北京市朝阳区届高三上学期期末考试数学文试题 Word版含答案.docx
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北京市朝阳区届高三上学期期末考试数学文试题Word版含答案
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学试卷（文史类）2015.1
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题：
本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.设为虚数单位，则复数的模=
A. 1B.C. D.
2.已知全集，若集合，则
A.，或B.，或C.D.
3.一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
A.B.C.D.
4.执行如右图所示的程序框图,则输出的的值是
A.3B.4C.5D.6
5.若是两个非零的平面向量，则“”是“”的
A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
6.如图，塔底部为点，若两点相距为100m并且与点在同一水平线上，现从两点测得塔顶的仰角分别为和，则塔的高约为（精确到0.1m，，）
A.36.5B.115.6C.120.5D.136.5
7.已知定义在上的函数若直线与函数的图象恰有两个公共点，则实数的取值范围是
A.B.C.D.
8.如图，在正方体中，为的中点，点在四边形及其内部运动．若，则点的轨迹为
A.线段B.圆的一部分C.椭圆的一部分D.双曲线的一部分
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：
本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上．
9.双曲线的离心率是；渐近线方程是．
10.为了解某厂职工家庭人均月收入情况,调查了该厂80户居民月收入,列出频率分布表
如下:
按家庭人均月收入分组（百元）
第一组
第二组
第三组
第四组
第五组
第六组
频率
0.1
0.2
0.15
0.1
0.1
则这80户居民中,家庭人均月收入在元之间的有户（用数字作答）；假设家庭人均月收入在第一组和第二组的为中低收入家庭,现从该厂全体职工家庭中随机抽取一个家庭,估计该家庭为中低收入家庭的概率是.
11.已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是______.
12.某单位有职工共60人，为了开展社团活动，对全体职工进行问卷调查，其中喜欢体育运动的共28人，喜欢文艺活动的共26人，还有12人对体育运动和文艺活动都不喜欢，则喜欢体育运动但不喜欢文艺活动的人共有人.
13.在平面直角坐标系中，若关于的不等式组表示一个三角形区域，则实数的取值范围是______.
14.设（），若无论为何值，函数的图象总是一条直线，则的值是______.
三、解答题：
本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
15.（本小题满分13分）
某幼儿园有教师人，对他们进行年龄状况和受教育程度的调查，其结果如下：
本科
研究生
合计
35岁以下
5
2
7
35～50岁（含35岁和50岁）
17
3
20
50岁以上
2
1
3
（Ⅰ）从该幼儿园教师中随机抽取一人，求具有研究生学历的概率；
（Ⅱ）从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，求有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率.
16.（本小题满分13分）
已知平面向量，，，，
函数.
（Ⅰ）求函数的单调递减区间；
（Ⅱ）若，求的值.
17.（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面．点是线段的中点，点是线段上的动点．
（Ⅰ）若是的中点，求证：
//平面；
（Ⅱ）求证：
；
（Ⅲ）若，，当三棱锥的体积等于时，试判断点在边上的位置，并说明理由.
18.（本小题满分13分）
已知公比为的等比数列中，，前三项的和为.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，设数列满足，,求使的的
最小值.
19.（本小题满分13分）
已知函数，.
（）若是的极值点，求的值：
（Ⅱ）当时，求证：
.
20.（本小题满分14分）
已知离心率为的椭圆与直线相交于两点（点在轴上方），且．点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，且．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求四边形面积的取值范围．
S>15?
北京市朝阳区2014-2015学年度高三年级第一学期期末统一考试
数学答案（文史类）2015.1
一、选择题：
（满分40分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
B
C
D
B
A
二、填空题：
（满分30分）
题号
9
10
11
12
13
14
答案
；
22
4
（注：
两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：
（满分80分）
15.（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设：
“从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历”为事件，
由题可知幼儿园总共有教师30人，其中“具有研究生学历”的共6人.
则.
答：
从该幼儿园教师中随机抽取一人，具有研究生学历的概率为.………4分
（Ⅱ）设幼儿园中35岁以下具有研究生学历的教师为，，35～50岁（含35岁和50岁）具有研究生学历的教师为，，，50岁以上具有研究生学历的教师为，从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，所有可能结果有15个，它们是：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），
（，），
记“从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生”为事件，则中的结果共有12个，它们是：
（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），（，），故所求概率为．
答：
从幼儿园所有具有研究生学历的教师中随机抽取2人，有35岁以下的研究生或50岁以上的研究生的概率为.………………13分
16.（本小题满分13分）
（Ⅰ）因为，，，
所以，
=.
则=.
则当时，即时，
函数为减函数，.
所以函数的单调递减区间是，.
………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又，
则，.
因为，所以.
.
所以当时，；
当时，.
………………13分
17.（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：
在中，因为点是中点，点是中点，
所以//．
又因为平面，平面，
所以//平面．…………4分
（Ⅱ）证明：
因为平面，
且平面，
所以．
又因为底面是正方形，且点是的中点，
所以．
因为，所以平面，
而平面，所以．…………9分
（Ⅲ）点为边上靠近点的三等分点．
说明如下：
由（Ⅱ）可知，平面．
又因为平面，平面，所以.
设．由得，，
所以．
由已知，所以．
因为，所以点为边上靠近点的三等分点．…………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）由已知得，，解得，或，．
则数列的通项公式为或，……………5分
（Ⅱ）因为，所以，.
，.
由，即，即，即
即.则使的最小的的值为．…………………13分
19.（本小题满分13分）
（）函数的定义域为.
因为,
又是的极值点,所以，解得.
经检验，是的极值点，
所以的值为.………5分
（Ⅱ）证明：
方法1：
当时，.
所以.
若，则，所以，所以.
所以函数在单调递减.
若，则，所以，所以.
所以函数在单调递增.
所以当时，.
（时，;时，.）
所以.………13分
方法2：
当时，，
所以.
设，则，所以在单调递增.
又，所以当时，，即，所以在单调递减；
当时，，即，所以在单调递增.
（接下来表述同解法1相应内容）
所以.………13分
20.（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）由已知得，则，设椭圆方程为
由题意可知点在椭圆上，
所以．解得．
故椭圆的标准方程为．………4分
（Ⅱ）由题意可知，直线，直线的斜率都存在且不等于0．
因为，所以．
设直线的斜率为，则直线（）．
由得……
（1）.
依题意，方程
（1）有两个不相等的实数根，即根的判别式成立.
即,
化简得，解得.
因为是方程
（1）的一个解，所以．
所以．
当方程
（1）根的判别式时，，此时直线与椭圆相切.
由题意，可知直线的方程为．
同理，易得．
由于点是椭圆上位于直线两侧的两个动点，，
且能存在四边形，则直线的斜率需满足.
设四边形面积为，则
由于，故
.
当时，，即，即.
（此处另解：
设，讨论函数在时的取值范围.
，则当时，，单调递增.
则当时，，即.）
所以四边形面积的取值范围是.………14分
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