111集合的含义与表示第1课时教案人教A版必修1Word格式.docx

111集合的含义与表示第1课时教案人教A版必修1Word格式.docx

《111集合的含义与表示第1课时教案人教A版必修1Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《111集合的含义与表示第1课时教案人教A版必修1Word格式.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

元素与集合的相关概念

【问题导思】　

观察下面的语句

①平面内到定点O的距离等于定长d的所有的点；

②方程x2－1＝0的所有实数根；

③我们班的所有帅哥．

1．以上各语句中要研究的对象分别是什么？

【提示】　分别为点，实数根，帅哥．

2．哪个语句中的对象不确定？

为什么？

【提示】　③中对象不确定．因为“帅哥”没有明确的划分标准．

1．元素：

一般地，我们把研究对象统称为元素．通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．

2．集合：

把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合.

集合中元素的特征

1．高一

（1）班的全体同学能否组成一个集合，为什么？

【提示】　能．因为集合中的元素是明确的（确定性）．

2．在问题1的集合中，有没有两位完全相同的学生？

【提示】　没有．（互异性）

3．分别由元素1,2,3和3,2,1组成的两个集合有何关系？

【提示】　相等.1.集合相等：

只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的．

2．集合元素的特性：

确定性、互异性、无序性.

元素与集合的关系

　设集合A表示“1～10之间的所有素数”．

【提示】　3是集合A中的元素，即3属于集合A，记作3∈A；

4不是集合A中的元素，即4不属于集合A，记作4∉A.

1．属于：

如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.

2．不属于：

如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.

常用数集及符号表示

1．非负整数集与正整数集有何区别？

【提示】　非负整数集包括0，而正整数集不包括0.

2．若a∈Q，则一定有a∈R吗？

反过来呢？

【提示】　若a∈Q，则一定有a∈R；

反过来，若a∈R，但不一定有a∈Q.

名称

非负整数集（或自然数集）

正整数集

整数集

有理数集

实数集

符号

N

N*或N＋

Z

Q

R

集合的概念

　观察下列各组对象能否组成一个集合？

①20国集团的所有成员国；

②无限接近零的数；

③方程x2－2x－3＝0的所有解；

④平面直角坐标系中，第一象限内的所有点．

【思路探究】　利用集合的含义及集合中元素的特性来判断．

【自主解答】　①能．因为20国集团的所有成员国是确定的；

②不能．因为“无限接近”标准不明确，不具有确定性，不能构成集合；

③能．因为方程x2－2x－3＝0的解为x1＝3，x2＝－1确定，所以可以组成集合，集合中有两个元素－1和3；

④能．因为第一象限内的点是确定的点．

　一般地，确认一组对象a1，a2，a3，…，an能否构成集合的过程为：

下列各对象可以组成集合的是（　　）

A．与1非常接近的全体实数

B．某校全体高一学生

C．高一年级视力比较好的同学

D．与无理数π相差很小的全体实数

【解析】　对于A选项中“非常接近”标准不明确，故不构成集合；

同理C选项中的“视力比较好”，D选项中的“相差很小”，标准均不明确，故C、D均不能构成集合；

B能构成集合，因为某学生是否是该校的高一学生是确定的．

【答案】　B

　下列关系中正确的个数为（　　）

①

∈Q；

②0∈N*；

③π∉R；

④|－4|∈Z.

A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4　　　

【思路探究】　先明确符号Q、N*、R及Z的含义，再判断数

，0，π，|－4|与相应数集的关系．

【自主解答】　①∵

是无理数，∴

∉Q，故①错误；

②∵0不是正整数，∴0∉N*，故②错误；

③∵π是实数，∴π∈R，故③错误；

④∵|－4|＝4是整数，∴|－4|∈Z，故④正确．

【答案】　A

1．本题在求解时常因混淆数集Q、N*、R及Z的含义导致错解．

2．判断一个元素是不是某个集合的元素关键是判断这个元素是否具有这个集合的元素的共同特征．

用符号∈或∉填空：

（1）若A表示由所有质数组成的集合，则1______A，

2________A,3________A；

（2）

________Z，

________R，

________N.

【解析】　

（1）由2,3为质数，1不是质数得，1∉A,2∈A,3∈A.

（2）

不是整数，

是实数，

是自然数．

【答案】　

（1）∉　∈　∈　

（2）∉　∈　∈

集合中元素的特性及应用

　已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，若－3∈A，试求实数a的值．

【思路探究】　令－3＝a－3或－3＝2a－1→解方程求a

→检验得a的值

【自主解答】　∵－3∈A，∴－3＝a－3或－3＝2a－1，

若－3＝a－3，则a＝0.

此时集合A中含有两个元素－3、－1，符合题意；

若－3＝2a－1，则a＝－1.

此时集合A中含有两个元素－4，－3，符合题意；

综上所述，a＝0或a＝－1.

1．本题在解方程求得a的值后，常因忘记验证集合中元素的互异性，而造成过程性失分．

2．解答此类问题一般先根据集合中元素的确定性解出字母所有可能的值，再根据集合中元素的互异性对元素进行检验．

3．在解决含有字母的问题时，常用到分类讨论的思想．

若将本例中的条件“－3∈A”换成“a∈A”，求相应问题．

【解】　∵a∈A，∴a＝a－3或a＝2a－1，

解得a＝1，此时集合A中有两个元素－2,1，符合题意．

故所求a的值为1.

因忽视集合中元素的互异性致误

　方程x2－（a＋1）x＋a＝0的解集有几个元素？

【错解】　x2－（a＋1）x＋a＝（x－a）（x－1）＝0，所以方程的解为1，a，则方程的解集有两个元素1，a.

【错因分析】　错解中没有注意到字母a的取值带有不确定性，得到了错误答案两个元素．事实上，当a＝1时，不满足集合中元素的互异性．

.【防范措施】　先由解方程得到x的可能值，再根据元素的互异性进行检验．

【正解】　x2－（a＋1）x＋a＝（x－a）（x－1）＝0，所以方程的解为1，a.

若a＝1，则方程的解集只有一个元素1；

若a≠1，则方程的解集有两个元素1，a.

1．判断一组对象的全体能否构成集合的依据是元素的确定性，若考查的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．

2．集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值（范围）时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．

3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．

1．下列选项中能构成集合的是（　　）

A．某班视力较好的同学

B．著名足球运动员

C．很大的数

D．参加2012年伦敦奥运会的中国乒乓球队员

【解析】　A、B、C中的元素都不确定，故其均不能构成集合，而2012年参加伦敦奥运会的中国乒乓球队员是确定的，故D正确．

【答案】　D

2．设集合A只含有一个元素a，则有（　　）

A．0∈A　　　　　　　　B．a∉A

C．a∈AD．a＝A

【解析】　∵集合A中只含有一个元素a，故a属于集合A，∴a∈A.

【答案】　C

3．以方程x2－5x＋6＝0和方程x2－x－2＝0的解为元素的集合中共有________个元素．

【解析】　方程x2－5x＋6＝0的解是2,3；

方程x2－x－2＝0的解是－1,2.由集合元素的互异性知，以这两个方程的解为元素的集合中共有3个元素．

【答案】　3

4．已知集合M中含有3个元素：

0，x2，－x，求x满足的条件．

【解】　根据集合中元素的互异性知

∴

∴x满足的条件为：

x≠0且x≠－1.

一、选择题

1．考察下列每组对象，能组成一个集合的是（　　）

①聪明的学生；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；

③不小于3的正整数；

④

的近似值．

A．①②　　　B．③④　　　C．②③　　　D．①③

【解析】　①“聪明”这个词界限不确定，不明确哪些元素在该集合中，故①不构成集合；

②直角坐标系中横、纵坐标相等的点都在直线y＝x上，故②构成集合；

③不小于3的正整数，即3,4,5，……显然③可以构成集合；

的近似值，太笼统，没有确定的界限，构不成集合．故②③合题意，选C.

2．若a是R中的元素，但不是Q中的元素，则a可以是（　　）

A．3.14B．－5C.

D.

【解析】　由题意知a是实数但不是有理数，故a应为无理数，从而选D.

3．（2014·

杭州高一检测）下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是（　　）

A．P是由元素1，

，π构成的集合，Q是由元素，π，1，|－

|构成的集合

B．P是由π构成的集合，Q是由3.14159构成的集合

C．P是由2,3构成的集合，Q是由有序数对（2,3）构成的集合

D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集

【解析】　由于A中P、Q元素完全相同，所以P与Q表示同一个集合，而B、C、D中元素不相同，所以P与Q不能表示同一个集合．

4．下列说法正确的是（　　）

A．由1,2,2,4构成集合时，该集合共有4个元素

B．由1,2,3和3,2,1分别构成的两个集合不是相等集合

C．若x∈Q，则x∈R

D．对于任何一个元素a，则无法判断a是否是集合A中的元素

【解析】　结合集合中元素的互异性可知A不正确；

结合集合中元素的确定性可知D不正确；

结合集合相等的概念可知B不正确；

又∵x∈Q，则x是有理数，∴x是实数，即x∈R，故C正确．

5．（2013·

福州高一检测）若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是（　　）

A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．等腰三角形

【解析】　△ABC的三边长两两不等，故选D.

二、填空题

6．用“∈”、“∉”填空．

3．5________N；

－4________Z；

________Q；

π________R.

【解析】　∵3.5不是自然数，∴3.5∉N；

∵－4是整数，∴－4∈Z；

∵

是有理数，∴

∵π是实数，∴π∈R.

【答案】　∉　∈　∈　∈

7．仅由英语字母“b”，“e”，“e”组成的集合含有________个元素．

【解析】　因为集合中元素具有互异性，故由英语字母“b”、“e”、“e”组成的集合只含有“b”、“e”两个元素．

【答案】　2

8．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________．

【解析】　由集合中元素的互异性，可知a2≠1，

所以a≠±

1，即a∈R且a≠±

1.

【答案】　a∈R且a≠±

1

三、解答题

9．判断下列说法是否正确，并说明理由．

（1）某个单位里的年轻人组成一个集合；

（2）1，

，

这些数组成的集合有5个元素；

（3）由a，b，c组成的集合与由b、a、c组成的集合是同一个集合．

【解】　

（1）不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能作为元素来组成集合；

（2）不正确．对于一个给定的集合，它的元素必须是互异的，即集合中的任何两个元素都是不同的，故这个集合是由3个元素组成的；

（3）正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们都表示同一个集合．

（教师用书独具）

若所有形如

∈N（x∈N）的数组成集合A.

（1）试判断元素1和2与集合A的关系；

（2）求集合A中的元素．

【思路探究】　

（1）令x＝1，x＝2，判断

∈N是否成立；

（2）令x分别取0,1,2,3,4，代入

逐一检验确定x的值．

【规范解答】　

（1）当x＝1时，

＝2∈N；

当x＝2时，

＝

∉N，∴1∈A,2∉A；

（2）令x＝0,1,2,3,4，代入

∈N检验，

可得当x＝0,1,4时，

∈N，

故集合A中的元素有0,1,4.

1．对于元素与集合之间的关系，一定要明确集合是由怎样的元素构成，然后再确定某对象是否为集合中的元素．

2．解决这类比较复杂的集合问题要充分利用集合满足的性质，运用转化思想，将问题等价转化为比较熟悉的问题解决．

集合A是由形如2k，k∈Z的数构成的，而集合B是由形如2k＋1，k∈Z的数构成的，若a∈A，b∈B，试判断a＋b与A，B的关系．

【解】　∵a∈A，

∴a＝2k1（k1∈Z）．

∵b∈B，∴b＝2k2＋1（k2∈Z）．

∴a＋b＝2（k1＋k2）＋1.

又∵k1＋k2∈Z，

∴a＋b∈B.从而a＋b∉A