分段函数的几种常见题型和解法.docx

分段函数的几种常见题型和解法.docx

《分段函数的几种常见题型和解法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《分段函数的几种常见题型和解法.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

分段函数的几种常见题型和解法

函数的概念和性质

考点分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数的定义域、值域.

2．求分段函数的函数值

例2．已知函数求.

3．求分段函数的最值

例3．求函数的最大值.

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）

5．作分段函数的图像

例5．函数的图像大致是（）

6．求分段函数得反函数

例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设的反函数为,求的表达式.

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数的奇偶性.

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数的单调性.

例9．写出函数的单调减区间.

9．解分段函数的方程

例10．设函数,则满足方程的的值为

10．解分段函数的不等式

例11．设函数,若,则得取值范围是（）

例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）

A．B.

C.D.

反馈练习

1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B.（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

2．（2013福建，4分）已知函数f（x）＝则f＝________.

3．（2013北京，5分）函数f（x）＝的值域为________．

4．（2012江西，5分）若函数f（x）＝则f（f（10））＝（　　）

A．lg101B．2

C．1D．0

5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：

分钟）为

f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（　　）

A．75,25B．75,16

C．60,25D．60,16

6．（2012江苏，5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f（）＝f（），则a＋3b的值为________．

7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为________．

函数的概念和性质

考点一分段函数

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,有不同的对应法则的函数,它是一个函数,却又常常被学生误认为是几个函数;它的定义域是各段函数定义域的并集,其值域也是各段函数值域的并集.由于它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考察上有较好的作用,时常在高考试题中“闪亮”登场,本文就几种具体的题型做了一些思考,解析如下：

1．求分段函数的定义域和值域

例1．求函数的定义域、值域.

【解析】

作图,利用“数形结合”易知的定义域为,值域为.

2．求分段函数的函数值

例2．已知函数求.

【解析】

因为,所以.

3．求分段函数的最值

例3．求函数的最大值.

【解析】当时,,当时,,当时,,综上有.

4．求分段函数的解析式

例4．在同一平面直角坐标系中,函数和的图象关于直线对称,现将的图象沿轴向左平移2个单位,再沿轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,则函数的表达式为（）

【解析】

当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式为,所以,当时,,将其图象沿轴向右平移2个单位,再沿轴向下平移1个单位,得解析式,所以,综上可得,故选A.

5．作分段函数的图像

例5．函数的图像大致是（）

解析：

在定义范围讨论，当01时，故选D

6．求分段函数得反函数

例6已知是定义在上的奇函数,且当时,,设的反函数为,求的表达式.

【解析】

设,则,所以,又因为是定义在上的奇函数,所以,且,所以,因此

从而可得.

7．判断分段函数的奇偶性

例7．判断函数的奇偶性.

【解析】

当时,,,当时,,当,,因此,对于任意都有,所以为偶函数.

8．判断分段函数的单调性

例8．判断函数的单调性.

【解析】

显然连续.当时,恒成立,所以是单调递增函数,当时,恒成立,也是单调递增函数,所以在上是单调递增函数;或画图易知在上是单调递增函数.

例9．写出函数的单调减区间.

【解析】,画图易知单调减区间为.

9．解分段函数的方程

例10．（01年上海）设函数,则满足方程的的值为

【解析】

若,则,得,所以（舍去）,若,则,解得,所以即为所求.

10．解分段函数的不等式

例11．设函数,若,则得取值范围是（）

【解析1】

首先画出和的大致图像,易知时,所对应的的取值范围是.

【解析2】

因为,当时,,解得,当时,,解得,综上的取值范围是.故选D.

例12．设函数,则使得的自变量的取值范围为（）

A．B.

C.D.

【解析】

当时,,所以,当时,,所以,综上所述,或,故选A项.

【点评：

】

以上分段函数性质的考查中,不难得到一种解题的重要途径,若能画出其大致图像,定义域、值域、最值、单调性、奇偶性等问题就会迎刃而解,方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解,使问题得到大大简化,效果明显.

反馈练习

1．（2013新课标全国Ⅰ，5分）已知函数f（x）＝若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）

A．（－∞，0]B.（－∞，1]

C．[－2,1]D．[－2,0]

解析：

本题考查一次函数、二次函数、对数函数、分段函数及由不等式恒成立求参数的取值范围问题，意在考查考生的转化能力和利用数形结合思想解答问题的能力．当x≤0时，f（x）＝－x2＋2x＝－（x－1）2＋1≤0，所以|f（x）|≥ax化简为x2－2x≥ax，即x2≥（a＋2）x，因为x≤0，所以a＋2≥x恒成立，所以a≥－2；当x＞0时，f（x）＝ln（x＋1）＞0，所以|f（x）|≥ax化简为ln（x＋1）＞ax恒成立，由函数图象可知a≤0，综上，当－2≤a≤0时，不等式|f（x）|≥ax恒成立，选择D.

答案：

D

2．（2013福建，4分）已知函数f（x）＝则f＝________.

解析：

本题主要考查分段函数的求值，意在考查考生的应用能力和运算求解能力．∵f＝－tan＝－1，∴f＝f（－1）＝2×（－1）3＝－2.

答案：

－2

3．（2013北京，5分）函数f（x）＝的值域为________．

解析：

本题主要考查分段函数的概念、性质以及指数函数、对数函数的性质，意在考查考生对函数定义域、值域掌握的熟练程度．

分段函数是一个函数，其定义域是各段函数定义域的并集，值域是各段函数值域的并集．当x≥1时，logx≤0，当x<1时，0<2x<2，故值域为（0,2）∪（－∞，0]＝（－∞，2）．

答案：

（－∞，2）

4．（2012江西，5分）若函数f（x）＝则f（f（10））＝（　　）

A．lg101B．2

C．1D．0

解析：

f（10）＝lg10＝1，故f（f（10））＝f

（1）＝12＋1＝2.

答案：

B

5．（2011北京，5分）根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间（单位：

分钟）为

f（x）＝（A，c为常数）．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c和A的值分别是（　　）

A．75,25B．75,16

C．60,25D．60,16

解析：

因为组装第A件产品用时15分钟，所以＝15

（1），所以必有4

（2），联立

（1）

（2）解得c＝60，A＝16.

答案：

D

6．（2012江苏，5分）设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f（x）＝其中a，b∈R.若f（）＝f（），则a＋3b的值为________．

解析：

因为f（x）是定义在R上且周期为2的函数，所以f（）＝f（－），且f（－1）＝f

（1），故f（）＝f（－），从而＝－a＋1,3a＋2b＝－2.　①

由f（－1）＝f

（1），得－a＋1＝，故b＝－2a.　②

由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.

答案：

－10

7．（2011江苏，5分）已知实数a≠0，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（1＋a），则a的值为________．

解析：

①当1－a＜1，即a＞0时，此时a＋1＞1，由f（1－a）＝f（1＋a），得2（1－a）＋a＝－（1＋a）－2a，计算得a＝－（舍去）；②当1－a＞1，即a＜0时，此时a＋1＜1，由f（1－a）＝f（1＋a），得2（1＋a）＋a＝－（1－a）－2a，计算得a＝－，符合题意，所以综上所述，a＝－.

答案：

－