222 函数的奇偶性3 学案 高中数学必修一 苏教版Word格式.docx
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（3）若对函数f（x）有f（－1）＝f
（1），则f（x）为偶函数．（ ）
（4）奇函数的图象一定过（0,0）．（ ）
【答案】
（1）√
（2）×
（3）×
（4）×
2．若f（x）是定义在区间[a－2,5]上的奇函数，则a＝________.
【解析】 易知a－2＋5＝0，∴a＝－3.
【答案】 －3
[小组合作型]
函数奇偶性的判断
（1）若函数f（x）的图象如图2 2 5，则f（x）为________函数．（填“奇”或“偶”或“非奇非偶”）
图2 2 5
（2）判断下列函数的奇偶性．
①f（x）＝
；
②f（x）＝
＋
③f（x）＝
.
【精彩点拨】
（1）观察图象的对称性．
（2）利用奇偶性的定义，先确定定义域，再看f（x）与f（－x）的关系．
【自主解答】
（1）因为函数的图象关于y轴对称，所以函数是偶函数．
【答案】 偶
（2）①因为函数的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称．又f（－x）＝
＝
＝f（x），所以函数f（x）是偶函数．
②定义域要求
所以－1≤x＜1，
所以f（x）的定义域不关于原点对称，
所以f（x）是非奇非偶函数．
③由
得x∈{2，－2}，定义域关于原点对称，且f（±
2）＝0，
所以f（x）既是奇函数又是偶函数．
判断函数奇偶性的方法
1．定义法
2．图象法
若函数的图象关于原点对称，则函数为奇函数；
若函数图象关于y轴对称，则函数为偶函数．此法多用于填空题中．
[再练一题]
1．判断下列各函数的奇偶性．
（1）f（x）＝（x－2）
（2）f（x）＝
【解】
（1）由
≥0，得定义域为[－2,2），关于原点不对称，故f（x）为非奇非偶函数．
（2）当x<
－1时，f（x）＝x＋2，－x>
1，
∴f（－x）＝－（－x）＋2＝x＋2＝f（x）；
当x>
1时，f（x）＝－x＋2，－x<
－1，
f（－x）＝－x＋2＝f（x）；
当－1≤x≤1时，f（x）＝0，－1≤－x≤1，f（－x）＝0＝f（x）．
∴对定义域内的每个x都有f（－x）＝f（x），因此f（x）是偶函数．
已知函数奇偶性求解析式
（1）已知f（x）是R上的奇函数，当x∈（－∞，0）时，f（x）＝－x（1＋x），求f（x）；
（2）若函数f（x）＝x2＋（m－1）x＋3（x∈R）是偶函数，求m的值.
【精彩点拨】
（1）已知x<
0时的解析式，用奇偶性求x>
0的解析式，应通过（－x）进行过渡，但别忽视x＝0的情况；
（2）应用偶函数满足f（－x）＝f（x）．
【自主解答】
（1）∵f（x）为R上的奇函数，
∴f（－0）＝－f（0），
∴f（0）＝0.
当x∈（0，＋∞）时，－x∈（－∞，0），
∴f（－x）＝x（1－x）．
∵f（x）为R上的奇函数，
∴－f（x）＝x（1－x），
∴f（x）＝－x（1－x）．
综上可知，f（x）＝
（2）∵f（x）为偶函数，
∴f（－x）＝f（x），
即x2－（m－1）x＋3＝x2＋（m－1）x＋3，
∴2（m－1）x＝0.∵x∈R，∴m－1＝0，得m＝1.
1．本题易忽视定义域为R的条件，漏掉x＝0的情形．若函数f（x）的定义域内含0且为奇函数，则必有f（0）＝0.
2．利用奇偶性求解析式的思路
（1）在待求解析式的区间内设x，则－x在已知解析式的区间内；
（2）利用已知区间的解析式进行代入；
（3）利用f（x）的奇偶性，求待求区间上的解析式．
2．
（1）已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，x≥0时，f（x）＝x2－3x，则函数f（x）在R上的解析式是________．（填序号）
①f（x）＝－x（x－3）；
②f（x）＝x（|x|－3）；
③f（x）＝|x|（x－3）；
④f（x）＝|x|（|x|－3）．
（2）已知函数f（x）为奇函数，且当x>
0时，f（x）＝2x2＋
，则f（－1）＝________.
【解析】
（1）∵f（x）在R上是偶函数，且x≥0时，f（x）＝x2－3x，
∴当x<
0时，－x>
0，f（－x）＝（－x）2＋3x＝x2＋3x，则f（x）＝f（－x）＝x2＋3x＝－x（－x－3）．
又当x≥0时，f（x）＝x2－3x＝x（x－3），因此f（x）＝|x|（|x|－3）．
（2）法一：
当x<
0，
f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）2＋
]＝－2x2＋
，
∴f（－1）＝－2（－1）2＋
＝－3.
法二：
f（－1）＝－f
（1）＝－（2×
12＋1）＝－3.
【答案】
（1）④
（2）－3
[探究共研型]
奇偶函数的单调性
探究1 观察图2 2 6中的两个图象，说明这两个图象对应的函数具有何种奇偶性？
它们在y轴左右两侧的单调性相同吗？
由此，我们可以得出的结论是什么？
图2 2 6
【提示】 两个图象均为奇函数的图象，在y轴左右两侧，函数的单调性相同，可得出结论：
奇函数在对称区间上的单调性相同．
探究2 能否证明一下探究1中的结论（不妨以“已知f（x）在[a，b]（a>
0）上递增”为例）
【提示】 已知f（x）是奇函数，在区间[a，b]（a>
0）上是单调递增的．证明f（x）在区间[－b，－a]上也单调递增．
证明：
任取x1，x2∈[－b，－a]且x1<
x2.
则f（x1）－f（x2）＝－f（－x1）－[－f（－x2）]＝f（－x2）－f（－x1），
∵－b≤x1<
x2≤－a，∴a≤－x2<
－x1≤b，
由f（x）在[a，b]上单调递增，∴f（－x2）<
f（－x1），
∴f（－x2）－f（－x1）<
0，即f（x1）<
f（x2），
∴f（x）在区间[－b，－a]上单调递增．
探究3 从图2 2 7两个偶函数的图象中，能否找出偶函数的图象在对称区间上的关系？
图2 2 7
【提示】 偶函数的图象在对称区间上单调性相反．
已知函数f（x）是奇函数，其定义域为（－1,1），且在[0,1）上为增函数．若f（a－2）＋f（3－2a）<
0，试求a的取值范围．
【精彩点拨】 可将f（a－2）＋f（3－2a）<
0移项得f（a－2）<
－f（3－2a），根据奇偶性和单调性转化为研究a－2与2a－3的大小关系，注意定义域．
【自主解答】 ∵f（a－2）＋f（3－2a）<
0，∴f（a－2）<
－f（3－2a）．
∵f（x）为奇函数，∴－f（3－2a）＝f（2a－3），∴f（a－2）<
f（2a－3）．
∵f（x）在[0,1）上为增函数，∴f（x）在（－1,1）上单调递增，
∴
解得1<
a<
2.
1．函数奇偶性和单调性的关系
（1）若f（x）是奇函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相同的单调性．
（2）若f（x）是偶函数，且f（x）在[a，b]上是单调函数，则f（x）在[－b，－a]上也为单调函数，且具有相反的单调性．
2．利用单调性和奇偶性解不等式的方法
（1）充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f（x1）＞f（x2）或f（x1）＜f（x2）的形式，再利用单调性脱掉“f”求解．
（2）在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性相反，列出不等式或不等式组，求解即可，同时要注意函数自身定义域对参数的影响．
3．已知定义在[－2,2]上的函数f（x）是偶函数，在[0,2]上单调递增，则满足不等式f（2a－1）>
f
（1）的a的取值范围是________．
【解析】 由f（x）为偶函数，得f（2a－1）＝f（|2a－1|），
又f（x）在[0,2]上单调递增，且f（|2a－1|）>
f
（1），
∴|2a－1|>
故
∴1<
a≤
或－
≤a<
0.
【答案】
∪
1．下列函数为奇函数的是________．（填序号）
（1）y＝x；
（2）y＝2x2－3；
（3）y＝
（4）y＝x3，x∈[0,1]．
【解析】
（1）中函数是奇函数；
（2）中函数是偶函数；
（3）（4）中函数是非奇非偶函数．
【答案】
（1）
2．已知函数f（x）＝
＋3
，则f（x）的奇偶性为________．
【解析】 要使函数有意义，需满足x2－2≥0,2－x2≥0，∴x＝±
，此时y＝0，因此函数图象为点
，既关于原点对称又关于y轴对称，因此函数既是奇函数又是偶函数．
【答案】 既是奇函数又是偶函数
3．已知f（x）＝ax3＋bx－4，其中a，b为常数，若f（－2）＝2，则f
（2）的值等于________．
【解析】 f（－2）＝2，∴－8a－2b－4＝2，∴8a＋2b＝－6，∴f
（2）＝8a＋2b－4＝－10.
【答案】 －10
4．设f（x）是定义在（－∞，＋∞）上的偶函数，且当x≥0时，f（x）＝x3＋1，则当x<
0时，f（x）＝________.
【解析】 当x<
∴f（－x）＝（－x）3＋1＝－x3＋1，∵f（－x）＝f（x），∴f（x）＝－x3＋1.
【答案】 －x3＋1
5．已知定义在[－2,2]上的奇函数f（x）在[0,2]上单调递增，f（m）＋f（m－1）>
0，求实数m的取值范围．
【解】 ∵f（x）是奇函数，在[0,2]上单调递增，
∴f（x）在[－2,2]上都递增．
由f（m）＋f（m－1）>
0，∴f（m）>
－f（m－1）＝f（1－m），
由f（x）的单调性知1－m<
m，
⇒
<
m≤2，
∴m的取值范围为
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