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三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.

　　　几个连续偶数（或奇数）中，相邻两个偶数（或奇数）相差2.

三个连续偶数（奇数），设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.

2.平均变化率问题

　　列一元二次方程解决增长（降低）率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

（1）增长率问题：

　　平均增长率公式为

（a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.）

（2）降低率问题：

　　平均降低率公式为

（a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.）

3.利息问题

（1）概念：

　　本金：

顾客存入银行的钱叫本金.

　　利息：

银行付给顾客的酬金叫利息.

　　本息和：

本金和利息的和叫本息和.

　　期数：

存入银行的时间叫期数.

　　利率：

每个期数内的利息与本金的比叫利率.

（2）公式:

　　利息=本金×

利率×

期数

　　利息税=利息×

税率

　　本金×

（1+利率×

期数）=本息和

[1+利率×

期数×

（1-税率）]=本息和（收利息税时）

4.利润（销售）问题

　　利润（销售）问题中常用的等量关系：

　　利润=售价-进价（成本）

　　总利润=每件的利润×

总件数

5.形积问题

　　此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.

列一元二次方程解应用题是把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.这是在解决实际问题时常用到的数学思想—方程思想.

【典型例题】

类型一、数字问题

1.（2018春•兴化市校级期末）两个连续负奇数的积是143，求这两个数．

【答案与解析】

解：

设这两个连续奇数为x，x+2，

根据题意x（x+2）=143，

解得x1=11（不合题意舍去），x2=﹣13，

则当x=﹣13时，x+2=﹣11．

答：

这两个数是﹣13，﹣11．

故答案为：

﹣13，﹣11．

【总结升华】得到两个奇数的代数式是解决本题的突破点；

根据两个数的积得到等量关系是解决本题的关键．

类型二、平均变化率问题

2.（2019•衡阳）随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2018年底某市汽车拥有量为16.9万辆．己知2018年底该市汽车拥有量为10万辆，设2018年底至2018年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得（　　）

A．10（1+x）2=16.9B．10（1+2x）=16.9C．10（1﹣x）2=16.9D．10（1﹣2x）=16.9

【思路点拨】根据题意可得：

2018年底该市汽车拥有量×

（1+增长率）2=2018年底某市汽车拥有量，根据等量关系列出方程即可．

【答案】A．

【解析】

设2018年底至2018年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，

根据题意，可列方程：

10（1+x）2=16.9，

故选：

A．　　　

【总结升华】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±

x）2=b．

举一反三：

【变式】有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，按照这样的速度，第三轮传染后，患流感的人数是（）

A．1331B．1210C．1100D．1000

【答案】

设每人每轮传染x人，则（1+x）2＝121，x1＝10，x2＝-12舍去，

第三轮传染后患流感人数为121（1+10）＝1331人．

类型三、利润（销售）问题

3.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也会有一定数量的螃蟹死去，假设放养期间内螃蟹的个体重量基本保持不变．现有一经销商，按市场价收购了这种活螃蟹1000kg放养在塘内，此时市场价为30元/kg．据测算此后每千克的活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天各种费用支出400元，且平均每天还有10kg的蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是20元/kg，如果经销商将这批蟹出售后能获利6250元，那么他应放养多少天后再一次性售出?

设经销商放养的活蟹时间定为x天较为合适．

根据题意，得20×

10x+（30+x）（1000-10x）-（400x+30×

1000）＝6250，

整理，得x2-50x+625＝0，∴x1＝x2＝25．答：

经销商放养25天后，再一次性售出可获利6250元．

【总结升华】此题牵涉到的量比较多，找等量关系列方程有一定难度．我们可以把复杂问题转化成若干个简单问题分别解决，最后用一根主线连在一起．这里放养的天数x与死蟹销售资金、x天后活蟹的价格、x天后活蟹的剩余量及x天的开支情况等问题都有关系，通过这个“x”把上述几个量联系在一起，列出了方程，使问题得以突破．

【变式】

（2018•东西湖区校级模拟）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．据此规律计算：

每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元．

∵降价1元，可多售出2件，降价x元，可多售出2x件，盈利的钱数=50﹣x，

由题意得：

（50﹣x）（30+2x）=2100，

化简得：

x2﹣35x+300=0，

解得：

x1=15，x2=20，

∵该商场为了尽快减少库存，

∴降的越多，越吸引顾客，

∴选x=20，

答:

每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2100元.

类型四、行程问题

4.一辆汽车以20m/s的速度行驶，司机发现前方路面有情况，紧急刹

车后又滑行25m后停车．

（1）从刹车到停车用了多少时间？

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少多少？

（3）刹车后汽车滑行到15m时约用了多少时间（精确到0.1s）？

（1）已知刹车后滑行路程为25m，如果知道滑行的平均速度，则根据路程、速度、时间三者

的关系，可求出滑行时间．为使问题简化，不妨设车速从20m/s到0m/s是随时间均匀变化的．这段时间内的平均车速等于最大速度与最小速度的平均值，即

，于是刹车到停车的时间为“行驶路程

平均车速”，即

．

（2）从刹车到停车平均每秒车速减少值为“（初速度

末速度）

车速变化时间”，

即

（3）设刹车后汽车行驶到15m用了

s，由

（2）可知，这时车速为

．这段路程内的

平均车速为

，即

由速度×

时间=路程，得

解方程，得

根据问题可知，

，即x＜5，又x＜2.5；

所以

刹车后汽车行驶到15m时约用了0.9s．

【总结升华】弄清路程、速度、时间三者的关系，即可解答此题.

一元二次方程的应用—巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2019•台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是（　　）

A．

x（x﹣1）=45B．

x（x+1）=45C．x（x﹣1）=45D．x（x+1）=45

2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程中正确的是（）

A．168（1+a%）2＝128B．168（1-a%）2＝128C．168（1-2a%）2＝128D．168（1-a2%）＝128

3．从一块长30cm，宽12cm的长方形薄铁片的四个角上，截去四个相同的小正方形，余下部分的面积

为296cm2，则截去小正方形的边长为（）

A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm

4．甲、乙两人分别骑车从A、B两地相向而行，甲先行1小时后，乙才出发，又经过4小时两人在途中的C地相遇，相遇后两人按原来的方向继续前进.乙在由C地到达A地的途中因故停了20分钟，结果乙由C地到达A地时比甲由C地到达B地还提前了40分钟，已知乙比甲每小时多行驶4千米，则甲、乙两人骑车的速度分别为（）千米/时.

A．2,6B．12,16C．16,20D．20,24

5．某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的

．则新品种花生亩产量的增长率为（）

　A．20％　　　B．30%　　　C．50%　　　D．120%

6．从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．则每次倒出溶液的升数为（）

A．5B．6C．8D．10

二、填空题

7．某公司在2009年的盈利额为200万元，预计2011年盈利额将达到242万元，若每年比上一年盈利额增长的百分率相同，那么该公司在2010年的盈利额为________万元．

8．有一间长20m，宽15m的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的一半，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为________．

9．一块矩形耕地大小尺寸如图1所示，要在这块地上沿东西、南北方向分别挖3条和4条水渠．如果水渠的宽相等，而且要保证余下的可耕地面积为8700m2，那么水渠应挖的宽度是米.

10．有一个两位数，它的十位数字与个位数字之和是8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘原来的两位数就得1855，则原来的两位数是．

11．某省十分重视治理水土流失问题，2011年治理水土流失的面积为400km2，为了逐年加大治理力度，计划今、明两年治理水土流失的面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2018年年底，使这三年治理水土流失的面积达1324km2，则该省今、明两年治理水土流失的面积平均每年增长的百分数是．

12．（2018•贵阳）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发，沿A→D方向以

cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t=　秒时，S1=2S2．

三、解答题

13．（2019•百色）在直角墙角AOB（OA⊥OB，且OA、OB长度不限）中，要砌20m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且地面矩形AOBC的面积为96m2．

（1）求这地面矩形的长；

（2）有规格为0.80×

0.80和1.00×

1.00（单位：

m）的地板砖单价分别为55元/块和80元/块，若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面（不计缝隙），用哪一种规格的地板砖费用较少？

14.（2018•广元）李明准备进行如下操作实验，把一根长40cm的铁丝剪成两段，并把每段首尾相连各围成一个正方形．

（1）要使这两个正方形的面积之和等于58cm2，李明应该怎么剪这根铁丝？

（2）李明认为这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2，你认为他的说法正确吗？

请说明理由．

15．如图所示，AO＝OB＝50cm，OC是一条射线，OC⊥AB，一只蚂蚁由A点以2cm/s的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由O点以3cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积为450cm2?

1.【答案】A

【解析】∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，

∴共比赛场数为

x（x﹣1），

∴共比赛了45场，

∴

x（x﹣1）=45，

故选A．

2．【答案】B；

【解析】168元降价a%后的价格为168（1-a%）元，再降价a%后为168（1-a%）（1-a%）元．

根据题意可列方程168（1-a%）2＝128．

3．【答案】D；

【解析】设截去小正方形的边长为x，则30×

12-4x2＝296，∴x2＝16，x1＝-4（舍去），x2＝4．

4.【答案】C；

【解析】设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为（x+4）千米/时.

根据题意，得

解之,得x1=16，x2=－2.

经检验：

x1=16，x2=－2都是原方程的根，但x2=－2不合题意，舍去.

∴当x=16时，x+4=20.

5．【答案】A；

【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x．

.

6．【答案】D；

【解析】第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．

若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，

第二次倒出纯酒精（

·

x）升．

根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．

20－x－

x＝5．

7．【答案】220.

【解析】

方法一，设增长的百分率为x，则2010年盈利额为200（1+x）万元，2011年的盈利额为200（1+x）2万元，依题意得200（1+x）2＝242．解得x1＝10%，x2＝-2.1（舍去），∴200（1+x）＝200（1+10%）＝220．

方法二，设2010年的盈利额为x万元，则2010年增长的百分率为

，

2011年增长的百分率为

，由增长率相同可列方程

解得x1＝220，x2＝-220（舍去）

8．【答案】2.5m.

【解析】设留空的宽度为xm，则

，解得x1＝15（舍去），

9．【答案】1.

【解析】如图2所示设水渠的宽度为xm，即可耕土地的长

为（120-4x）m，宽为（78-3x）m．

（120-4x）（78-3x）＝8700，

即x2-56x+55＝0，

解得x1＝1，x2＝55．

当x＝55时，3×

55＝165＞78，（不合题意，舍去）．

∴x＝1．

答：

水渠应挖1m宽．

10．【答案】35或53．

【解析】设原两位数的十位数字为x，则个位数字是（8-x），由题意得

[10x+（8-x）]·

[10（8-x）+x]＝1855．

化简得x2-8x+15＝0，

解之得：

x1＝3，x2＝5．

经检验，x1＝3，x2＝5都符合题意．

原两位数是35或53．

11．【答案】10%．

【解析】设该省今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为x，

依题意得：

400+400（1+x）+400（1+x）2＝1324．

即100x2+300x-31＝0．

解得x1＝0.1＝10%，x2＝-3.1（不合题意，舍去）．

今、明两年治理水土流失的面积每年增长的百分数为10%．

12.【答案】6　.

【解析】∵Rt△ABC中，∠BAC=90°

，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高，

∴AD=BD=CD=8

cm，

又∵AP=

t，

则S1=

AP•BD=

×

8

t=8t，PD=8

﹣

∵PE∥BC，

∴△APE∽△ADC，

∴PE=AP=

∴S2=PD•PE=（8

t）•

∵S1=2S2，

∴8t=2（8

t=6．

13.【答案与解析】

（1）设这地面矩形的长是xm，则依题意得：

x（20﹣x）=96，

解得x1=12，x2=8（舍去），

这地面矩形的长是12米；

（2）规格为0.80×

0.80所需的费用：

96÷

（0.80×

0.80）×

55=8250（元）．

规格为1.00×

1.00所需的费用：

（1.00×

1.00）×

80=7680（元）．

因为8250＞7680，

所以采用规格为1.00×

1.00所需的费用较少．

14.【答案与解析】

（1）设剪成的较短的这段为xcm，较长的这段就为（40﹣x）cm，由题意，得

（

）2+（

）2=58，

x1=12，x2=28，

当x=12时，较长的为40﹣12=28cm，

当x=28时，较长的为40﹣28=12＜28（舍去）．

李明应该把铁丝剪成12cm和28cm的两段；

（2）李明的说法正确．理由如下：

设剪成的较短的这段为mcm，较长的这段就为（40﹣m）cm，由题意，得

）2=48，

变形为：

m2﹣40m+416=0，

∵△=（﹣40）2﹣4×

416=﹣64＜0，

∴原方程无实数根，

∴李明的说法正确，这两个正方形的面积之和不可能等于48cm2．

15.【答案与解析】

（1）当蚂蚁在AO段时，设离开A点ts后两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．

整理得：

解得t1＝10，t2＝15．

（2）当蚂蚁爬完AO这段距离用了

后，开始由O向B爬行，设从O点开始xs后组成的

三角形的面积是450cm2，根据题意，得：

整理得x2+25x-150＝0，解得x1＝5，x2＝-30（舍去）．

当x＝5时，x+25＝30．这时蚂蚁已由A点爬了30s．

分别在10s，15s，30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形的面积是450cm2．