人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1解析版docWord格式.docx
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上下平移与b有关，上加下减；
左右平移与x有关，左加右减
一次函数图象的对称
y=kx+b关于y轴对称的解析式为：
y=－kx+b；
y=kx+b关于x轴对称的解析式为：
y=－kx－b；
一次函数与二元一次方程组
方程组的解是两条直线的交点坐标
一次函数与不等式
会借助图象判断y=0，y<
0，y>
0时自变量取值范围；
会借助图象判断y1=y2，y1<
y2，y1>
y2时自变量取值范围；
求一次函数解析式方法
待定系数法
上表中，l1：
y1=k1x+b1；
l2：
y2=k2x+b2
二、典型例题讲解
题1.
（1）函数
自变量的取值范围是
（2）函数
自变量的取值范围是
（3）函数
（4）在三角形中，它的一条边是a，这条边上的高是h，则其面积S=0.5ah，当a为定长时，在此式中变量是，常量是
（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h（cm）与注水时间t（min）的函数图象大致为（）
【答案】
（1）x≥－1且x≠0；
（2）x>
0且x≠2；
（3）全体实数；
（4）S、h；
0.5、a；
（5）B；
【解析】解：
（1）由
，解得：
x≥－1且x≠0；
（2）由
x>
（3）由
，得x为全体实数；
（4）由题意知S随h的变化而变化，所以S和h是变量，a、0.5是常量；
（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B.
题2.
（1）正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=x+k的图象过象限；
（2）若函数y=（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，则m的取值范围
（3）在平面直角坐标系中，将直线l1：
y=-3x-3平移后，得到直线l2：
y=-3x+2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；
（4）已知点A（﹣5，y1），B（10，y2）在一次函数y=﹣x+9的图象上，则y1y2
（5）直线y=k1x+b1（k1＞0）与y=k2x+b2（k2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y轴围成的三角形面积为4，那么b1﹣b2等于
（6）一次函数y=（m2-4）x+（1-m）和y=（m-1）x+m2-3的图象与y轴分别交于点P和点Q，若点P与点Q关于x轴对称，则m=
（7）函数y=－2x＋4的图象上存在点P，使得点P到y轴的距离等于1，则点P的坐标为.
（8）过点（﹣1，7）的一条直线与x轴，y轴分别相交于点A，B，且与直线
平行.则在线段AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是
（1）一、二、三；
（2）m<
－1；
（3）5，
；
（4）>
（5）4或－4；
（6）－1；
（7）（1,2）或（－1,6）；
（8）（1,4）、（3,1）；
（1）∵正比例函数y=kx（k≠0）的函数值y随x的增大而增大，
∴k>
0，
则y=x+k的图象过一、二、三象限；
（2）∵函数y=（m+1）x﹣（4m﹣3）的图象在第一、二、四象限，
∴
，
解得：
m<
（3）y=-3x-3平移后，得到直线l2：
y=-3x+2，可向上平移5个单位；
设向右平移m个单位，则y=－3（x－m）－3，即－3（x－m）－3=－3x+2，解得：
m=
即向右平移
个单位；
（4）y=﹣x+9中，y随x的增大而减小，因为A（﹣5，y1），B（10，y2）在一次函数图象上，
而－5<
10，所以y1>
y2
（5）由题意知：
即
b1﹣b2=4或－4
（6）由题意知：
m=－1；
（7）点P到y轴的距离等于1，则P点的横坐标为1或－1，
在y=－2x＋4中，当x=1时，y=2；
x=－1时，y=6，
即P点坐标为（1,2）或（－1,6）；
（8）设直线AB解析式为y=kx+b，由题意知：
k=
将（﹣1，7）代入得：
7=
×
（－1）+b，解得：
b=
即直线AB解析式为：
y=
x+
整理得：
2y+3x=11，
由题意知x、y均为整数时，有x=1，y=4；
x=3，y=1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）.
题3.
（1）一次函数y=kx+b，当1≤x≤4时，3≤y≤6，求k、b的值.
【答案】见解析.
①当k>
0时，由当1≤x≤4时，3≤y≤6得：
x=1，y=3；
x=4，y=6，代入y=kx+b得：
②当k<
x=1，y=6；
x=4，y=3，代入y=kx+b得：
即k=1，b=2或k=－1，b=7.
（2）如图3-1,函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,4）,则不等式2x<
ax+4的解集为
图3-1
【答案】x<
2.
因为函数y=2x和y=ax+4的图象相交于点A（m,4），
所以当y=4时，x=2，
由图象知：
不等式2x<
ax+4的解集为x<
（3）甲骑摩托车从A地去B地,乙开汽车从B地去A地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s（千米），甲行驶的时间为t（小时），s与t之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：
①出发1小时时，甲、乙在途中相遇；
②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米；
③出发3小时时，甲、乙同时到达终点；
④甲的速度是乙速度的一半．
其中正确结论是.
图3-2
【答案】①②④.
由图象可得：
出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；
甲骑摩托车的速度为：
120÷
3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a千米/小时，
则
a=80，
∴乙开汽车的速度为80千米/小时，
∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；
∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：
1.5×
（80-40）=60（千米），故②正确；
乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误；
∴正确的结论是①②④.
题4.如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy中,矩形ABCD的AB边在x轴上,AB=3,AD=2,经过点C的直线y=x﹣2与x轴、y轴分别交于点E、F．
（1）求：
①点D的坐标；
②经过点D,且与直线FC平行的直线的函数表达式；
（2）直线y=x﹣2上是否存在点P,使得△PDC为等腰直角三角形？
若存在,求出点P的坐标；
若不存在,请说明理由．
（3）在平面直角坐标系内确定点M,使得以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标．
图4-1
（1）①设点C的坐标为（m，2），
∵点C在直线y=x﹣2上，
∴2=m﹣2，
解得m=4，即点C的坐标为（4，2），
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=3，AD=BC=2，
∴点D的坐标为（1，2）；
②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，
将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，
∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；
（2）存在．
∵△EBC为等腰直角三角形，
∴∠CEB=∠ECB=45°
∵DC∥AB，
∴∠DCE=∠CEB=45°
∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，
如图4-2所示，
图4-2
①当∠D=90°
时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，
∵点D的坐标为（1，2），
∴点P1的横坐标为1，
把x=1代入y=x﹣2得，y=﹣1，即P1（1，﹣1）；
②当∠DPC=90°
时，作DC的垂直平分线与直线y=x﹣2的交点即为点P2，
点P2的横坐标为
将x=
代入y=x﹣2得，y=
，即P2（
），
综上所述，符合条件的点P的坐标为（1，﹣1）、（
）；
（3）当y=0时，x﹣2=0，解得x=2，
∴OE=2，
∵以点M、D、C、E为顶点的四边形是平行四边形，
①若DE是对角线，则EM=CD=3，
OM=EM﹣OE=3﹣2=1，
点M的坐标为（﹣1，0），
②CE是对角线，则EM=CD=3，OM=OE+EM=2+3=5，
点M的坐标为（5，0），
③CD是对角线，则平行四边形的中心坐标为（
，2），
设点M的坐标为（x，y），
解得x=3，y=4，
此时，点M的坐标为（3，4），
综上所述，点M的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．
题5.小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m/min．设小华出发x（min）行走的路程为y（m），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y（m）与x（min）之间的函数关系．
（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m，他途中休息了＿＿＿＿＿min；
（2）当50≤x≤80时，求y与x的函数关系式；
（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？
图5-1
（1）3600，20；
（2）（3）见解析.
（2）①当50≤x≤80时，
设y与x的函数关系式为y=kx+b，
根据题意，当x=50时，y=1950；
当x=80时，y=3600，
得：
解得k=55，b=－800，
∴函数关系式为：
y=55x－800；
（3）缆车到山顶的线路长为3600×
2=1800米，
缆车到达终点所需时间为1800÷
180=10分钟
小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟，
把x=60代入y=55x﹣800，得y=55×
60﹣800=2500，
∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.
题6.某校运动会需购买A、B两种奖品.若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；
若购买A种奖品5件和B种奖品3件，共需95元.
（1）求A、B两种奖品单价各是多少元？
（2）学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍.设购买A种奖品m件，购买费用为W元，写出W（元）与m（件）之间的函数关系式，求出自变量m的取值范围，并确定最少费用W的值.
（1）设A奖品的单价是x元，B奖品的单价是y元，由题意，得：
．
答：
A奖品的单价是10元，B奖品的单价是15元；
（2）由题意，得
W=10m+15（100-m）=-5m+1500
70≤m≤75．
∵m是整数，
∴m=70，71，72，73，74，75．
在W=-5m+1500中，
∴-5＜0，
∴W随m的增大而减小，
∴m=75时，W最小=1125．
∴应买A种奖品75件，B种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．
题7.在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx＋4（k≠0）与y轴交于点A.
（1）如图，直线y=-2x＋1与直线y=kx＋4（k≠0）交于点B，与y轴交于点C，点B的横坐标为－1.
①求点B的坐标及k的值；
②直线y=－2x＋1与直线y=kx＋4与y轴所围成的△ABC的面积等于；
（2）直线y=kx＋4（k≠0）与x轴交于点E（x0，0），若－2＜x0＜－1，求k的取值范围．
（1）①∵直线y=-2x+1过点B，点B的横坐标为-1，
∴y=2+1=3，
即B（-1，3），
∵直线y=kx+4过B点，
∴3=-k+4，
k=1；
②∵k=1，
∴直线AB的解析式为：
y=x+4，
∴A（0，4），
在y=-2x+1中，当x=0时，y=1，
∴C（0，1），
∴AC=4-1=3，
∴△ABC的面积为：
1×
3=
故答案为：
（2）∵直线y=kx+4（k≠0）与x轴交于点E（x0，0），-2＜x0＜-1，
∴当x0=-2，则E（-2，0），代入y=kx+4得：
0=-2k+4，
k=2，
当x0=-1，则E（-1，0），代入y=kx+4得：
0=-k+4，
k=4，
故k的取值范围是：
2＜k＜4．
中考数学知识点代数式
一、重要概念
分类：
1.代数式与有理式
用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
单独
的一个数或字母也是代数式。
整式和分式统称为有理式。
2.整式和分式
含有加、减、乘、除、乘方运算的代数式叫做有理式。
没有除法运算或虽有除法运算但除式中不含有字母的有理式叫做整式。
有除法运算并且除式中含有字母的有理式叫做分式。
3.单项式与多项式
没有加减运算的整式叫做单项式。
（数字与字母的积—包括单独的一个数或字母）
几个单项式的和，叫做多项式。
说明：
①根据除式中有否字母，将整式和分式区别开;
根据整式中有否加减运算，把单项式、多项式区分开。
②进行代数式分类时，是以所给的代数式为对象，而非以变形后的代数式为对象。
划分代数式类别时，是从外形来看。
如，
=x,=│x│等。
4.系数与指数
区别与联系：
①从位置上看;
②从表示的意义上看
5.同类项及其合并
条件：
①字母相同;
②相同字母的指数相同
合并依据：
乘法分配律
6.根式
表示方根的代数式叫做根式。
含有关于字母开方运算的代数式叫做无理式。
注意：
①从外形上判断;
②区别：
、是根式，但不是无理式（是无理数）。
7.算术平方根
⑴正数a的正的平方根（[a≥0—与“平方根”的区别]）;
⑵算术平方根与绝对值
①联系：
都是非负数，=│a│
②区别：
│a│中，a为一切实数;
中，a为非负数。
8.同类二次根式、最简二次根式、分母有理化
化为最简二次根式以后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
满足条件：
①被开方数的因数是整数，因式是整式;
②被开方数中不含有开得尽方的因数或因式。
把分母中的根号划去叫做分母有理化。
9.指数
⑴（—幂，乘方运算）
①a>
0时，>
0;
②a0（n是偶数）， ⑵零指数：
=1（a≠0）
负整指数：
=1/（a≠0,p是正整数）
二、运算定律、性质、法则
1.分式的加、减、乘、除、乘方、开方法则
2.分式的性质
⑴基本性质：
=（m≠0）
⑵符号法则：
⑶繁分式：
①定义;
②化简方法（两种）
3.整式运算法则（去括号、添括号法则）
4.幂的运算性质：
①·
=;
②÷
③=;
④=;
⑤
技巧：
5.乘法法则：
⑴单×
单;
⑵单×
多;
⑶多×
多。
6.乘法公式：
（正、逆用）
（a+b）（a-b）=
（a±
b）=
7.除法法则：
⑴单÷
⑵多÷
单。
8.因式分解：
⑴定义;
⑵方法：
a.提公因式法;
b.公式法;
c.十字相乘法;
d.分组分解法;
e.求根公式法。
9.算术根的性质：
;
（a≥0,b≥0）;
（a≥0,b>
0）（正用、逆用）
10.根式运算法则：
⑴加法法则（合并同类二次根式）;
⑵乘、除法法则;
⑶分母有理化：
a.;
b.;
c..
11.科学记数法：
（1≤a<
10,n是整数
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