离散数学第七章图的基本概念知识点总结Word格式文档下载.docx
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的一条边,称vi,vj为ek的端点,ek与vi（vj）关联.若vi≠vj,则称ek与vi（vj）的关联次数为1;
若vi=vj,则称ek为环,此时称ek与vi的关联次数为2;
若vi不是ek端点,则称ek与vi的关联次数为0.无边关联的顶点称作孤立点.
定义设无向图G=<
vi,vj∈V,ek,el∈E,若（vi,vj）∈E,则称vi,vj相邻;
若ek,el至少有一个公共端点,则称ek,el相邻.
对有向图有类似定义.设ek=〈vi,vj〉是有向图的一条边,又称vi是ek的始点,vj是ek的终点,vi邻接到vj,vj邻接于vi.
邻域和关联集
顶点的度数
设G=<
为无向图,v∈V,
v的度数（度）d（v）:
v作为边的端点次数之和
悬挂顶点:
度数为1的顶点
悬挂边:
与悬挂顶点关联的边
G的最大度∆（G）=max{d（v）|v∈V}
G的最小度δ（G）=min{d（v）|v∈V}
例如d（v5）=3,d（v2）=4,d（v1）=4,∆（G）=4,δ（G）=1,v4是悬挂顶点,e7是悬挂边,e1是环
设D=<
为有向图,v∈V,
v的出度d+（v）:
v作为边的始点次数之和
v的入度d-（v）:
v作为边的终点次数之和
v作为边的端点次数之和
d（v）=d+（v）+d-（v）
D的最大出度∆+（D）,最小出度δ+（D）
最大入度∆-（D）,最小入度δ-（D）
最大度∆（D）,最小度δ（D）
例如d+（a）=4,d-（a）=1,d（a）=5,
d+（b）=0,d-（b）=3,d（b）=3,
∆+（D）=4,δ+（D）=0,∆-（D）=3,
δ-（D）=1,∆（D）=5,δ（D）=3.
握手定理
定理任意无向图和有向图的所有顶点度数之和都等于边数的2倍,并且有向图的所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
证G中每条边（包括环）均有两个端点，所以在计算G中各顶点度数之和时，每条边均提供2度，m条边共提供2m度.有向图的每条边提供一个入度和一个出度,故所有顶点入度之和等于出度之和等于边数.
图的度数列
设无向图G的顶点集V={v1,v2,…,vn}
G的度数列:
d（v1）,d（v2）,…,d（vn）
如右图度数列:
4,4,2,1,3
设有向图D的顶点集V={v1,v2,…,vn}
D的度数列:
D的出度列:
d+（v1）,d+（v2）,…,d+（vn）
D的入度列:
d-（v1）,d-（v2）,…,d-（vn）
5,3,3,3
出度列:
4,0,2,1
入度列:
1,3,1,2
例1（3,3,3,4）,（2,3,4,6,8）能成为图的度数列吗?
解不可能.它们都有奇数个奇数.
例2已知图G有10条边,4个3度顶点,其余顶点的度数均小于等于2,问G至少有多少个顶点?
解设G有n个顶点.由握手定理,
4⨯3+2⨯（n-4）≥2⨯10
解得n≥8
例3证明不存在具有奇数个面且每个面都具有奇数条棱的多面体.
证用反证法.假设存在这样的多面体,
作无向图G=<
其中V={v|v为多面体的面},
E={（u,v）|u,v∈V∧u与v有公共的棱∧u≠v}.
根据假设,|V|为奇数且∀v∈V,d（v）为奇数.这与握手定理的推论矛盾.
多重图与简单图
定义
（1）在无向图中,如果有2条或2条以上的边关联同一对顶点,则称这些边为平行边,平行边的条数称为重数.
（2）在有向图中,如果有2条或2条以上的边具有相同的始点和终点,则称这些边为有向平行边,简称平行边,平行边的条数称为重数.
（3）含平行边的图称为多重图.
（4）既无平行边也无环的图称为简单图.
注意:
简单图是极其重要的概念
图的同构
定义设G1=<
V1,E1>
G2=<
V2,E2>
为两个无向图（有
向图）,若存在双射函数f:
V1→V2,使得对于任意的
vi,vj∈V1,
（vi,vj）∈E1（<
vi,vj>
∈E1）当且仅当
（f（vi）,f（vj））∈E2（<
f（vi）,f（vj）>
∈E2），
并且,（vi,vj）（<
）与（f（vi）,f（vj））（<
）
的重数相同，则称G1与G2是同构的，记作G1≅G2.
几点说明：
图之间的同构关系具有自反性、对称性和传递性.
能找到多条同构的必要条件,但它们都不是充分条件:
①边数相同，顶点数相同
②度数列相同（不计度数的顺序）
③对应顶点的关联集及邻域的元素个数相同，等等
若破坏必要条件，则两图不同构
至今没有找到判断两个图同构的多项式时间算法
完全图：
n阶无向完全图Kn:
每个顶点都与其余顶点相邻的n阶无向简单图.
简单性质:
边数m=n（n-1）/2,∆=δ=n-1
n阶有向完全图:
每对顶点之间均有两条方向相反的有向边的n阶有向简单图.
边数m=n（n-1）,∆=δ=2（n-1）,
∆+=δ+=∆-=δ-=n-1
子图：
定义设G=<
G'
=<
V'
E'
>
是两个图
（1）若V'
⊆V且E'
⊆E,则称G'
为G的子图,G为G'
的
母图,记作G'
⊆G
（2）若G'
⊆G且V'
=V，则称G'
为G的生成子图
（3）若V'
⊂V或E'
⊂E，称G'
为G的真子图
（4）设V'
⊆V且V'
≠∅,以V'
为顶点集,以两端点都在
V'
中的所有边为边集的G的子图称作V'
的导
出子图，记作G[V'
]
（5）设E'
⊆E且E'
≠∅,以E'
为边集,以E'
中边关联的
所有顶点为顶点集的G的子图称作E'
的导出子
图,记作G[E'
]
补图：
为n阶无向简单图，以V为顶点集,所有使G成为完全图Kn的添加边组成的集合为边集的图，称为G的补图，记作
.
若G≅
则称G是自补图.
例对上一页K4的所有非同构子图,指出互为补图的每一对子图,并指出哪些是自补图.
7.2通路、回路、图的连通性
简单通（回）路,初级通（回）路,复杂通（回）路
定义给定图G=<
（无向或有向的），G中顶点与边的交替序列Γ=v0e1v1e2…elvl，
（1）若∀i（1≤i≤l）,vi-1,vi是ei的端点（对于有向图,要求vi-1是始点,vi是终点）,则称Γ为通路,v0是通路的起点,vl是通路的终点,l为通路的长度.又若v0=vl，则称Γ为回路.
（2）若通路（回路）中所有顶点（对于回路,除v0=vl）各异，则称为初级通路（初级回路）.初级通路又称作路径,初级回路又称作圈.
（3）若通路（回路）中所有边各异,则称为简单通路（简单回路）,否则称为复杂通路（复杂回路）.
说明:
表示方法
①用顶点和边的交替序列（定义）,如Γ=v0e1v1e2…elvl
②用边的序列,如Γ=e1e2…el
③简单图中,用顶点的序列,如Γ=v0v1…vl
④非简单图中,可用混合表示法,如Γ=v0v1e2v2e5v3v4v5
环是长度为1的圈,两条平行边构成长度为2的圈.
在无向简单图中,所有圈的长度≥3;
在有向简单图中,所有圈的长度≥2.
在两种意义下计算的圈个数
①定义意义下
在无向图中,一个长度为l（l≥3）的圈看作2l个不同的圈.如v0v1v2v0,v1v2v0v1,v2v0v1v2,v0v2v1v0,v1v0v2v1,v2v1v0v2看作6个不同的圈.
在有向图中,一个长度为l（l≥3）的圈看作l个不同的圈.
②同构意义下
所有长度相同的圈都是同构的,因而是1个圈.
定理在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vi≠vj）存在通
路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的通路.
推论在n阶图G中，若从顶点vi到vj（vi≠vj）存在通
路，则从vi到vj存在长度小于等于n-1的初级通路.
定理在一个n阶图G中，若存在vi到自身的回路，则
一定存在vi到自身长度小于等于n的回路.
推论在一个n阶图G中，若存在vi到自身的简单回
路，则一定存在长度小于等于n的初级回路.
无向图的连通性
设无向图G=<
u与v连通:
若u与v之间有通路.规定u与自身总连通.
连通关系R={<
u,v>
|u,v∈V且u~v}是V上的等价关系
连通图:
任意两点都连通的图.平凡图是连通图.
连通分支:
V关于连通关系R的等价类的导出子图
设V/R={V1,V2,…,Vk},G[V1],G[V2],…,G[Vk]是G的连通分支,其个数记作p（G）=k.
G是连通图⇔p（G）=1
短程线与距离
u与v之间的短程线:
u与v之间长度最短的通路
（u与v连通）
u与v之间的距离d（u,v）:
u与v之间短程线的长度
若u与v不连通,规定d（u,v）=∞.
性质：
d（u,v）≥0,且d（u,v）=0⇔u=v
d（u,v）=d（v,u）
d（u,v）+d（v,w）≥d（u,w）
点割集与割点
记G-v:
从G中删除v及关联的边
G-V'
:
从G中删除V'
中所有的顶点及关联的边
G-e:
从G中删除e
G-E'
从G中删除E'
中所有边
V'
⊂V,若p（G-V'
）>
p（G）且∀V'
'
⊂V'
p（G-V'
）=p（G）,则称V'
为G的点割集.若{v}为点割集,则称v为割点.
边割集与割边（桥）
E'
⊆E,若p（G-E'
p（G）且∀E'
⊂E'
p（G-E'
）=p（G）,则称E'
为G的边割集.若{e}为边割集,则称e
为割边或桥.
在上一页的图中，{e1,e2}，{e1,e3,e5,e6}，{e8}等是边割集，
e8是桥，{e7,e9,e5,e6}是边割集吗？
Kn无点割集
n阶零图既无点割集，也无边割集.
若G连通，E'
为边割集，则p（G-E'
）=2
若G连通，V'
为点割集，则p（G-V'
）≥2
有向图的连通性
设有向图D=<
u可达v:
u到v有通路.规定u到自身总是可达的.
可达具有自反性和传递性
D弱连通（连通）:
基图为无向连通图
D单向连通:
∀u,v∈V，u可达v或v可达u
D强连通:
∀u,v∈V，u与v相互可达
强连通⇒单向连通⇒弱连通
定理（强连通判别法）D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路
定理（单向连通判别法）D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路
有向图的短程线与距离
u到v的短程线:
u到v长度最短的通路（u可达v）
u与v之间的距离d<
u到v的短程线的长度
若u不可达v,规定d<
=∞.
d<
≥0,且d<
=0⇔u=v
+d<
v,w>
≥d<
u,w>
没有对称性
7.3图的矩阵表示
无向图的关联矩阵
V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em},令mij为vi与ej的关联次数，称（mij）n⨯m为G的关联矩阵，记为M（G）.
性质
（1）每一列恰好有两个1或一个2
有向图的关联矩阵
定义设无环有向图D=<
V={v1,v2,…,vn},
E={e1,e2,…,em},令
（1）每一列恰好有一个1和一个-1
（2）第i行1的个数等于d+（vi）,-1的个数等于d-（vi）
（3）1的总个数等于-1的总个数,且都等于m
（4）平行边对应的列相同
有向图的邻接矩阵
有向图的可达矩阵
7.4最短路径及关键路径
带权图G=<
V,E,w>
其中w:
E→R.
∀e∈E,w（e）称作e的权.e=（vi,vj）,记w（e）=wij.若vi,vj不
相邻,记wij=∞.
设L是G中的一条路径,L的所有边的权之和称作L的
权,记作w（L）.
u和v之间的最短路径:
u和v之间权最小的通路.
标号法（E.W.Dijkstra,1959）
PERT图与关键路径
PERT图（计划评审技术图）
设有向图G=<
v∈V
v的后继元集Γ+（v）={x|x∈V∧<
v,x>
∈E}
v的先驱元集Γ-（v）={x|x∈V∧<
x,v>
PERT图:
满足下述条件的n阶有向带权图D=<
（1）D是简单图,
（2）D中无回路,
（3）有一个入度为0的顶点,称作始点;
有一个出度为0
的顶点,称作终点.
通常边的权表示时间,始点记作v1,终点记作vn
关键路径
关键路径:
PETR图中从始点到终点的最长路径
vi的最早完成时间TE（vi）:
从始点v1沿最长路径到vi
所需的时间
TE（v1）=0
TE（vi）=max{TE（vj）+wji|vj∈Γ-（vi）},i=2,3,⋯,n
vi的最晚完成时间TL（vi）:
在保证终点vn的最早完成
时间不增加的条件下,从始点v1最迟到达vi的时间
TL（vn）=TE（vn）
TL（vi）=min{TL（vj）-wij|vj∈Γ+（vi）},i=n-1,n-2,⋯,1
vi的缓冲时间TS（vi）=TL（vi）-TE（vi）,i=1,2,⋯,n
vi在关键路径上⇔TS（vi）=0
最晚完成时间
TL（v8）=12
TL（v7）=min{12-6}=6
TL（v6）=min{12-1}=11
TL（v5）=min{11-1}=10
TL（v4）=min{10-4}=6
TL（v3）=min{6-2,11-4,6-4}=2
TL（v2）=min{2-0,10-3,6-4}=2
TL（v1）=min{2-1,2-2,6-3}=0
缓冲时间
TS（v1）=0-0=0
TS（v2）=2-1=1
TS（v3）=2-2=0
TS（v4）=6-4=2
TS（v5=10-8=2
TS（v6）=11-9=2
TS（v7）=6-6=0
TS（v8）=12-12=0
v1v3v7v8
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