函数的性质及其应用.docx

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函数的性质及其应用

第二专题函数的性质及其应用

第一课时函数的性质

一、考点核心整合

函数的性质主要体现在五个方面：

1、定义域：

2、值域：

3、奇偶性：

4、单调性：

5、周期性：

二、典例精讲：

例1设函数，区间，集合，则使成立的实数对有（）

A、0个B、1个C、2个D、无穷多个

例2已知函数在内取极大值，在内取得极小值，求的取值范围.

例3设偶函数在区间上是增函数，试判断在区间上单调性，并加以证明.

三、提高训练：

姓名____________

（一）选择题：

1．设，二次函数的图象为下列之一，则的值为（）

A、1B、－1C、D、

2．设函数是定义在R上的以3为周期的奇函数，若,

则的取值范围是（）

A、B、C、D、

3．设函数，若，则

的值等于（）

A、4B、8C、16D、

4．函数在上的最大值与最小值之和为3，则等于（）

A、B、2C、4D、

5．设，函数，则使的的取值范围是

A、B、C、D、

（二）填空题：

6．函数的图象按向量平移得到，则的解析式为__________.

7．已知是R上的奇函数，且，则=_____.

8．定义符号函数，则不等式的解集为_____.

（三）解答题：

9．已知函数的最大值是0，最小值是，求的值.

10．已知是定义在的奇函数，当，且时，有.

（Ⅰ）判断函数的单调性，并给以证明；

（Ⅱ）若，且对所有，恒成立，求实数的取值范围.

11．已知是函数的一个极值点，其中.

（Ⅰ）求与的关系表达式；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）当时，函数的图象上任意一点的斜率恒大于，求的取值范围.

第二课时函数的图象

一、考点核心整合

1．要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等各种基本初等函数的图象.

2．函数图象的作法有两种：

一种是描点法；另一种是图象的变换法.

（1）描点法作图：

一般要考虑定义域，化简解析式，描出能确定图象伸展方向的几个关键点.

（2）利用图象变换法作图：

①平移变换：

②对称变换：

③翻折变换：

④伸缩变换：

二、典例精讲：

例1已知函数的图象如图所示（其中是函数

的导函数），下面四个图象中的图象大致是（）

例2已知函数的图象与函数的图象关于点对称.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若，且在区间上为减函数，求实数的取值范围.

例3已知函数和的图象关于原点对称，且.

（Ⅰ）求的表达式；

（Ⅱ）解不等式；

（Ⅲ）若在上是增函数，求实数的取值范围.

三、提高训练：

姓名____________

（一）选择题：

1．已知，若，则（）

A、B、

C、D、的大小关系不确定

2．当函数的图象不过第二象限时，则的取值范围是（）

A、B、C、D、

3．函数的图象如右图，则下列结论正确的是（）

A、B、

C、D、

4．若函数是增函数，那么的图象是

5．将函数的图象进行变换，使所得图象与函数的图象关于轴对称，这种变换是（）

A、向左平移1个单位B、向右平移1个单位

C、向上平移1个单位D、向下平移1个单位

（二）填空题：

6．若函数的图象关于直线对称，则_______.

7．设是定义在R上的奇函数，且的图象关于直线对称，则

=_________.

8．设函数的图象关于点对称，且存在反函数，则=________.

（三）解答题：

9．给定实数，设函数.求证：

（Ⅰ）经过这个函数图象上任意两点的直线不平行于轴；

（Ⅱ）这个函数的图象关于直线对称.

10．已知函数.

（Ⅰ）证明函数的图象在轴的一侧；

（Ⅱ）设是图象上两点，证明直线的斜率大于0；

（Ⅲ）求函数的图象的交点坐标.

11．设函数的定义域为，若存在，使得，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点.

（Ⅰ）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求满足的条件；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若，记函数图象上的两个不动点分别为，为函数的图象上的另一点，且其纵坐标，求点到直线距离的最小值及取得最小值时点的坐标；

（Ⅲ）命题“若定义在R上的奇函数的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？

若正确，试给予证明，并举出一例；若不正确，试举一反例说明.

第三课函数的综合问题及应用

一、考点核心整合

函数几乎渗透到中学数学的各个角落，它与其他知识互相渗透、相互融合，函数这一章应用的广泛性、解法的多样性和思维的创造性构成了本课时的重点.

（1）函数与不等式的综合；

（2）函数与方程的综合；

（3）函数与数列的综合；

（4）利用导数研究函数的单调性、最值等.在解决函数综合问题时，要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决，尤其是要注意数学思想方法的运用.

这部分内容在高考中多以大题形式出现，有一定的难度.

二、典例精讲：

例1设，函数，则使的的取值范围是（）

A、B、C、D、

例2已知函数.

（Ⅰ）若，且函数存在单调递减区间，求的取值范围；

（Ⅱ）设函数的图象与函数的图象交于点，过线段的中点作轴的垂线分别交于点.证明在点处的切线与在点处的切线不平行.

例3设平面内两向量与互相垂直，且，又与是两个不同时为0的实数.

（Ⅰ）若与垂直，求关于的函数关系式；

（Ⅱ）试确定的单调区间.

课后思考：

对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点，已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的不动点；

（Ⅱ）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若图象上两点的横坐标是函数的不动点，且两点关于直线对称，求的最小值.

三、提高训练：

姓名____________

（一）选择题：

1．已知是定义在R上的偶函数，并且满足，当时，，则等于（）

A、B、C、D、

2．设是的反函数，则使成立的的取值范围为（）

A、B、C、D、

3．设函数的定义域为，如果对于任意的，存在唯一的，使

成立，则称函数在上的均值为.给出下列四个函数：

①；②；③；④.则满足在其定义域上均值为2的所有函数是（）

A、①②B、③④C、①③④D、①③

4．已知是方程的根，是方程的根，则等于（）

A、6B、3C、2D、1

5．若是R上的偶函数，在上是减函数，且，则使得的的取值范围是（）

A、B、C、D、

（二）填空题：

6．对于函数定义域中任意的，有如下结论：

①；②；③；

④.

当时，上述结论中正确结论的序号是____________.

7．设函数是最小正周期为2的偶函数，

它在区间上的图象为如图所示的线段，则

在区间上，__________.

8．把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数的图象关于_____________对称，则函数______________.（注：

填上你认为可以成为真命题的一种情形即可，不必考虑所有可能的情形）

（三）解答题：

9．已知函数.

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）设表示由轴、与所围成的图形的面积，求.

10．设，求函数的单调区间.

11．已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数的最大值与最小值；

（Ⅱ）求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.