名师整理最新中考数学专题复习《用因式分解法解一元二次方程》精品教案Word文档格式.docx

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例1.用因式分解法解下列方程：

（1）5x2＋3x＝0；

（2）7x（3－x）＝4（x－3）；

（3）9（x－2）2＝4（x＋1）2．

分析：

（1）左边＝x（5x＋3），右边＝0；

（2）先把右边化为0，7x（3－x）－4（x－3）＝0，找出（3－x）与（x－3）的关系；

（3）应用平方差公式．

解：

（1）因式分解，得x（5x＋3）＝0，

于是得x＝0或5x＋3＝0，

x1＝0，x2＝－

；

（2）原方程化为7x（3－x）－4（x－3）＝0，

因式分解，得（x－3）（－7x－4）＝0，

于是得x－3＝0或－7x－4＝0，

x1＝3，x2＝－

（3）原方程化为9（x－2）2－4（x＋1）2＝0，

因式分解，得

[3（x－2）＋2（x＋1）][3（x－2）－2（x＋1）]＝0，

即（5x－4）（x－8）＝0，

于是得5x－4＝0或x－8＝0，

x1＝

，x2＝8．

评析：

（1）用因式分解法解一元二次方程的关键有两个：

一是要将方程右边化为0，二是熟练掌握多项式的因式分解．

（2）对原方程变形时不一定要化为一般形式，要从便于分解因式的角度考虑，但各项系数有公因数时可先化简系数．

例2.选择合适的方法解下列方程．

（1）2x2－5x＋2＝0；

（2）（1－x）（x＋4）＝（x－1）（1－2x）；

（3）3（x－2）2＝x2－2x．

（1）题宜用公式法；

（2）题中找到（1－x）与（x－1）的关系用因式分解法；

（3）题中x2－2x＝x·

（x－2）用因式分解法．

（1）a＝2，b＝－5，c＝2，

b2－4ac＝（－5）2－4×

2×

2＝9＞0，

x＝

＝

，

x1＝2，x2＝

（2）原方程化为（1－x）（x＋4）＋（1－x）（1－2x）＝0，

因式分解，得（1－x）（5－x）＝0，

即（x－1）（x－5）＝0，

x－1＝0或x－5＝0，

x1＝1，x2＝5；

（3）原方程变形为3（x－2）2－x（x－2）＝0，

因式分解，得（x－2）（2x－6）＝0，

x－2＝0或2x－6＝0，

x1＝2，x2＝3．

（1）解一元二次方程的几种方法中，如果不能直接由平方根定义解得，首先考虑的方法通常是因式分解法，对于不易分解的应考虑公式法，而配方法比较麻烦．公式法、配方法一般可以解所有一元二次方程．

例3.已知（a2＋b2）2－（a2＋b2）－6＝0，求a2＋b2的值．

若把（a2＋b2）看作一个整体，则已知条件可以看作是以（a2＋b2）为未知数的一元二次方程．

设a2＋b2＝x，则原方程化为x2－x－6＝0．

a＝1，b＝－1，c＝－6，b2－4ac＝1

2－4×

（－6）×

1＝25＞0，

，∴x1＝3，x2＝－2．

即a2＋b2＝3或a2＋b2＝－2，

∵a2＋b2≥0，∴a2＋b2＝－2不合题意应舍去，取a2＋b2＝3．

（1）本题求的是a2＋b2，而题中条件是关于a2＋b2的，把a2＋b2看成一个整体是一个朴素的数学思想，能帮助我们解决一些较“麻烦”的问题．

（2）根据非负数的性质有a2＋b2≥0，在做题时要注意隐含条件．

例4.

（1）当代数式x2＋7x＋6的值与x＋1的值相同时，x的值为多少？

（2）方程x2＋2x－8＝0的正整数解为几？

（1）两个代数式值相等，即x2＋7x＋6＝x＋1，解这个方程可得x的值；

（2）先解出方程的两个根再看其中的正整数根．

（1）x2＋7x＋6＝x＋1，

x2＋6x＋5＝0，

a＝1，b＝6，c＝5，b2－4ac＝16＞0．

所以x＝

x1＝－1，x2＝－5，

所以x的值为－1或－5．

（2）解方程x2＋2x－8＝0，

a＝1，b＝2，c＝－8，

b2－4ac＝22－4×

1×

（－8）＝36＞0，

＝－1±

3，

x1＝2，x2＝－4．

所以方程x2＋2x－8＝0的正整数解为2．

（1）题中涉及代数式的值的问题，实质上方程就是表示含有未知数的两个代数式的值相等的式子；

（2）题中方程用了公式法，用因式分解法也很方便．

例5.用一根长40cm的铁丝围成一个面积为91cm2的矩形，问这个矩形长是多少？

若围成一个正方形，它的面积是多少？

设长为xcm，则宽为（

－x）cm，由相等关系长×

宽＝面积列出方程．

设长为x

cm，则宽为（

－x）cm，

由矩形面积等于91cm2，得x·

（

－x）＝91，

解这个方程，得x1＝7，x2＝13．

当x＝7cm时，

－x＝20－7＝13（cm）（舍去）；

当x＝13cm时，

－x＝20－13＝7（cm）．

当围成正方形时，它的边长为

＝10（cm），面积为102＝100（cm2）．

答：

矩形的长为13cm，若围成正方形，则这个正方形的面积为100cm2．

有一些几何面积问题用到一元二次方程，解这类题时要注意一些条件，如习惯上矩形中较长的边称为长，而较短的边称为宽，故本题中取长为13cm，宽为7cm较合适．

例6.解方程2（

－x）2－（x－

）－1＝0．

因为（

－x）2＝（x－

）2，如果把（x－

）看成一个整体，并

设x－

＝y，则原方程化为2y2－y－1＝0，先求出y的值，再反过来求x的值．

＝y，原方程化为2y2－y－1＝0，

a＝2，b＝－1，c＝－1，b2－4ac＝9＞0，

y＝

．

y1＝1，y2＝－

当y＝1时，x－

＝1，x＝

当y＝－

时，x－

＝－

，x＝0．

所以原方程的解是x1＝

，x2＝0

本题如果化成一般形式再求解可能要麻烦些，这里使用了把x－

设为y的做法，回避了很多计算，这种方法叫做换元法．

【方法总结】

1.对某些方程而言因式分解法比较快捷，一般选择方法时应先考虑因式分解法，不适合因式分解法的再考虑其它方法．

2.注意体验类比、转化、降次的数学思想方法．解一元一次方程的基本思路是整理后把未知数的系数化成1；

解一元二次方程的基本思路是通过开平方或因式分解把一元二次方程降次、转化成一元一次方程．

【模拟试题】

（答题时间：

50分钟）

一、选择题

1.方程x（x－1）＝0的根是（）

A.0B.1C.0，－1D.0，1

2.方程9

（x＋1）2－4（x－1）2＝0的正确解法是（）

A.直接开方得3（x＋1）＝2（x－1）

B.化为一般形式13x2＋5＝0

C.分解因式得[3（x＋1）＋2（x－1）][3（x＋1）－2（x－1）]＝0

D.直接得x＋1＝0或x－1＝0

3.解方程（5x－1）2＝3（5x－1）的适当方法是（）

A.直接开方法B.配方法C.公式法D.因式分解法

4.若实数x、y满足（x＋y＋2）（x＋y－1）＝0，则x＋y的值为（）

A.1B.－2C.2或－1D.－2或1

5.方程3x（x－2）＝0的解是（）

A.x1＝3，x2＝2B.x1＝0，x2＝2C.x1＝

，x2＝2D.x1＝0，x2＝－2

*6.若a使得x2＋4x＋a＝（x＋2）2－1成立，则a的值为（）

A.5B.4C.3D.2

*7.如果x2＋x－1＝0，那么代数式x3＋2x2－7的值是（）

A.6B.8C.－6D.－8

**8.已知（x＋y）（1－x－y）＋6＝0，则x＋y的值为（）

A.2B.－3C.－2或3D.2或－3

二、填空题

1.一元二次方程x2－2x＝0的根是__________．

2.方程（x－1）（x＋2）＝2（x＋2）的根是__________．

*3.方程（x－1）（x＋2）（x－3）＝0的根是__________．

4.方程x（2x－1）＝3（2x－1）的根是__________．

*5.使代数式x2＋x－2的值为0的x的值是__________．

6.一个数平方的2倍等于这个数的7倍，这个数是__________．

**7.

三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是方程x2－12x＋20＝0的一个实数根，则三角形的周长是__________．

*8.一元二次方程ax2＋bx＋c＝0，若b＝a＋c，则这个方程必有一根为__________．

三、解答题

1.用因式分解法解下列方程：

（1）（x－2）2－9＝0；

（2）

y2＋y＝0；

（3）2x

（3x＋2）＝9x＋6；

（4）（3x－1）2＝4（x＋2）2．

2.用适当的方法解下列方程：

（1）（5－8x）2＝2；

（2）x2＋8x＝20；

（3）3x2＋2x－3＝0；

（4）（x－1）（x＋2）＝70．

3.试求使代数式（x－7）（x＋3）的值比（x＋5）大10的x的值．

4.审查下面解方程（x－1）2＝2（x－1）的过程回答问题．

方程两边都除以（x－1）得x－1＝2，

∴x＝3．

上述过程对不对，为什么？

*5.直角三角形的三边长是三个连续整数，求这个直角三角形的斜边的长．

【试题答案】

1.D2.C3.D4.D5.B6.C7.C8.C

1.x1＝0，x2＝22.x1＝－2，x2＝33.x1＝1，x2＝－2，x3＝34.x1＝

，x2＝35.x1＝－2，x2＝16.0或

7.24提示：

方程的解为

2或10，当x＝2时，与另两边8和6不能组成三角形应舍去．所以x＝10，三角形周长为24．8.x＝－1

三、解答题

1.

（1）x1＝－1，x2＝5；

（2）y1＝0，y2＝－

（3）x1＝

，x2＝－

（4）x1＝5，x2＝－

2.

（1）x1＝

，x

2＝

（2）x1＝2，x2＝－10；

，x2＝

（4）x1＝8，x2＝－9．

3.根据题意（x－7）（x＋3）－（x＋5）＝10，解得x1＝9，x2＝－4．

4.不对

．当x－1＝0时，原方程成立，此时x＝1；

当x－1≠0时，两边同除以x－1得x－1＝2．即x＝3．所以原方程的解是x1＝1，x2＝3．

5.设斜边长为x，则两直角边分别为x－2，x－1．根据题意可得（x－2）2＋（x－1）2＝x2，解得x1＝1，x2＝5．当x＝1时x－2＝－1，x－1＝0，不符合题意舍去；

当x＝5时x－2＝3

，x－1＝4，所以三角形的斜边长为5．