静力学公理与物体的受力分析Word下载.docx
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力的三要素可用一个矢量来表示，如图1.1所示。
矢量长度按照一定比例表示力的大小；
矢量方向为力的作用方向；
矢量起始端或末端为力的作用点，如图1.1中的A、B两点。
本书用粗体字母F表示力矢量，而用普通字母F表示力的大小。
薂图1.1
芀
依据力系中各力作用线的相互位置，力系可分为空间力系和平面力系。
依据力系中各力作用线间的相互关系，又可将力系分为汇交力系、平行力系与任意力系。
汇交力系、平行力系是任意力系的两种特殊情形。
依据力的作用范围可将力分为集中力和分布力：
集中力（集中载荷）：
当力的作用面面积相对于结构或构件尺寸很小时，可视为作用于结构或构件上的某一点，称其为集中力。
分布力（分布载荷）：
分布于物体上某一范围内的力称为分布力。
分布力用载荷集度q来表示。
体分布力单位为牛/米3（N/m3），面分布力单位为牛/米2（N/m2）。
工程设计中，常将体、面分布力简化为连续分布在某一段长度上的力，称为线分布力，单位为牛/米（N/m）。
1.2静力学公理
在生产实践中，人们对物体的受力进行了长期观察和试验，对力的性质进行了概括和总结，得出了一些经过实践检验是正确的、大家都承认的、无须证明的正确理论，这就是静力学公理。
公理一（二力平衡原理）作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的充分必要条件是：
两力大小相等，方向相反，作用在同一直线上。
或者说二力等值、反向、共线。
此公理阐明了由两个力组成的最简单力系的平衡条件，是一切力系平衡的基础。
此公理只适用于刚体，对于变形体来说，它只给出了必要条件，而非充分条件。
工程中经常遇到不计自重，且只在两点处各受一个集中力作用而处于平衡状态的刚体。
这种只在两个力作用下处于平衡状态的刚体，称为二力构件（二力杆）。
二力构件的形状可以是直线形的，也可以是其它任何形状的。
作用于二力构件上的两个力必然等值、反向、共线。
在结构中找出二力构件，对整个结构系统的受力分析是至关重要的。
公理二（加减平衡力系原理）在已知力系上，加上或减去任意平衡力系，不改变原力系对刚体的作用效果。
也就是说，如果两个力系只相差一个或几个平衡力系，它们对刚体的作用效果相同。
此公理是力系简化的基础。
推论1（力的可传性定理）作用于刚体某点上的力，其作用点可以沿其作用线移动到刚体内任意一点，不改变原力对刚体的作用效果。
证明：
设一力F作用于刚体上的A点，如图1.2a所示。
根据加减平衡力系原理，可在力的作用线上任取一点B，加上两个相互平衡的力F1和F2，使F=F1=F2，如图1.2b。
由于F和F1构成一个新的平衡力系，故可减去，这样只剩下一个力F2，如图1.2c。
于是原来的力F与力系（F，F1，F2）以及力F2互为等效力系。
这样，F2可看成是原力F的作用点沿其作用线由A移到了B。
芀图1.2
羈
由此可见，对于刚体来说，力的作用点已不是决定力作用效果的要素，它已为作用线所替代。
因此，作用于刚体上力的三要素是：
大小、方向、作用线。
公理2及其推论只适用于刚体，而不适用于变形体。
对于变形体来说，作用力将产生内效应，当力沿其作用线移动时，内效应将发生改变。
公理三（力的平行四边形法则）作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。
合力作用点也在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边构成的平行四边形的对角线所决定。
如图1.3a所示。
或者说，合力矢等于两个分力矢的矢量和，即
（1.1）
应用此公理求两个汇交力的合力时，可由任意一点O起，另作一力三角形，如图1.3b、c所示。
三角形的两个边分别表示两个分力，第三边表示合力，合力的作用点仍在汇交点A。
此即两个汇交力合成的力三角形法则。
莃图1.3
葿
如果一个力与一个力系等效，则该力称为力系的合力，力系中的各个力称为合力的分力。
将分力替换成合力的过程称为力系的合成；
将合力替换成分力的过程称为力系的分解。
推论2（三力平衡汇交定理）作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。
该推论的证明请读者参考图1.4自行给出。
注意：
三力平衡汇交定理的逆定理不成立。
也就是说，即使三力共面且汇交于一点，此三力也未必平衡，请读者自行举例说明。
莄图1.4
芁
罿图1.5
螆
公理四（作用与反作用原理）两物体之间的相互作用力总是等值、反向、共线，分别作用在两个相互作用的物体上。
这个原理揭示了物体之间相互作用的定量关系，它是对物系进行受力分析的基础。
作用与反作用原理中的两个力分别作用于两个相互作用的物体上，而二力平衡原理中的两个力作用于同一个刚体。
在图1.5中，重物给绳索一个向下的拉力FB，同时绳索给重物一个向上的拉力
，FB与
互为作用与反作用力，而FB与FA、
与W为两对平衡力。
公理五（刚化原理）变形体在某一力系作用下处于平衡状态，如果将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
这个公理提供了把变形体视为刚体模型的条件。
例如，绳索在等值、反向、共线两个力作用下处于平衡，如将绳索刚化为刚体，其平衡状态保持不变。
反之，就不一定成立。
如刚体在等值、反向、共线的两个力作用下平衡，若将其换为绳索就不能平衡了。
由此可见，刚体的平衡条件是变形体平衡的必要条件，而非充分条件。
在刚体静力学的的基础上，考虑变形体的特性，可进一步研究变形体的平衡问题。
1.3约束与约束反力
在机械和工程结构中，每一构件都根据工作需要，以一定的方式与周围其它构件联系着，其运动也受到一定限制。
例如，梁由于墙的支撑而不致下落，列车只能沿轨道行驶，门、窗由于合页的限制而只能绕轴线转动等。
这种联系限制了构件间的相对位置和相对运动。
1.约束与约束反力
工程中所遇到的物体通常分可为两种。
有些物体在空间的位移不受任何限制，如飞行的飞机、气球、炮弹和火箭等，这种位移不受任何限制的物体称为自由体。
而有些物体在空间的位移却受到一定的限制，如机车受到铁轨的限制，只能沿轨道运动；
电机转子受轴承的限制，只能绕轴线转动；
重物被钢索吊住而不能下落等。
这种位移受到限制的物体称为非自由体。
对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体称为约束。
如铁轨对于机车、轴承对于电机转子、钢索对于重物等，都是约束。
约束限制非自由体的运动，能够起到改变物体运动状态的作用。
从力学角度来看约束对非自由体有作用力。
约束作用在非自由体上的力称为约束反力，简称为约束力或反力。
约束反力的方向必与该约束所限制位移的方向相反，这是确定约束反力方向的基本原则。
至于约束反力的大小和作用点，前者一般未知，需要用平衡条件来确定；
作用点一般在约束与非自由体的接触处。
若非自由体是刚体，则只需确定约束反力作用线的位置即可。
2.工程中常见的约束及其反力
下面对工程中一些常见约束进行分类分析，并归纳出其反力特点。
1）理想光滑面约束
在约束与被约束体的接触面较小、且比较光滑的情况下，忽略摩擦因素的影响，就得到了理想光滑面约束。
其约束特征为：
约束限制被约束物体沿着接触处公法线趋向约束体的运动。
故约束反力方向总是通过接触点，沿着接触点处公法线而指向被约束物体。
例如轨道对车轮的约束；
一矩形构件搁置在槽中，其受力分别如图1.6a、b所示。
蚂图1.6
莇
图1.7为机械夹具中的V形铁、被夹物体及压板的受力情况，各接触点处均为光滑接触。
肂图1.7
膈
2）柔性约束
绳索、链条、皮带、胶带等柔性物体所形成的约束称为柔性约束。
这种柔性体只能承受拉力。
其约束特征是只能限制被约束物体沿其中心线伸长方向的运动，而无法阻止物体沿其它方向的运动。
因此柔性约束产生的约束反力总是通过接触点、沿着柔性体中心线而背离被约束的物体（即使被约束物体承受拉力作用）。
袈图1.8
蚇
肃图1.9
羀
绳索悬挂一重物如图1.8所示。
绳索只能承受拉力，对重物的约束反力
如图所示。
链条或胶带绕在轮子上时，对轮子的约束反力沿轮缘切线方向，如图1.9所示。
3）光滑圆柱铰链约束
圆柱形铰链是将两个物体各钻圆孔，中间用圆柱形销钉联接起来所形成的结构。
销钉与圆孔的接触面一般情况下可认为是光滑的，物体可以绕销钉的轴线任意转动，如图1.10a所示。
如门、窗用的合页，起重机悬臂与机座之间的联接等，都是铰链约束的实例。
铰链联接简图如图1.10b所示，销钉阻止被约束两物体沿垂直于销钉轴线方向的相对横向移动，而不限制联接件绕轴线的相对转动。
因此，根据光滑面约束特征可知，销钉产生的约束反力FR应沿接触点处公法线，必过铰链中心（销钉轴线），如图1.10c所示。
但接触点位置与被约束构件所受外力有关，一般不能预先确定，因此，FR的方向未定，通常用过销钉中心，且相互正交的两个分力FRx、FRy来表示。
薆图1.10
薃
4）支座约束
固定铰支座铰链结构中有两个构件，若其中一个固定于基础或静止的支承面上，此时称铰链约束为固定铰支座。
固定铰支座的结构简图及其约束反力如图1.11所示。
此外，工程中的轴承也可视为固定铰支座约束。
蚂图1.11
蒂
可动铰支座又称为辊轴约束。
这是一种特殊的平面铰链，通常与固定铰支座配对使用，分别装在梁的两端。
与固定铰支座不同的是，它不限制被约束端沿水平方向的位移。
这样当桥梁由于温度变化而产生伸缩变形时，梁端可以自由移动，不会在梁内引起温度应力。
由于这种约束只限制了竖直方向的运动，所以，其约束反力沿滚轮与支承接触处的公法线方向，指向被约束构件。
其结构与受力简图如图1.12所示。
肄图1.12
袂
5）固定端约束
固定端约束结构如图1.13a所示，该约束既限制构件沿任何方向的移动，又限制构件转动。
如对于嵌在墙体内的悬臂梁来说，墙体即为固定端约束。
其结构简图及约束反力分别如图1.13b、c所示。
莁图1.13
莀
6）空间球形铰链约束
球形铰链的结构如图1.14a所示，通常是将构件的一端作成球形后置于另一构件或基础的球窝中。
其作用是限制被约束体在空间的移动但不限制其转动。
如电视机、收音机天线与机体的联接，车床床头灯与床身的联接等都是球形铰链约束。
球形铰链约束的特征是限制了杆件端点沿三个方向的移动，但不限制其转动，所以约束反力是通过球心，但方向不能预先确定的一个空间力。
可用三个相互正交的分力FAx、FAy、FAz来表示。
工程中的止推轴承可视为空间球铰链约束。
肁图1.14
芅
以上只介绍了几种常见约束，在工程中约束的类型远不止这些，有的约束比较复杂，分析时需加以抽象、简化。
1.4物体的受力分析与受力图
在工程中，可用平衡条件求出未知的约束反力。
为此，需要确定构件受几个力作用，每个力的作用位置和方向，这个过程称为物体的受力分析。
为了分析某个构件的受力，必须将所研究物体从周围物体中分离出来，而将周围物体对它的作用用相应的约束力来代替，这一过程称为取分离体，取分离体是显示周围物体对研究对象作用力的一种重要方法。
作用在物体上的力可分为两类：
一类是主动力，即主动地作用于物体上的力，例如作用于物体上的重力、风力、气体压力、工作载荷等，这类力一般是已知的或可以测得的；
另一类是被动力，在主动力作用下物体有运动趋势，而约束限制了这种运动，这种限制作用是以约束反力形式表现出来的，称之为被动力。
受力分析的主要任务是画受力图。
一般来说，约束反力的大小是未知的，需要利用平衡条件来求出，但其方向是已知的，或可通过某种方式分析出来。
用受力图清楚、准确地表达物体的受力情况，是静力学不可缺少的基本功训练之一。
作受力图的一般步骤如下：
1．取分离体确定研究对象并画出简图；
2．画主动力；
3．逐个分析约束，并画出约束反力。
下面举例说明受力图的作法及其注意事项。
例1.1用力F拉动碾子以压平路面，已知碾子重W，运动过程中受到一石块的阻碍，如图1.15a所示，试分析此时碾子的受力情况。
螂图1.15
螈
解：
（1）取分离体以碾子为研究对象，并单独画出其简图（图1.15b所示）；
（2）画主动力作用在碾子上的主动力有地球的吸引力W，杆对碾子中心的拉力F；
（3）画约束反力因为碾子在A、B两处受到石块和地面的约束，如不计摩擦，则可视为理想光滑面约束，故在A处受地面的法向反力FA作用；
在B处受到石块的法向反力FB作用。
它们都沿着碾子接触点处公法线而指向碾子中心。
碾子受力如图1.15b所示。
例1.2如图1.16a所示，梁A端为固定铰支座约束，B端为可动铰支座约束，在D处作用有一水平力F，梁的自重为W，试作出AB梁的受力图。
螃图1.16
薁
（1）取分离体以AB梁为研究对象，解除约束，画出分离体如图1.16b所示；
（2）画出全部主动力作用在梁上的主动力有梁的重力W及已知力F；
（3）画出全部约束反力固定铰链A处的约束反力FAx、FAy。
可动铰支座B处的约束反力FB垂直于支承面，AB梁受力如图1.16b所示。
几个物体通过一定联系组成的系统称为物体系统，简称为物系。
下面举例说明物系受力图的画法。
例1.3如图1.17a所示的三铰拱，由左右两个半拱通过铰链联接而成。
各构件自重不计，在拱AC上作用有载荷F。
试分别画出拱AC、BC及整体的受力图。
芄图1.17
蒀
（1）取拱BC为研究对象由于拱BC自重不计，且只在B、C两处受到铰链约束，因此，拱BC为二力构件，在铰链中心B、C处分别受FB、FC两力的作用，且
，如图1.17b所示。
（2）取拱AC为研究对象由于自重不计，因此主动力只有载荷F，拱在铰链C处受有拱BC对它的约束反力
作用，
与FC互为反作用力。
拱在A处受固定铰支座对它的约束反力FA的作用，其方向可用三力平衡汇交定理来确定，如图1.17b所示。
也可以根据固定铰链的约束特征，用两个大小未知、相互正交的分力FAx、FAy表示A处的约束反力。
（3）取整体为研究对象由于铰链C处所受的力FC、
为作用与反作用关系，这些力成对地出现在整个系统内，称为系统内力。
内力对系统的作用相互抵消，因此可以除去，并不影响整个系统平衡，故内力在整个系统的受力图上不必画出，也不能画出。
在受力图上只需画出系统以外的物体对系统的作用力，这种力称为外力。
整个系统的受力如图1.17c所示。
例1.4某组合梁如图1.18a所示。
AC与CE在C处铰接，并支承在A、B、D三个支座上，试画出梁AC、CE及全梁AE的受力图，梁的自重忽略不计。
肅图1.18
蚅
（1）以辅梁CE为研究对象取分离体，作用于梁上的主动力有F；
D处为可动铰支座，反力FD垂直于支承面；
C处为中间铰链约束，约束反力可用两个相互正交的分力FCx，FCy表示（方向可任意假设）。
CE段的受力如图1.18b所示。
（2）以主梁AC为研究对象取分离体，主动力有均布载荷q；
B处为可动铰支座，反力FB垂直于支承面；
A处为固定铰支座，反力为FAx，FAy（方向可任意假设），铰链C处的约束反力F'
Cx、F'
Cy分别是FCx，FCy的反作用力。
AC段的受力如图1.18c所示。
（3）以整个梁ACE为研究对象取分离体，主动力有F、q；
A、B、D处的约束反力为FAx、FAy、FB、FD，此时C处约束反力为组合梁的内力，不再画出。
梁ACE的受力如图1.18d所示。
要注意整个梁在A、B、D处约束反力方向要与图1.18b、c中的方向协调一致。
例1.6如图1.19a所示，梯子的两部分AB和AC在点A铰接，在D、E两点用水平绳联接。
梯子放在光滑的水平面上，其自重不计。
在AB上的H点处作用一垂直载荷F，试分别画出绳子DE、梯子AB、AC两部分及整个系统的受力图。
螇图1.19
（1）分析绳子DE的受力绳子的两端分别受到梯子对它的拉力FD、FE作用而处于平衡状态，其受力如图1.19b所示。
（2）分析梯子AB部分的受力它在H处受到载荷F的作用；
在铰链A处受到AC部分对它的约束反力FAx、FAy的作用；
在D处受到绳子对它的拉力F'
D（与FD互为反作用力）；
在B点受到光滑地面法向约束反力FB的作用。
其受力如图1.19b所示。
（3）分析梯子AC部分的受力在铰链A处受到AB部分对它的作用力F'
Ax、F'
Ay（分别是FAx、FAy的反作用力）的作用；
在点E受到绳子对它的拉力F'
E（与FE互为反作用力）的作用；
在C处受到光滑地面对它的约束反力FC的作用。
AC部分受力如图1.19b所示。
（4）分析整个系统的受力选整个系统作为研究对象，由于铰链A处所受的力互为作用和反作用关系，绳子与梯子的联结点D、E所受的力也分别互为作用与反作用关系，这些力为物体系统的内力，不必画出。
作用在系统上的外力有F、FB、FC。
整个系统受力如图1.19c所示。
画受力图时应注意的问题归纳如下：
（1）明确研究对象。
正确地选取研究对象，解除与之有联系的所有约束，画出分离体。
分离体的形状、方位必须与原物体保持一致。
（2）在分离体上画出作用在研究对象上的所有主动力，与研究对象无关的主动力不能画出。
（3）根据约束的类型，画出相应的约束反力，不能多画，也不能漏画。
（4）分析物系受力时，应先找出系统中的二力杆，这样有助于一些未知力方位的判断。
（5）画物系中各个物体的受力时，必须注意到作用与反作用关系，作用力的方向一经确定，反作用力的方向必须与之相反，同时必须注意作用力与反作用力符号的协调一致。
（6）以物系为研究对象时，物系内各物体之间的相互作用力不必画出，也不能画出。
小结
1．静力学的基本概念
1）平衡物体相对于地面保持静止或作匀速直线运动的状态。
2）刚体在外力作用下大小和形状都不改变的物体，是一种理想化的力学模型。
3）力物体之间的相互机械作用。
4）约束对研究对象起限制作用的周围物体。
约束作用在研究对象上的力称为约束反力。
约束反力的方向总是与约束所能阻碍的运动（或运动趋势）方向相反。
2．静力学公理
1）二力平衡原理说明了刚体在两个力作用下的平衡条件，是一切力系平衡的基础。
2）加减平衡力系原理是力系等效替换的基础。
3）力的平行四边形法则是共点力合成的基本方法，是力系简化的基础。
4）作用与反作用原理说明了物体间的相互作用关系。
5）刚化原理提供了把变形体视为刚体模型的条件。
3．物体受力分析与受力图
在分离体上画出其全部受力的图形称为受力图。
画受力图时要明确研究对象，解除约束，单独取分离体，画上所有的主动力和约束反力。
画受力图的整个过程称为物体的受力分析。
思考题
1.1下列说法是否正确？
为什么？
（1）大小相等、方向相反、且作用线共线的两个力一定是一对平衡力。
（2）分力的大小一定小于合力。
（3）凡不计自重的杆都是二力杆。
（4）凡两端用铰链联接的杆都是二力杆。
1.2二力平衡原理与作用与反作用原理都说二力等值反向、反向、共线，试问二者有何区别？
1.3什么是二力杆？
二力杆的受力与构件的形状有无关系？
1.4如图所示，A、B两物体各受力F1、F2作用，且F1=F2≠0。
试问A、B两物体能否保持平衡？
蚄思1.4
羃
蕿思1.5
膀
1.5找出图a、b中的二力构件。
1.6下列各图中物体的受力分析是否正确？
若有错，请改正。
图中各接触处均为光滑接触。
思1.6
习题
下列题目中凡未标出重力的物体其自重不计，各处均为光滑接触。
1.1画出图示球体的受力图。
题1.1
1.2画出下图中各个物体的受力图。
题1.2
1.3画出下图中各个物体的受力图。
题1.3
1.4画出图示组合梁中各段梁及整体的受力图。
1.5试分别画出图示结构中薄板M和N的受力图，各构件自重忽略不计。
题1.4
题1.5
1.6某化工塔器的竖起过程如图所示，下端搁置在基础上，C处系以钢绳并用绞盘拉住，上端B处也系以钢绳，并通过定滑轮联接到卷扬机E上，设塔器的重量为W，试画出塔器在图示位置的受力图。
1.7某提升装置如图所示，画出图中各个构件及整体的受力图。
题1.6
题1.7
以下无正文
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