轻杆或管道对物体刚好没有作用力的条件：

，v临界2＝

③物体通过最高点时的速度

时，轻杆或轨道对物体有支持力，

④物体通过最高点时的速度

时，轻杆或轨道对物体有拉力，

（4）物体在竖直平面内作匀速圆周运动的条件：

物体所受合力大小不变，方向指向圆心。

1．一般竖直面内的圆周运动，物体所受的合外力除了具有与速度垂直的法向力以外，还有沿速度方向的切向力，那么物体的速度不仅方向变化，大小也会变化。

对此，高考只要求解决在最高点和最低点这两个特殊位置上的动力学问题。

在最高点和最低点，关系式

依然适用，只是不同位置对应不同的v或ω而已。

2．竖直平面内圆周运动的临界问题：

由于物体在竖直平面内做圆周运动的依托物（绳、轻杆、轨道、管道等）不同，所以物体在通过最高点时临界条件不同。

如图3－7所示，由于绳对球只能产生沿绳收缩方向的拉力，所以小球通过最高点的临界条件是：

向心力只由重力提供，即

，则有临界速度v＝

只有当v≥

时，小球才能通过最高点。

图3－7

如图3－8所示，由于轻杆对球既能产生拉力，也能产生支持力，所以小球通过最高点时合外力可以为零，因此小球在最高点的最小速度为零。

这样v＝

就变成了小球所受弹力方向变化的临界值，即当v＜

时，小球受向上的弹力；

当v＝

时，球和杆之间无相互作用力；

当v＞

时，球受向下的弹力。

图3－8

可见，物体在最高点的最小速度决定于物体在最高点受的最小合外力，不同情况下的最小合外力决定了不同情况下的最小速度。

例1．如图3－9中圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点，轨道的切线是水平的。

一质点自A点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚到达B点时的加速度大小为______，刚滑过B点时的加速度大小为____________。

（重力加速度为g）

图3－9

质点由A到B的过程中，支持力不做功，只有重力做功，所以机械能守恒，由此可求出质点到达B点时的速度。

在质点刚到达B点时，其运动规律满足圆运动规律（是圆运动终点），此刻质点的加速度即为运动到该点的向心加速度。

在质点刚滑过B点时，其运动规律满足平抛运动规律（是平抛运动起点），此刻质点的加速度由重力产生，即为重力加速度。

设圆弧半径为R，质点的质量为m，由机械能守恒定律可求出质点到达B点时的速度v，即：

，解得：

v2＝2gR。

质点在B点的向心加速度a＝v2/R＝2g。

质点刚滑过B点时，由于只受重力，所以其加速度为g。

1．竖直面内的圆周运动往往伴随着机械能的转化。

利用机械能守恒定律，可以找到圆运动上各点间的速率关系，便于求解圆运动的其它问题。

2．注意力作用的瞬时性。

在质点刚到达B点时，圆弧轨道仍然给质点竖直向上的支持力，它和质点的重力的合力提供向心力，质点的运动仍为圆运动。

在质点刚过B点时，圆弧轨道不与质点接触，没有了支持力，质点只受重力，且具有水平方向的初速度，质点开始做平抛运动。

3．我们应该紧紧抓住运动和力关系，正确判断物体运动形式。

例2．如图3－10所示，支架的质量为M，转轴O处用长为L的轻绳悬挂一质量为m的小球。

若小球在竖直平面内做圆周运动，到达最高点时，恰好支架对地面无压力。

设M＝3m。

求：

图3－10

（1）小球在最高点时的速度大小是多少?

（2）支架对地面的最大压力是多少?

（不计阻力、重力加速度为g）

依据题意：

当小球运动到最高点时，受绳给它的拉力，大小为Mg，方向竖直向下。

此时小球还受竖直向下的重力mg。

依据向心力公式可以求解速度。

当小球运动到最低点时，绳对小球的拉力最大，且此时支架的受力为：

竖直向下的重力、绳对支架竖直向下的拉力和地面给支架的支持力。

因为此时绳对支架竖直向下的拉力等于绳对小球的最大拉力，所以此时地面给支架的支持力最大，依据牛顿第三定律可知此时支架对地面的压力最大。

（1）设当小球运动到最高点时，其运动速度为v1，绳对小球的拉力为T1，则

∵

T1＝Mg＝3mg

∴小球在最高点时的速度大小

（2）设当小球运动到最低点时，其速度大小为v2，绳对小球的拉力为T2，此时地面对支架的支持力大小为Nm，则根据牛顿第二定律，

对小球：

对支架：

Nm＝Mg＋T2＝3mg＋T2；

又依据机械能守恒定律知：

∴Nm＝12mg

依据牛顿第三定律可知：

支架对地面的最大压力为12mg。

本题综合运用了牛顿运动定律、圆周运动规律和机械能守恒定律。

分析时要注意把握研究对象的变化，以及绳子给支架和小球的力在大小和方向上的关系。

我们还可以深入去思考，若小球做圆运动刚好能通过最高点，则小球运动到最高点的速度是否能为零?

此时支架对地面的压力为多大?

若小球运动到最高点时绳子突然断了，则小球将做什么运动？

（提示：

不能；

3mg；

平抛运动）

1．质量为m的物体系在轻弹簧的一端，弹簧的另一端固定在转轴上。

弹簧的自由长度为L0，劲度系数为k。

使物体在光滑水平支持面上以角速度ω做匀速圆周运动，求此时弹簧的长度。

2．如图3－11所示，一转盘可绕其竖直轴在水平面内转动，转动半径为R，在转台边缘放一物块A，当转台的角速度为ω0时，物块刚能被甩出转盘。

若在物块A与转轴中心O连线中点再放一与A完全相同的物块B（A、B均可视为质点），并用细线相连接。

当转动角速度ω为多大时，两物块将开始滑动？

图3－11

3．某人站在水平地面上，用手握住细绳的一端，绳的另一端拴住一石头，石头以手为圆心在竖直面内做圆周运动，则（）

A．石头在最高点的向心加速度可以小于g

B．石头所受合力方向总是指向圆心

C．石头速度方向总是沿各点切线方向

D．石头运动到最低点时比到最高点时人对地面的压力大

4．如图3－12所示，一细圆管弯成的开口圆环，环面处于一竖直平面内。

一光滑小球从开口A处进入管内，并恰好能通过圆环的最高点。

则下述说法正确的是（）

图3－12

A．球在最高点时对管的作用力为零

B．小球在最高点时对管的作用力为mg

C．若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力一定增大

D．若增大小球的初速度，则在最高点时球对管的力可能增大

第三节万有引力定律与天体运动

（一）

人造地球卫星的质量为m，环绕地球做匀速圆周运动的半径为r，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，则：

（1）此卫星做匀速圆周运动的向心力F等于___________；

（2）此卫星的向心加速度a与轨道半径r的关系是___________；

（3）此卫星的环绕速度v与轨道半径r的关系是___________；

（4）此卫星的角速度ω与轨道半径r的关系是___________；

（5）此卫星的环绕周期T与轨道半径r的关系是___________。

1．万有引力定律的普遍性和适用条件

万有引力定律是自然界中一条普遍规律。

无论是宏观的庞大天体，还是微观的原子、电子；

无论是有生命的物体，还是无生命的物体；

万有引力都存在。

公式

用于质点或均匀球体时，式中的r是两个质点间的距离或两个均匀球体的球心间的距离。

2．分析天体（卫星）运动的基本思路

（1）通用方程式：

把天体的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力都是来自万有引力，即

应用时根据实际情况选用适当的公式进行分析。

（2）常用的一个代换：

在地球表面或地球表面附近的物体，在不计地球自转的条件下，物体所受重力近似等于万有引力，即

，所以，GM＝gR2（此关系式要用到时，需先推导）。

1．人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行，为使问题简化，我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。

2．重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的。

由于地球自转，地面上的物体随地球一起做匀速圆周运动，其旋转中心是地轴上的某点。

旋转时所需向心力由万有引力的一个分力提供，另一个分力就是重力。

但重力和万有引力差别很小，一般可认为二者相等。

3．卫星的向心加速度a心、绕行速度v、角速度ω、周期T都与轨道半径r有关：

由

，得

，可见r越大，a心越小。

，可见r越大，v越小。

当卫星贴地球表面绕行时，其速度最大，约为7.9km/s；

，可见r越大，ω越小；

，可见r越大，T越大。

当卫星贴地球表面绕行时，其周期最短，约为84分钟。

以上分析说明，轨道半径r是关键量，解决这类问题，抓住半径，就抓住了解题的关键。

例1．已知地月距离r＝60R（R为地球半径），计算月球绕地球公转的向心加速度g′。

地球表现的重力加速度为g＝9.8m/s2。

我们认为月球所受地球的万有引力等于它绕地球公转的向心力，由此可以找到向心加速度的表达式，从而求解。

在地球表面上的物体所受的万有引力，在忽略自转影响的情况下，等于物体质量与引力加速度的乘积，从而求解。

设月球质量为m，地球质量为M，则由万有引力定律和向心加速度公式有

①

对于地球表面上质量为m0的物体，在忽略地球自转影响的情况下，重力等于地球对它的万有引力，即

②

联立①、②两式可解得

1．由关系式

可知：

其中的g即是绕行物体圆运动的向心加速度，又是中心天体的引力加速度（对地球来讲，就是重力加速度）。

可以看到，随绕行物体圆运动半径的增大（即随绕行物体距天体表面高度的增大），绕行物体所在处的引力加速度逐渐变小，且与绕行物体的质量无关。

2．在地球表面引力加速度g＝9.8m/s2，所以前面关系式可以变形为GM＝gR2（M为地球质量，R为地球半径）。

这是一个重要的关系式，常常用在不知地球质量，却已知地球半径时进行替换。

3．特别注意关系式中的质量符号分别代表哪个天体的质量，这是一个易错点。

4．在一些天体运行方面的估算题中，要注意隐含条件，例如地球自转周期为24小时，公转周期365天，月球绕地球运动的周期约为30天等。

例2．可以发射一颗这样的人造地球卫星，使其圆轨道（）

A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面同心圆

B．与地球表面上某一经度线所决定的圆是共面同心圆

C．与赤道表面的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地球表面是静止的

D．与赤道表面的赤道线是共面同心圆，但卫星相对地球表面是运动的

只有参与地球自转的物体的运行轨道才可能与某一纬度线（非赤道）是共面同心圆，而人造地球卫星的圆轨道必须以地心为圆心，所以选项A错误。

若发射一颗极地卫星，其圆轨道必永远与赤道平面垂直，而某一经度线所决定的圆是随地球自转而转动的，所以选项B错误。

不论发射的是否为同步卫星，只要其圆轨道与赤道表面的赤道线是共面同心圆，其圆心都为地心，都是可以实现的。

这其中只有同步卫星（距地表高度为36000km）是相对地球表面静止的，其它高度上的卫星相对地球表面是运动的。

所以选项C、D正确。

选项C、D正确。

本题是一道关于卫星轨道的问题，在这个问题上容易造成概念模糊。

卫星的轨道不论是同步轨道、极地轨道还是任意轨道，其圆心必为地心，只有这样万有引力作为向心力才能时刻指向圆心。

1．把太阳系各行星的运动近似看作匀速圆周运动，则离太阳越远的行星（）

A．周期越小B．线速度越小

C．角速度越小D．加速度越小

2．人造卫星环绕地球运转的速率

，其中g为地球表面的重力加速度，R为地球半径，r为卫星离地球中心的距离。

下面说法正确的是（）

A．从

可知，v与轨道半径的平方根成正比

B．从

可知，v与轨道半径的平方根成反比

C．从

可知，把人造卫星发射到越远的地方越容易

D．环绕速度表达式

是错误的

3．设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球、月球仍可看作是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前相比（）

A．地球与月球间的万有引力将变大B．地球与月球间的万有引力将变小

C．月球绕地球运动的周期将变大D．月球绕地球运动的周期将缩短

4．绕地球表面运行卫星的周期约为84min，试求该卫星圆运动的向心加速度是地球赤道上物体向心加速度的多少倍？

第四节万有引力定律与天体运动

（二）

1．月亮绕地球做匀速圆周运动，已知地球的半径为R，月亮绕地球运行的轨道半径为r，周期为T，地球表面上的重力加速度为g，万有引力常数为G。

（1）由以上数据可求出地球质量为________________________；

（2）地球的平均密度为________________________。

2．我国在1984年4月8日发射了一颗试验通讯卫星，1986年2月1日又成功地发射了一颗实用通讯卫星，它们进入预定轨道后，这两颗卫星的运行周期之比T1∶T2＝_______

__；

轨道半径之比R1∶R2＝__________；

绕地球公转角速度之比ω1∶ω2＝__________。

1．利用万有引力定律计算天体的质量和密度

（1）计算天体质量

方法一：

利用天体表面重力加速度g和天体半径R求天体的质量

在不计天体自转的条件下，

方法二：

利用天体的卫星周期T（或线速度）和轨道半径r求天体的质量

根据万有引力提供向心力

，所以，

，或

（2）计算天体密度

天体的密

度，把上面天体质量的表达式带入，可以得到计算天体密度的表达式。

2．三种宇宙速度

（1）第一宇宙速度（环绕速度）：

v＝7.9km/s（成为地球卫星的最小发射速度）；

（2）第二宇宙速度（脱离速度）：

v＝11.2km/s（卫星挣脱地球束缚的最小发射速度）；

（3）第三宇宙速度（逃逸速度）：

v＝16.7km/s（卫星挣脱太阳束缚的最小发射速度）。

3．双星问题

两颗质量分别为m1与m2靠得较近的天体，离其他天体非常遥远，它们绕两者连线上某点O各自做半径为r1与r2的匀速圆周运动，两者的角速度相等，两者之间的距离保持不变。

这种天体称为双星，如图3－13所示。

图3－13

双星不致由于引力作用而吸引在一起是由于有运行速度，它们之间的引力提供做圆周运动的向心力。

即

4．卫星的超重和失重

卫星的“超重”是卫星进入轨道前加速过程中，卫星上的物体“超重”；

卫星的“失重”是卫星进入轨道后正常运转时，卫星上的物体为完全“失重”，此时重力提供向心力，因此，在卫星上的仪器，凡是制造原理与重力有关的均不能正常使用。

1．万有引力提供卫星圆周运动的向心力

人造地球卫星一般是沿椭圆轨道运行，为使问题简化，我们认为卫星以一个恰当的速率绕地心做匀速圆周运动，地球对它的万有引力提供它圆运动所需向心力。

2．运行速度和发射速度

对于人造地球卫星，由

得

是人造地球卫星在圆轨道上的运行速度，其大小随轨道的半径增大而减小。

由于人造地球卫星在发射过程中要克服地球引力做功，增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道上，在地面所需的发射速度却越大。

3．第一宇宙速度的推导

关于第一宇宙速度的两种推导方法：

（1）由

，R为地球半径，M为地球质量，可得第一宇宙速度

（2）由

，g为地表重力加速度，R为地球半径，可得第一宇宙速度

4．地球同步卫星的特点

所谓同步卫星是指卫星与地球以同一角速度旋转，相对地球静止，则卫星运行周期等于地球自转周期24小时。

为了维持这种同步状态，卫星的轨道平面必定与地球的赤道平面重合。

通过计算可知，地球同步卫星的轨道高度，在赤道上空36000km处。

例1．在天体演变的过程中，红色巨星发生“超新星爆炸”后，可以形成中子星（电子被迫同原子核中的质子相结合而形成中子），中子星具有极高的密度。

（1）若已知该中子星的卫星运行的最小周期为1.2×

10－3s，求该中子星的密度；

（2）中子星也绕自转轴自转，为了使该中子星不因自转而被瓦解，则其自转角速度最大不能超过多少？

（1）中子星的卫星绕中子星做圆周运动，万有引力提供向心力

由此可知T2∝r3，说明轨道半径越小，卫星的周期越小，故对应卫星运行的最小周期，r＝R。

（R为中子星的半径）

（2）中子星的各个部分都绕其自转轴做匀速圆周运动，由F＝mω2r知，其“赤道”表面处部分做匀速圆周运动所需向心力最大，因此，只要“赤道”表面处不发生瓦解，其它部分也一定不发生瓦解。

对应的临界条件就是：

中子星“赤道”表面处质点所受万有引力等于其所需要的向心力。

（1）对于中子星的卫星，因万有引力提供向心力，设中子星质量为M，半径为R，其卫星的质量为m，根据向心力公式有：

解得：

由密度