高中数学新授课教学中学生创造能力培养的策略研究Word下载.docx
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生产生活中的一些问题须用专门的知识来解决。
这是一个大类，采用统一的方法来处理，需要进行专门的介绍和研究。
2.5新授课的结构
新授课的结构图如下：
对于新授课，在提出创新发展的同时，还应体现如下要求：
2.5.1
概念引入过程的直观性和可授受性——创新是自然的
数学概念的产生是多方面的，它可以从现实模型或实例直接反映得来，也可以在一些相对具体的概念的基础上经过多次抽象、概括而产生和发展，而人的认识首先是对客观对象的感觉，因此，在概念引入时，应从实际出发。
从问题入手提出与本概念有明显联系、直观性较强的实际例子，让学生对具体的、直观的问题进行观察，体验。
由感觉过度到知觉。
2.5.2
概念提炼过程的抽象性和概括性——创新是深刻的
对一类事物的多个对象进行观察、比较、分析、综合，抽象出每个对象的各种属性，再通过归纳、概括出各个对象的共同属性加以表述。
由知觉达到表象。
2.5.3
概念定义过程的准确性和严密性——创新是科学的
学生通过观察、比较、抽象、概括出感性材料的本质属性，并尝试修改补充后，在教师的引导下，归纳、叙述、形成简明、准确、严密的定义。
2.5.4
概念巩固过程的层次性和递进性——创新是可持续发展的
我们知道人的认识水平划分为三个层次：
“已知区”，“最近发展区”和“未知区”，这三个层次的关系可以表述如下：
已知区
最近发展区
未知区
人的认识就是在这三个层次之间循环往复，不断转化、螺旋式上升。
概念教学也是如此。
数学概念的发现和发展的训练，是培养学生创新意识的最佳途径之一，是提高学生全面地分析问题、用联系的观点认识事物能力的主要方式之一。
2.5.5
揭示概念产生的规律性——创新是可以学会的
在前四次细化的基础上，要向学生阐明这四个属性的共同特点，总结经验，归纳认知规律，使学生学到自己获得发展和提高的方法，以达到量变到质变的教育教学目的。
三、新授课教学中创新能力培养的策略
策略一平淡之中显神奇，直觉创新占第一
数学家在细致地观察、研究了现实世界中物质的量与量的关系后，发现了许多精妙的结论-————数学定理。
在教学过程中，向学生介绍数学定理的发现历程，让学生体验探索的艰辛和乐趣是数学教育的目的之一。
直觉性思维在提示数学定理、发现数学规律的过程中起到了非常重要的作用。
让学生集中研究某类事物的数量间的内在联系，是提高学生学习数学兴趣，认识数学魅力，培养学生创造意识，主动积极进行科学探索的良好途径和策略。
案例1分类计数原理分步计数原理
这是一个起点型新授课模式：
师生共同探究---提升---应用—巩固。
教师用章头图的实例引出本章研究的主要对象，并给出以下问题（投影例1）
例1．从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么，一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
学生1：
3+2=5。
有5种走法
教师：
好！
方法很直观嘛。
那就再来看一个问题（投影例2）
例２．书架上层有5本不同的文学书，中层放着3本不同的工具书、下层放着不同的6本教学参考书，从中任取一本书的不同取法种数有多少？
学生2
：
5+3+6=14有14种取法
完全正确。
解决两个问题，我们采取了相同的方法。
那么这两个问题的共同点在哪里呢？
学生3：
例1中乘坐任何种类的某一班车，都能完成任务，达到目的地。
例2中取任何种类的某一本书也能完成任务。
两题的共同点是选择任何种类的任何一种方法，都能达到目的完成任务。
精彩。
分析很全面。
谁能概括一下这一规律呢？
学生4：
完成一件事，有几类方法，在第一类办法中有m1中不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的办法……在第n类的办法中有mn种不同的方法。
使用每一类方法中的每一种方法都能完成这件事。
那么完成这件事的方法总数是所有方法数的和。
即m1+m2+……＋mn种方法。
（学生鼓掌）
棒极了。
比课本上的定理还详细。
真是太好了。
那么，我们把刚才得到的这个结论叫做什么定理好呢？
学生：
分类计数原理。
为什么说是“原理”，而不叫“定理”呢？
因为结论很直观，不必证明，也不太好证明。
反正是正确的。
说得有道理。
那么这个原理中，最重要的一句话是什么呢？
很好。
我们再来研究一个类似的问题（投影例3）
例3．从甲地到乙地。
先乘火车从甲地到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。
一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
本题与例1是否相同。
学生5：
不同。
有哪些不同？
条件表述差异很大。
具体有哪些差异呢？
例１中，从甲地到乙地，可以直接达到，可以一步完成，只是交通工具不同而已。
例２中，从甲地到乙地，需要经过丙地的中转间接达到，也就是说要分两步走。
那么例２的计算方法会怎么样？
与例１不同。
这里的方法是3×
2=6种。
教师；
方法也不同啊。
下面，为了探索其中规律，让我们再来看一个例子（投影例4）
例4．在例2中，如果从中任取3本书，其中文学书、工具书、教学参考书各一本，那么不同的取法有多少钟？
学生6：
5×
3×
6=90。
有90种
为什么会这样呢？
你能解释一下吗？
先取文学书和工具书：
每本文学书都能和3种工具书中的任何一本搭配，所以，有5×
3。
15种取法。
再取参考书。
这15种取法中的每一种取法又能和6本参考书的任何一本搭配。
所以，15×
6。
90种取法。
分析的相当精致。
那么你能总结这类问题的处理规律吗？
完成一件事，需要分成几个步骤，做第一步有m1种不同的方法；
做第二步有m2,种不同的方法……做第n步有mn，种不同的方法。
那么完成这件事共有方法数是m1×
m2×
……×
mn.
对。
这个结论我们可以把它叫做……
分步计数原理。
以上两个结论是计算方法个数的最基本原理。
它们的区别在于是分类还是分步。
下面我们来看看如何区别“分类”和“分步”。
如何使用这两个原理……
其后例举几种典型的例子用于讨论，①选取组员问题
②最大信息量问题
③
投递信件问题
④
多项式展开后的次数问题
⑤自然数配对问题
⑥正约数个数问题
⑦
电话号码升位问题。
策略二由表及里抓本质抽象概括再创新
数学中的许多概念，诸如“充要条件”、“三点共线”、“集合的运算：
交、并、补”、“向量的数量积”初学都是很容易理解的。
但若深入或用于解决问题。
学生却不太适应，漏洞百出。
究其原因，是对概念的本质认识不足，对与之相关的概念缺乏联系所致。
所以教学中，引导学生探究和联系，以提高学生思维的抽象性非常必要。
案例２正弦函数与余弦函数的周期性
教师：
今天是周二，再过七天，又会是周二，再过七天，又会是周二。
这种规律一般概括成什么？
周期。
日常生活中，哪些事物有周期规律呢？
时钟，季节，月份……
观察正弦曲线，使函数值=1的自变量的值呈现什么规律？
周期是多少？
2π
举出一部分自变量x的值来看看
这意味着（板书：
若sinx0=1，则sin（x0+2π）=
.
1
（教师板书）教师：
是不是意味着：
sinx0=sin（x0+2π）
是的
这个等式是不是对任何实数都成立呢？
有什么理论依据吗？
根据诱导公式可以得到。
若记f（x）=sinx，则上式引进f（）可以写成什么形式？
f（x0）=f（x0+2π） （教师板书）
由于这个等式中x0是任意实数，所以一般直接写成x（擦去下标０）。
（改写成）：
f（x）=f（x+2π） （并记着―――――①式）
这个等量关系式说明了正弦函数具有周期性的本质。
接下来，我们再来看看余弦曲线，是不是也具有周期性呢？
有。
若记f（x）=cosx, 是不是具备与①式类似的等量关系式呢？
是，而且完全相同。
其实，从这两个函数得出的这种等量关系式就是反映了函数具有周期性的本质内容。
我们能不能模仿刚才的①式，来给出一个周期为Ｔ的函数f（x）的等量关系式呢？
能，f（x）=f（x+T）。
Ｔ能等于０吗？
Ｔ＝０，上式是恒等式，没有什么研究的价值。
常数函数f（x）=c具有周期性吗？
不好说，说起来有点别扭，
是的，我们一般不认为它具有周期性，因为Ｔ可以是任意实数，不具有相对稳定性，Ｔ应该是一个常数。
那么Ｔ能是负数吗？
在现实生活中，有点别扭，在数学中可以，其实周期为Ｔ与周期为－Ｔ意义是一样的。
在这个等式f（x）=f（x+T）中，把Ｔ用２Ｔ，３Ｔ，４Ｔ去替换，等式还成立吗？
成立。
从这个意义上说，自变量可以取（板书）x,x+T,x+2T,x+3T,……
还可以取（板书）x,x-T,x-2T,x-3T,……
说明自变量的取值有种什么趋势？
应该既趋向正无穷大，又趋向于负无穷大。
现在你们谁来概括一下，周期函数的定义
存在一个非零常数Ｔ，使f（x+T）=f（x）对任何实数x都成立，则称函数f（x）是周期函数。
Ｔ叫做函数f（x）的周期。
是任何实数x吗？
是函数f（x）定义域中的任何实数x。
将Ｔ换成2T,3T,4T,……，都能使等式成立，那么这些数是不是都可以作为函数的周期呢？
是的，不过为了方便和实用，取最小的正的周期更妙。
很好，我们就把这个最小的正的周期叫做函数的最小正周期吧，简称周期。
正弦函数的周期是多少？
２π
余弦函数的周期呢？
也是２π。
周期函数是单调函数吗？
不是，它最多在一个周期内单调，在整个定义域上必定不单调。
否则就有f（x+T）<
f（x）,
或 f（x+T）>
f（x）.
（投影，给出以下几例巩固，深入和发展）问题1.观察下列各函数的图象，这些函数是周期函数吗？
如果是周期是多少？
问题2：
若f（x）是周期函数，且周期为３，f（-1）=2.
则f
（2）=
f（-4）=
f（11）=
f（log24）=
问题3：
前面我们研究了y=sinx,
y=cosx的周期均为2π,且2π是它们的最小正周期，那么y=sin2x,
y=sinx,
y=sin（ωx+ψ）,
（ω＞0）的周期能不能确定呢？
若能，它们的周期分别是多少呢？
这是发展型新授课模式。
三角函数除了一般函数的共性外，更有其魅力特点，不满足于共性的了解，勇于探究其特性，是我们发展认知的人性取向。
向足
5
策略三
空间想象勤动手反复比较创新意
数学概念都是一群群，一类类，各名词彼此之间很相近，但意义可能会相去甚远，这就要求学生在认识过程中反复比较，以产生清晰的概念。
立体几何中各种距离，角度的引入就是这样由浅入深，错综复杂的。
线线角
面面角
线面角
点点距
点面距
点线距
面面距
线线距
线面距
这些概念的定义都贯彻了一条最小值原则，最小值的稳定性和合理性。
是认识事物的一种良好的方法。
案例3。
二面角的度量
提出问题供学生讨论：
⑴缓慢地打开一本书，翻转的纸面与不动的纸面形成一系列角的形状，怎样描述这些角的大小更为合理。
⑵过二面角的棱上任一点在两个半平面内各作一条射线，两射线的角是否为定值？
范围是什么？
⑶若两射线均与二面角的垂直，但两射线的公共顶点在棱上运动，两射线所形成的角其大小是不是会变化。
⑷若在二面角的棱上取两个不同的点，分别从这两点出发，在两个半平面内各作一条射线，由这两条射线所成角的大小与从一个点出发作出的角大小是否相等呢？
通过比较，讨论，形成基本的产生新概念的方法：
面面角是通过线线角来定义的，但加进了许多限制条件，使得概念具有明确性，合理性，严谨性。
策略四
循序渐进提层次另辟蹊径创意新
以下是深化型新授课的一个教学设计。
平时教学中，我们会时常发现这样一种情形：
有相当多的学生，遇上稍难的的问题浅尝辄止，缺乏战胜困难的勇气、信心和毅力，这与教师平时对数学基本概念理论不作深入探究（或毫不探究，只套现成公式）分不开的，这与“使他们获得更高的数学素养，……关注他们在数学活动中所表现出来的情感态度的变化，……关注探索精神，培养锲而不舍的精神……”的新课程新理念是很不一致的。
数学中有些概念看起来很容易理解，往往实际应用时会措手不及。
这些知识如果不提升对它的认识，学起来也相当乏味，只有经过深入剖析，反复探究，才会觉得其乐无穷，妙趣横生。
案例4。
充分必要条件
首先，从课本实例出发，引出“充分条件”和“必要条件”这两个概念。
实例1
若x>
0,
则x2>
0
实例2
若两三角形全等，则这两三角形的面积相等
这两个命题都是真命题。
从此，提出新的观点：
⑴“x>
0”,是“x2>
0”的充分条件，同时，“x2>
0”是“x>
0
”的必要条件。
⑵“两三角形全等”是“两三角形的面积相等”的充分条件“两三角形面积相等”是“三角形全等”的必要条件。
引出新概念：
若p则q为真命题，则称：
“p是q的充分条件”，同时称“q是p的必要条件”。
进而给出课文中的例1和练习供学生讨论，辩析。
其二，在练习的基础上，增添新内容-------符号：
⑶若p则q是真命题，一般简记作：
“pq”
⑷“pq”其实等价于“p是q的充分条件”也等价于“q是p的必要条件”。
三者是一个事件的三种表现形式而已。
其三，变式训练，改换问题的提法。
实例3，一个四边形是菱形的充分不必要条件是
A
四边形是正方形
B
四边形是矩形
C
四边形是平行四边形
D
四边形的对角线互相垂直平分。
实例4
x>
0的必要不充分条件是
A
1
x<
-1
-1<
D
1
其四，继续发展引出新的概念：
“充分必要条件”。
由前面的实例3产生两个命题p,q:
p:
四边形是菱形。
q:
既能做到：
“pq”，又能做到：
“qp”.这时就称：
p是q的充分必要条件，q是p的充分必要条件。
记作“pq”。
由此总结两个命题之间必然存在的四种情形之一：
p是q的①充分不必要条件，②必要不充分条件，③充分必要条件，④既不充分又不必要条件。
其五，引出集合包含关系与命题充要性之间的内在联系。
实例5
已知A={x|x>
0},B={x|x2>
0}，则A与B的关系是
。
对照开头的分析，“x>
0”的充分不必要条件，归纳新结论：
定理：
A={x|x具有属性p},
B={x|x具有属性q}
则①
“AB”，等价于：
“p是q的充分不必要条件”
②
“A=B”，
等价于：
“p是q的充分必要条件”
③
“AB，BA”，等价于“p是q的既不充分又不必要条件”
其六、变式分析：
实例6
实例7
a为何实数值时，“x>
”是“x（x–a）>
0
”的充分不必要条件？
充分必要条件？
可能是必要不充分条件吗？
策略五
触类旁通求发展归纳类比又创新
公理化体系下的的数学发展，讲究在主要运算性质基本不变的情形下，求新，求变，求创新，以适应生产和生活实际中各种不同的需要。
如：
从平面几何到立体几何，从实数到复数，从数量到向量等等，让学生感觉变化带来的新鲜和乐趣，熟悉创新的思维方式，对培养学生创新能力是非常有益的。
案例5
指数与对数随着指数从正整数变化到实数，对底数的要求也越来越严格，会加上一些限制条件，但几个重要的运算性质却一直保留着：
①aras=ar+s
②
（ar）s=ars
③
（ab）r=arbr
逆运算
正整数指数幂
整数指数幂
N次方根（N>
1）
分数指数幂
实数指数幂ar
对数
底数大于0
指数<
0时，底数不等于0
N为奇数时，被开方数可以是任何实数；
N为偶数时，被开方数不小于0
对既约分数分两类情形来讨论：
一类①②
③；
二类①m为奇数，②m为偶数。
一般只对底数大于0，且不为0进行研究
底数大于0，且不等于1
指数幂的主要运算性质①②③
对数的主要运算性质①②③
而这些性质的具体应用，离不开新指数条件下对底数的约束，但无论怎样，性质确实在更广阔的范围内被延伸拓展了。
需要指出的是，尽管用类比方法得出的性质对学生来说，比较熟悉，但毕竟运算式比先前更复杂了，如果没有足够的练习和比较，分数指数幂这一新的知识将得不到巩固，学生看不到新知识的实用价值，将会削弱创新的实用价值和意义。
所以，一定的训练是必要的，它将有助于知识的同化和创新意识的加强。
我们的新授课的目标应该是：
创新发展是主线，实际价值看得见。
策略六学以致用讲素养数据建构更创新
“20世纪下半叶以来，数学应用的巨大发展是数学发展的显著特征之一，……开展数学应用的教学活动符合社会的需要，有利于激发学生数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。
”一个问题用不同的数学模型来解决，就是应用创新，在这里有很多实际的例子可以探讨和研究。
高中数学的每一个模块都可以拟建应用问题，学生在解决应用性问题时出现的障碍主要有以下五种：
（1）题意不能正确理解，
（2）生活语言向数学语言的转化，（3）选用哪种数学模型来处理不能确定，（4）计算错误，（5）计算结果对实际问题的适用性检验。
针对障碍（3）教学中宜在一个单元学完后，及时补充相关的应用性问题让学生体验，并形成较深刻的印象，然后试着与以前用的数学模型进行比较，认识各自的优点。
对于其他各点障碍，每次上课都要重视分析和讨论，有些教辅资料上的题目，由于命题者的疏忽，语意有些模糊，可以通过讨论得以澄清。
案例6线性规划在生产实践中的应用
问题
要将甲乙两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，甲种钢板可同时截得A规格2块，B规格1块、C规格1块，乙种钢板可同时截得A规格1块，B规格2块，C规格3块。
今需要A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。
问题中的数据较多，怎样才能将各数据表示清楚？
（师生讨论，共同完成下表）
钢板类型
规格
A规格
B规格
C规格
假设钢板数量
甲种钢板
2
1
x
乙种钢板
3
y
限额要求
≥15
≥18
≥27
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